프랙탈 이론
1. 개요
프랙탈은 수학, 기하학 연구 분야 중 하나로서, '''자기유사성'''을 갖는 기하학적 구조를 뜻한다. 쉽게 말하면 어떤 도형의 작은 일부를 확대해 봤을 때 그 도형의 전체 모습이 똑같이 반복되는 도형에 관한 연구이다.
자기상사, 병리적[1]이라는 다른 단어로 표현하기도 한다.
2. 역사 및 의의
프랙탈(Fractal)이라는 용어는 1975년 브누아 망델브로(Benoit Mandelbrot)의 The Fractal Geometry of Nature에서 처음으로 이 단어를 사용하면서 명명되었다. 다만 프랙탈의 개념 자체는 이전부터 인지되고 있었다. 예를 들면 카를 바이어슈트라스가 제시한 전구간 미분불능함수는 프랙탈의 성질을 보이고 있으며, 더 거슬러 올라가면 야코프 베르누이가 로그함수를 극좌표로 표현하면 자기유사성을 띠는 나선이 됨을 발견한 것이 있다. 어원은 '부서진'이라는 뜻의 라틴어 fractus에서 유래했다. 어원 정보
프랙탈 이론은 1975년 망델브로 집합을 연구하면서 시작되었으며, 그 이후로 많은 사례들이 발견되었다. 그 후 자연계가 통계적인 프랙탈[2] 모양을 하고 있다는 사실이 밝혀지면서 카오스 이론과 접목시켜서 자연을 모델링 하는데에 굉장히 유용하게 사용된다. 특히 망델브로 집합의 경계면에서는 극도로 미세하게 값이 달라져도 발산하거나 수렴하게 되는데 초기 조건에 극히 민감한 결과를 갖는 시스템이라는 성격에 잘 부합된다.
고사리의 잎 윤곽이나 나무가 가지를 뻗는 양상, 리아스식 해안선의 모양 등 많은 것들이 자기유사성을 가지고 있다. 심지어 주식의 변동곡선도 하루 동안의 변화, 한 주 사이의 변화, 한 달, 1년 사이의 변화가 비슷한 형태로 나타나는 자기유사성을 띠고 있다.
이러한 프랙탈의 자기복제적인 특징들은 아주 간단한 법칙도 되먹임하면 복잡한 양상을 이끌어낼 수 있음을 보여주고 있다. 이것은 전술한 대로 혼돈 이론을 묘사하는 도구 중 하나일 뿐 아니라, 진화론상의 빈틈을 메꿔줄 도구로 사용될 수도 있다. 즉, 생물이 나타내는 복잡한 구조가 반드시 기적적인 우연을 필요로 하는 것은 아닐 수 있다는 주장이다.
[image]
<프랙탈 항구>
컴퓨터상으로 몇 가지 간단한 재귀함수를 통해 구현할 수 있다. 예를 들면 이런 것.
[image]
<프랙탈 이론을 응용하여 산의 모습을 만드는 과정>
어디서 많이 보던 형상이 아닌가하고 생각할텐데, 바로 3D 모델링 방법 중 그 유명한 테셀레이션이다. 기술발전이 미미하던 과거에는 프리렌더링용 기법이었지만 다이렉트X11 이후 리얼타임으로도 구현이 되어 간단한 도형가지고도 복잡한 모델을 구현할 수 있게 되었다.
프랙탈 도형의 면적을 구하는 문제가 매년 대학수학능력시험에 출제되고 있으며, 이 경우 무한등비급수의 성질을 이용해 계산하는 문제로 나온다.
마이클 크라이튼 원작 소설 쥬라기 공원에도 소개되는데 등장 인물중 이안 말콤박사가 프랙탈 이론을 언급하는 장면이 나온다.
3. 차원
프랙탈 이론에서는 차원을 정의하는 방식을 달리하여 정수가 아닌 차원까지 생각할 수 있는데, 이를 '''하우스도르프 차원'''이라고 한다.
4. 프랙탈 도형의 종류
5. 관련 영상
5.1. 2D 프랙탈
프랙탈 도형은 특정한 과정을 무한히 반복해서 만들어지는 도형이고, 넓이는 유한하지만 표면적(2차원에서는 둘레)이 무한하기 때문에 특정 부분을 확대하면 특정 패턴이 무한히 반복된다.
아래는 인터넷에 한때 유행했던 프랙탈 도형 확대 영상.
- 망델브로 집합
- 일반적인 확대 영상
- 도형 속에서 여러가지 작품을 찾아보는 영상
- 지루한 확대와는 달리 이 영상은 초고속 확대를 시도한다
이러한 영상들을 끝낼 때는 마지막에 첫 도형과 같은 도형으로 끝내는 경우가 일반적이다.
- 줄리아 집합
보는 사람에 따라서 어지러울 수도 있다.
- 구글의 인공지능 'Deep Dream'이 생성한 프랙탈
갈수록 사람에 따라 심기가 불편할 수 있다.
5.2. 3D 프랙탈
이하는 3D 애니메이션으로 구현한 프랙탈 도형들. 잘 만들어진 영상은 그 특유의 장엄함으로 인해 인기를 끌기도 한다.
'''개인에 따라 조금 징그럽단 느낌이 들 수 있으니 주의.'''
동영상 제목이 Like in a dream (꿈만 같은)이다. 이미 꿈의 스케일을 벗어난 듯한 동영상이지만.
시에르핀스키 삼각형. ...삼각형?
위의 2D 프랙탈 영상과 합쳐놓은 듯한 컨셉의 영상. 처음에는 장엄하게 가다가 확대를 시작한다.
시에르핀스키. 이번에는 축소하는 동영상이다.
Ray Marching 기법을 이용한 특수한 렌더링 엔진으로 여러 가지 3D 프랙탈을 '''실시간''' 렌더링하는 모습. 이 동영상에서 원리가 설명되어 있다.
5.3. 4D 프랙탈
만델브로 집합을 '''4D'''에 구현한 영상.
6. 용례
- 마블 시네마틱 유니버스 영화인 앤트맨, 닥터 스트레인지와 가디언즈 오브 갤럭시 VOL.2에서 신비로운 분위기를 연출하기 위해 3D 프랙탈을 사용하였다.
- Aleph-0의 BGA에 3D 프랙탈을 적극적으로 사용하였다.
- 니팔자야 뮤직비디오의 초반에 망델브로 집합을 확대하는 장면이 있다.
- 쥬라기 공원에도 프렉탈을 이용한 CG가 이용되었다.
- 카도: The Right Answer에서 카도의 모양이 3D 프랙탈이다.
7. 여담
- 나무위키 주석으로 프랙탈[8]을 구현할 수 있었으나 서버에 큰 부담을 주게되는 기능인 탓에 픽스되었다. 현재는 할 수 없다.
- 카오스 게임(Chaos Game)으로 시에르핀스키 삼각형을 만들 수 있다. 방법은 다음과 같다.
- 삼각형 안의 아무 점에서 시작한다.
- 그 점과 삼각형의 세 꼭짓점 중 하나를 선택해서 중점을 구한다.
- 2에서 구한 중점을 표시하고 다시 그 중점과 다시 아무 꼭짓점 사이의 중점을 구한다.
- 3을 무한히 반복하면 삼각형 위에 표시한 중점이 시에르핀스키 삼각형을 이룬다.
[1] '병리적'이라는 단어는 실해석학의 시각에서 본 단어인데, 일반적인 수학적 대상(그 중에서도 함수)과는 동떨어진 성질을 갖고 있어서 붙여진 이름이다.[2] 완벽한 프랙탈은 아니지만 대충 프랙탈처럼 생긴 것.[3] 사실 이것 말고도 문자로도 구현이 가능하다.[4] 매 과정을 거칠 때마다 길이가 $$\frac{2}{3}$$배로 줄어들기 때문에, 이 과정을 무한히 반복하면 $$\displaystyle \lim_{n\to\infty}\left( \frac{2}{3} \right)^n=0$$이 되기 때문이다.[5] 구간 $$\left[ 0,1 \right]$$의 수직선 구간에서 만들어진 칸토어 집합은 3진법으로 $$0.a_{1} a_{2} a_{3} \cdots$$으로 표현할 수 있으며, 각 자리가 0 혹은 2가 된다. 즉, 칸토어 집합을 $$C$$라고 하면, $$\displaystyle \forall x \in C, x=\sum_{k=1}^{\infty} \frac{a_k}{3^k}$$(단, $$a_k$$는 0 혹은 2)을 만족한다. 그런데, 3진법 소수에서 2진법 소수로의 대응함수 $$f$$를 $$\forall x \in C, f \left( x \right) = f \left( \displaystyle{\sum_{k=1}^\infty \frac{a_k}{3^k}} \right) = \displaystyle{\sum_{k=1}^\infty \frac{a_k}{2^{k+1}}}$$와 같이 대응시킬 수 있다. 이 함수의 치역은 2진법 소수로 $$\left[ 0,1 \right]$$의 구간이기 때문에, 칸토어 집합과 $$\left[ 0,1 \right]$$ 사이에 일대일대응이 성립하여, 실수 집합과 농도가 같게 된다.[6] 만델브로 집합의 일부분이기도 하다. http://www.youtube.com/watch?v=px4mqU9ZTSA[7] 가끔 사상 최악의 방사능 오염치를 보였다는 미스테리 서클 사진으로 올라오고는 하는데 믿지 말자. 말했다시피 이건 프랙탈 이미지일 뿐이다.[8] 순환참조에 가깝다.