복소수
1. 개요
Complex number · 複素數
수학에서 실수와 허수의 합의 꼴로써 나타내는 수. 두 실수 $$a, b$$에 대하여 $$a+bi$$ ($$i$$는 허수단위)[3]로 나타내는 체(field)를 여러(複여러 복) 개의 단위(素본디, 단위 소)로 이루어진 수(數셈, 숫자 수)라는 데에서 복소수라 하며, $$a$$를 실수 부분, $$b$$를 허수 부분이라고 한다.
보통 대한민국 교육 과정에선 고등학교 1학년 공통 수학에서 배운다. 또한 이것이 중등 교육에서의 수 체계의 마지막 확장이다.
집합 기호는 복소수의 영어 명칭의 첫 글자인 C를 볼드체로 '''C'''로 쓰거나[4] 겹쳐 $$\mathbb{C}$$로 써서 나타낸다. 변수로서의 표현은 실수에서 $$x$$를 줄기차게 썼던 것처럼, 보통 $$z$$를 많이 쓴다.[5]
복소수 $$a+bi$$에서 허수 부분의 계수가 0인 것, 즉 $$b=0$$인 것이 실수, $$b\neq 0$$이 허수이며, 실수 부분인 $$a=0$$인 것(단, $$b\neq 0$$)을 '''순허수'''라고 한다.
복소수 $$z = a+bi$$에서 허수 부분인 $$bi$$가 $$-bi$$가 된 수를 '''켤레복소수(complex conjugate)'''[6]라 하며 $$\bar{z} = \overline{a+bi}=a-bi$$로 나타낸다.[7][8][9]
실수를 수직선에 나타낼 수 있는 것과 마찬가지로 복소수는 평면상에 나타낼 수 있다. 흔히 직교 좌표계에서 x축을 실수축 $$\Re \left( z \right)$$, y축을 허수축 $$\Im \left( z \right)$$으로 둔 좌표계를 복소평면이라 한다.
실수와는 달리 복소수는 순서체가 되지 않는다. 다시 말해 $$\left\{P, \left\{0\right\}, -P\right\}$$[10]가 복소수 집합 $$\mathbb{C}$$의 분할이 되면서 $$x, y\in P \Rightarrow x+y, xy\in P$$를 만족하는 집합 $$P$$가 존재하지 않는다. 다만 복소수에도 절댓값을 생각할 수는 있다. 좌표평면에서 $$\left( x,\ y \right)$$의 위치 벡터의 크기를 원점에서부터 거리로 $$\sqrt{x^2+y^2}$$로 나타내듯이 $$z = x+iy$$의 복소평면에서 크기, 즉 절댓값은 $$\displaystyle |z| = \sqrt{z \bar{z}} = \sqrt{x^2+y^2}$$로 나타낸다.
정수, 유리수, 실수와는 다르게, 임의의 복소수 계수 n차식은 복소수 계수 1차식 n개의 곱으로 인수분해된다. 따라서 방정식만 고려한다면 복소수를 넘는 수 체계가 반드시 필요한 것은 아니다.[11] 게다가 수학에서는 이미 벡터공간이라는 강력한 대수구조를 복소수 이상으로 활용하고 있다. 애초에 복소수부터가 실수의 2차원 벡터공간이다.
허수의 유래는 대수적 필요에 의해 생겨난 것이지만, 복소수를 정의역으로 갖는 함수에 대해 다루는 복소함수론의 영역으로 들어가면 실수 영역에서는 할 수 없었던 온갖 테크닉을 구사할 수 있게 되어 수학과만이 아닌 여러 공과계열 학과에서 복소함수론을 배운다. 예를 들면, 복소평면을 잘 이용하면 실수직선상에서는 잘 적분되지 않는 특이적분(improper integral)을 비교적 쉽게 계산할 수 있으며, 라플라스 변환이나 미분방정식의 풀이에 있어서도 각종 Mapping을 이용하여 풀이를 상당히 단순화할 수 있다.
2. 역사
복소수를 수의 일원으로 받아들이는 것은 수학자들에게도 상당한 거부감이 있었다.
고대 그리스 시절부터 허근을 가지는 이차방정식은 수도 없이 있었지만, 중세까지는 자연스레 해가 없다고 하고 넘어가 버리는 것이 보통이었다. (이때는 심지어 음수해도 없다고 부르던 시절이었다.) 16세기쯤 페로, 타르탈리아, 카르다노 등 수학자들의 방정식 풀기 배틀이 시작되면서 복소수는 본격적인 '수'로서 등장하게 된다. 이는 삼차방정식을 풀기 위해서는 아무리 주어진 삼차방정식의 근이 모두 실근일지라도, 그 근을 계산하는 과정에서는 복소수가 반드시 필요했기 때문이다. 방정식 항목의 삼차방정식의 근의 공식이 이때 발견된 공식이다.
이들은 방정식을 기계적으로 풀면서 복소수를 갖다 쓰면서도 속으로는 멘붕했다. 사실 누구라도 두 번 곱해서 음수가 되고, 네 번 곱해서 1이 되는 1이 아닌 '무언가'를 처음 보면 멘붕하는 건 당연할 것이다.
카르다노는 <위대한 술법(Ars Magna)>[12]에서 10을 두 부분으로 나누되 곱이 40이 되게 할 수 있는 문제 (요즘으로 따지면 $$a+b=10,ab=40$$의 이차방정식) 를 다루면서 '이런 허깨비를 다루는 것은 궤변(sophistic)이지만, 그럼에도 불구하고 풀어나갈 것이다.' 하면서 복소근 2개를 계산하고는 '그다지 큰 양심의 가책을 느낄 필요가 없다. 산술이란 이처럼 오묘하게 풀어나가야 한다. 산술의 목표는 성현이 말하듯 정밀하며 반드시 유용하지만은 않다.' 고 말하기는 했다. 음수까지 배척하는 사람들이 대부분이었던 이 시기 기준으로는 카르다노는 상당한 대인배 축에 속했다. 물론 자신 의 삼차방정식 해법이 복소수를 사용하니 어느 정도는 당연한 태도였을 것이다.
봄벨리 역시 비슷한 곤경에 처했다. 그는 현대적 표기와 비슷하게 복소수의 네 가지 계산을 규정했지만 여전히 수학자들은 복소수를 쓸데없는 수, 기괴한 수로 취급했다. 데카르트 역시 복소수근을 허구의 수라고 부르며 받아들이지 않았다. 심지어 뉴턴마저 허근의 의미를 인정하지 않았다. 복소수의 출현에 대한 이 같은 강한 배척은 라이프니츠의 다음 글에 잘 나타나 있다.
물론 어느 정도 시간이 지나자 이게 유용하다는 것을 깨닫고 자연스레 갖다 쓰게 되었다. 오일러의 교과서 Elements of Algebra에는 대놓고 시작부터 복소수가 튀어나온다! 복소지수, 복소삼각함수 등을 만들고 드 무아브르 공식을 오일러 공식으로 일반화하는 많은 업적을 남긴 것도 오일러이긴 하다. 기호 $$i$$를 고안한 사람도 오일러였다. 다만 이는 사람들이 하도 $$\sqrt{-1} \cdot \sqrt{-1} = \sqrt{(-1)\cdot(-1)}$$ 같은 실수를 해대서 $$\sqrt{-1}$$ 대신 별도의 기호를 만들어줬다는 썰도 있다. 특히 페르마의 마지막 정리 증명의 출발점[14]이라는 의의가 크다.성령께서 분석을 하는 과정에 범속을 초월한 계시를 보여 주셨다. 그것은 바로 저 이상세계의 전조다. 존재와 존재하지 않음 사이에 나타난 양쪽 모두에 걸쳐 있는 무언가, 우리는 이를 허구의 -1제곱근이라 부른다. [13]
대략 가우스 대에 대수학의 기본정리가 증명된 전후로 현대에 쓰이는 복소수의 기틀이 잡혔다고 평가받는다. 물론 그 가우스 조차도 20살의 어린 시절(1797년)에는 대수학의 기본정리의 틀린 증명을 발표하면서 허수의 진정한 의미가 있는지 의심하기는 했지만, 나이들어서는 받아들였다. 이의 뒤를 이어 코시 등등이 복소해석학의 기틀을 잡고 리만 곡면 같은 게 나오면서 복소수는 방정식을 넘어선 온갖 곳에 응용되기 시작한다.
3. 복소수의 연산
3.1. 기초 단항 연산
$$i=\sqrt{-1}$$, $$x, y \in \mathbb{R}$$ 이고 $$r=\sqrt{x^{2}+y^{2}} \geq 0, \theta \in \mathbb{R}$$이라고 할 때, 복소수 $$z$$를 직교형식, 극형식, 그리고 지수형식으로 나타내면 다음과 같다.
$$z = x + iy = r \left( \cos \theta + i \sin \theta \right) = r e^{i \theta}$$
이렇게 정의한 복소수 $$z$$에 대해 특수한 단항연산을 몇 가지 정의할 수 있다.
3.1.1. 실수부와 허수부
$$ z \in \mathbb{C}$$일 때, $$\Re \left( z \right)$$를 $$z$$의 실수부(Real part), $$\Im \left( z \right)$$를 $$z$$의 허수부(Imaginary part)라 하고 다음과 같이 정의한다.
$$\Re \left( z \right) = \text{Re} \left( z \right) = \dfrac{z + \overline{z}}{2} = x = r \cos \theta $$
$$\Im \left( z \right) = \text{Im} \left( z \right) = \dfrac{z - \overline{z}}{2i} = y = r \sin \theta $$
이때 실수부와 허수부는 실수임에 주의하자.
$$\Re, \Im$$은 주로 고급 이론[15]에서 많이 쓰이고 $$\mathrm{Re}, \mathrm{Im}$$은 주로 고등학교/학부 과정에서 많이 쓰인다.
3.1.2. 켤레복소수[16]
$$ z \in \mathbb{C}$$일 때, $$\bar{z}$$를 $$z$$의 켤레복소수(Complex conjugate)라 하고 다음과 같이 정의한다.
$$\bar{z} = \Re \left( z \right) - i \Im \left( z \right) = x - iy = r \left( \cos \theta -i \sin \theta \right) = re^{-i \theta}$$
켤레복소수는 원래 복소수의 허수부의 부호를 반대로 바꾼 것이다. 복소평면에서 보면 원래 복소수를 실수축에 대하여 대칭이동한 것과 같으며, 극좌표계로 두면 편각의 부호를 반전시킨 것과 같다.
물리학 쪽에서는 복소수 $$z$$의 켤레 복소수 표기를 $$z^{\ast} $$로 많이 쓰는 편이다.
3.1.3. 절댓값#s-3
$$ z \in \mathbb{C}$$일 때, $$|z|$$를 $$z$$의 절댓값(Absolute value)이라 하고 다음과 같이 정의한다.
$$|z| = \sqrt{z \bar{z}} = \sqrt{\Re(z)^2 + \Im(z)^2} = \sqrt{x^2 + y^2} = r$$
복소수의 절댓값은 실수의 절댓값처럼 원점으로부터 거리를 의미한다. 형태를 보면 알겠지만 피타고라스 정리에서 유도된다.
부호 함수($$\mathrm{sgn}$$)를 고장내버리는(...) 원흉이기도 한데, 정의가 원래 수와 절댓값이 적용된 수의 몫이기 때문. 그래서 복소수용으로 따로 정의된 함수($$\mathrm{csgn}$$)로 부호를 판별해야 한다.
3.1.4. 편각
$$ z \in \mathbb{C}$$일 때, $$\text{arg} \left( z \right)$$를 $$z$$의 편각(Argument)이라 하고 다음과 같이 정의한다.
$$\text{arg} \left( z \right) = \text{atan} 2 \left( y, x \right) = \theta \ \left( \text{mod} \ 2\pi \right)$$
편각은 복소평면 위에서 실수축와 복소수 $$z$$사이의 각의 크기다. 이때 각의 크기는 0보다 크거나 같고 2π보다 작다.[17]
여기서 $$\text{atan}2 \left( y, x \right)$$라는 함수는 $$x > 0$$일 때 $$\displaystyle \arctan \left( \frac{y}{x} \right) \in \left( -\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2} \right)$$의 값을 갖고, $$x < 0$$일 때 적절한 역탄젠트 값[18]로 잡을 때의 역함수$$f\left(x\right) : \tan x \to x$$를 $$\arctan x$$이라 했을 때 $$\displaystyle \arctan \left( \frac{y}{x} \right)$$을 말한다.]을 가진다.
위의 단항 연산을 가지고 다음 항등식을 꾸밀 수도 있다.
$$z = \Re \left( z \right) + i \ \Im \left( z \right) = |z|( \cos \text{arg} \ z + i \sin \text{arg} \ z ) = |z| e ^{i \ \text{arg} \ z}$$
3.2. 기초 이항 연산
3.2.1. 복소수의 상등[19]
두 복소수 $$a + ib, c + id$$가 있다고 하자. 두 복소수가 동일할 조건은 다음과 같다.
$$ a + ib = c + id \ \Leftrightarrow \ a = c \ \text{and} \ b = d $$
두 복소수가 상등일 필요충분조건은 실수부끼리 서로 같고 허수부끼리 서로 같은 것이다.
3.2.2. 복소수의 덧셈
두 복소수 $$a + ib, c + id$$가 있다고 하자. 복소수의 덧셈은 다음과 같이 정의한다.
$$(a + ib) + (c + id) = (a + c) + i (b + d)$$
특히 복소수의 덧셈은 결합법칙[20]과 교환법칙[21]을 만족한다.
또한 복소수의 덧셈은 항등원 "0"이 존재하고[22], 임의의 복소수에 대하여 덧셈에 대한 그 역원이 항상 존재한다.[23]
복소수 $$x + iy$$의 덧셈에 대한 역원은 $$-(x + iy) = (-x) + i(-y)$$로 볼 수 있고, 뺄셈을 정의할 수 있다.
$$(a + ib) - (c + id) = (a - c) + i(b - d)$$
3.2.3. 복소수의 곱셈
두 복소수 $$a + ib, c + id$$가 있다고 하자. 복소수의 곱셈은 다음과 같이 정의한다.
$$(a + ib) × (c + id) = (ac - bd) + i(ad + bc)$$
복소수의 곱셈은 결합법칙[24]과 교환법칙[25]을 만족한다.
또한 복소수의 곱셈은 항등원 "1"이 존재하고[26], 0을 제외한 임의의 복소수에 대하여 곱셈에 대한 그 역원이 항상 존재한다.
복소수 $$x + iy$$의 곱셈에 대한 역원은 $$\displaystyle \frac{1}{x + iy} = \frac{x}{x^2 + y^2} + i \frac{-y}{x^2 + y^2}$$로 볼 수 있고, 나눗셈을 정의할 수 있다.
$$\displaystyle \frac{a + ib}{c + id} = \frac{ac + bd}{c^2 + d^2} + i \frac{-ad + bc}{c^2 + d^2}$$
복소수의 집합 $$\mathbb{C}$$는 체의 공리를 만족하므로 체(field)이다. 더불어 집합 $$\left\{ 1, i \right\}$$를 기저로 갖는 실수체에 대한 2차원 벡터 공간의 구조도 가지고 있다.[27]
4. 복소수의 확장
4.1. 사원수(quaternion)
단위수가 $$i$$, $$j$$, $$k$$까지 존재하며, 각각 $$i^2 = j^2 = k^2 = ijk = -1$$ ($$i \ne j,\ j \ne k,\ k \ne i$$)로 정의되는 수 체계. 곱셈의 교환법칙이 성립하지 않는다. 이걸 연구하는 데 일생을 바친 윌리엄 로원 해밀턴은 결국 별 성과를 얻지 못했다. 사실 상술했듯이 복소수를 넘는 일반화가 반드시 필요한 것도 아니고, 또 이후의 벡터 공간(Vector Space)을 비롯한 추상적인 개념들의 발달로 인해 빛을 보지 못한 케이스라고 할 수 있다. 하지만, 현대에 3차원 컴퓨터 그래픽 또는 비행기 자세 제어 등에서 공간상의 회전을 구현할 때 사원수가 유용하다는 것이 밝혀져서 다시 주목받고 있다.(순수히 복소수를 확장하는 것과 기하학적인 활용 가능성을 생각하며 겸사겸사 만들어낸 것이지만, 기하학적인 측면과 일반화의 측면만 따지면 사원수보다 약간 뒤에 개발된 벡터가 더 좋아서 결국 사원수는 꽤 묻힌 감이 있었다.) 덤으로, 여기서 약간만 더 나아가면 사영공간($$\mathbb{R}P^3$$[28])이 공간의 회전을 나타낸다는 것도 알 수 있다.
4.2. 이원수(dual number)
$$a+b\epsilon$$의 형태로 표현되며 $$\epsilon^2 = 0$$ ($$\epsilon \ne 0$$)으로 정의된다. 생긴 건 복소수랑 비슷하게 생겼지만 성질은 꽤나 다르다. 간단히 $$\left( a+b\epsilon \right)^2$$ = $$a^2+2ab\epsilon+b^2 \epsilon^2$$ = $$a^2+2ab\epsilon$$에서도 $$(a+bi)^2 = a^2-b^2+2abi$$와는 다른, 상당히 특이한 결과가 나옴을 알 수 있다. 참고로 이름이 조금 잘못 지어진 것으로 보이는데, 사원수는 복소수의 확장이지, 이원수의 확장은 아니다.
이원수를 복소수와 조합하여 새로운 수 체계를 만들 수 있는데 이는 dual complex numbers($$a + bi + c\epsilon+ di\epsilon$$으로 표현된다.)라고 부르며, 사원수와 조합될 경우는 dual quaternions라 부르는 수 체계가 나온다.
또한, 이원수의 멱영원 $$\epsilon$$ 역시 오일러의 공식이 성립하는데, 이쪽은 멱일원보다 더 황당하게도 1차함수인 $$e^{\epsilon x}=1+\epsilon x$$으로 나타나게 된다.
4.3. 분할복소수(split-complex number)
이원수와 마찬가지로 $$a+bj$$의 형태로 표현되며 $$j^2= 1$$ ($$j \ne \pm 1$$)으로 정의되는 수 체계. 여기서의 $$j$$는 '''사원수의 $$j$$와는 전혀 다른 허수 단위이다.''' 위의 이원수와 합쳐서 고급 수학을 배우려는 아해들을 멘붕시키는 주범.
이쪽도 오일러의 공식이 적용되는데, 단순 복소수일때 지수함수와 삼각함수를 엮는 $$e^{i\theta}=\cos \theta+i\sin \theta$$과 비슷하게 지수함수와 쌍곡선함수를 엮는 $$e^{j x}=\cosh x+j\sinh x$$가 성립한다.
5. 관련 문서
[1] 공액복소수(共軶複素數)라고 부르기도 한다.[2] 엄밀히는 이항 연산(binary operation)이 아니라 이항 관계(binary relation)[3] 다만 전기/전자공학과는 전류를 $$I$$나 $$i$$로 쓰기 때문에 혼동을 막기 위해 허수단위를 $$j$$로 쓴다.[4] 다만 볼드체는 벡터를 뜻하기 때문에 권장하지 않는다.[5] 단, 해석적 정수론에서는 $$s$$를 쓰는 것이 불문율인데, 다름아닌 베른하르트 리만이 이렇게 썼기 때문.[6] 공대 교육과정에서는 주로 공액(共軶)복소수로 번역되기도 한다.[7] 즉 $$z_1=a+bi$$에 대해 $$(a+bi)+z_2\in\mathbb{R}$$를 만족하는 또 다른 복소수 $$z_2=a+ci$$가 $$z_1$$의 켤레복소수이다. 즉 $$z_1+z_2\in\mathbb{R}$$, $$\left | b\right |=\left |c\right |\:(b\neq c)$$일 때 $$\overline{z_1}=z_2$$. [8] 다르게 설명하자면 분수 중 허수가 분모에 있을 때 분모를 실수화 시켜주기 위하여 사용되는 합・차 공식($$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$$)이 이용될 수 있는 수이기도 하다.[9] 학문에 따라 표기가 다를 수 있다. 그 예로 물리학에서는 켤레 복소수로 $$z^{\ast}$$ 표기를 많이 쓴다. 이 경우 원래 별표를 쓰는 수반 연산자(adjoint operator)는 칼표(dagger)를 써서 $$z^{\dag}$$로 표기한다.[10] $$-P=\left\{-x|x\in P\right\}$$[11] 복소수는 기본적으로 덧셈, 곱셈, 지수, 테트레이션까지의 기본 연산에 관해 '''닫혀 있다'''[12] 타르탈리아의 3차방정식의 해법을 베껴서 발표한 바로 그 책이다.[13] 번역출처: 수학의 역사, 지즈강 지음/ 권수철 옮김/ 출판사 더 숲. 원문은 Acta Eruditorum 중 다음으로 추정. 'C'est pourquoi ils ont invente cet expedient elegant et admirable, ce mircale de l'Analyse, prodige du monde des idees, objet presque amphibie entre l'Etre et le Non-etre, que nous appelons racine imaginaire.' (Leibniz, Gottfried Wilhelm. La naissance du calcul différentiel: 26 articles des" Acta Eruditorum". Vrin, 1989.)[14] 피에르 드 페르마가 n=4인 경우를 증명해 놓았는데, 오일러가 복소수를 이용해서 n=3의 경우를 증명했다.[15] 복소해석학, 해석적 정수론 등[16] 공액복소수(共軶複素數)라고 부르기도 한다.[17] 위의 정의에서 $$\theta$$에 $$\text{mod} \ 2\pi$$가 붙은 건 이러한 이유 때문이다.[18] 적절한 역탄젠트 값이란 탄젠트 함수의 정의역을 [math(\displaystyle \left( -\pi , -\frac{\pi}{2} \right) \cup \left( \frac{\pi}{2}, \pi \right] )[19] 엄밀히는 이항 연산(binary operation)이 아니라 이항 관계(binary relation)[20] $$\forall u, v, w \in \mathbb{C}, \ (u + v) + w = u + (v + w)$$[21] $$\forall z, w \in \mathbb{C}, \ z + w = w + z$$[22] $$\forall z \in \mathbb{C}, \ \exists 0 \in \mathbb{C} \ \text{s.t.} \ z + 0 = 0 + z = z$$[23] $$\forall z \in \mathbb{C}, \ \exists (-z) \in \mathbb{C} \ \text{s.t.} \ z + (-z) = (-z) + z = 0$$[24] $$\forall u, v, w \in \mathbb{C}, \ (u × v) × w = u × (v × w)$$[25] $$\forall z, w \in \mathbb{C}, \ z × w = w × z$$[26] $$\forall z \in \mathbb{C}, \ \exists 1 \in \mathbb{C} \ \text{s.t.} \ z × 1 = 1 × z = z$$[27] 실제로 복소수의 집합을 $$\mathbb{R}^2$$에 복소수의 곱셈이라는 대수 구조를 추가하여 정의할 수도 있다.[28] 여기서 P는 '''p'''rojective(사영~)를, $$\mathbb{R}$$는 실수를 뜻한다.