복소평면
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1. 개요
複素平面 / Complex plane
복소수의 집합 $$\mathbb{C}$$를 좌표평면 $$\mathbb{R}^{2}$$에 나타내어 복소수를 직관적으로 이해할 수 있게 만든 도구이다. '''가우스 평면, 복소수 평면'''이라고도 하며, 프랑스에서는 복소평면의 아이디어를 떠올린 사람 중 한 명인 장 로베르 아르강의 이름을 따서 '''아르강의 그림'''이라고 한다. 실직선이 실수에 대응한다고 보면 이해가 빠를 것이다.
당연한 소리지만, 0 이외에는 접점이 없는 실수와 허수를 '편의상' 한 평면에 표현한 것 뿐이니, 피타고라스 정리[1]라던가 하는 기하학적 법칙은 통하지 않는다.
2. 교육 과정
- 국내에서는 6차 교육과정까지 수학 II '삼각함수와 복소수' 단원에서 복소평면을 배웠으나 빠졌다가 현재는 고급 수학1로 부활했다. [2]
- 일본에서는 이과생들이 수학Ⅲ에서 배운다.[3]
- 호주에서는 대학 입시에 복소평면 부분이 역삼각함수 등과 함께 입시에 나온다.
3. 다색 복소평면
Domain coloring
복소수 관련 자료 가운데 이런 알록달록한 그림을 볼 때도 있는데, 이게 복소함수의 그래프이다. 보통 명도는 함숫값의 크기를 나타내며[4], 색도는 편각을 나타낸다. 색의 기준점은 실수 양수를 나타내는 빨간색.[5]
4. 평면과 복소수의 대응법
복소수와 좌표평면의 점을 일대일로 대응시킬 수 있다. 예를 들어 $$x+iy$$를 $$\left(\Re (x+iy), \Im(x+iy)\right) = \left(x,y\right)$$에 대응시키면 이는 일대일 대응이 되고 벡터공간 구조를 보존해준다.
$$i$$는 $$\left(0,\,1\right)$$에, $$1$$은 $$\left(1,\,0\right)$$에 대응되기 때문에, x축을 실수축, y축을 허수축이라 부른다.
5. 덧셈 관련
5.1. 덧셈의 기하적 표현
언급했듯이, 벡터공간의 성질을 유지하며 $$\mathbb{C}$$를 $$\mathbb{R}^{2}$$에 대응시켰기 때문에, 두 복소수의 덧셈은 복소평면에서 두 벡터의 덧셈이 된다. 예를 들어, 두 복소수 a+bi,c+di를 더하면 복소평면에서는 두 위치벡터[6] (a.b),(c,d)의 합이므로 평행사변형법을 써서 구할 수 있다.
5.2. 켤레
복소수 $$z$$의 켤레복소수 $$\bar{z}$$는 $$z$$의 x축 대칭이다.
5.3. 실수, 순허수
실수와 순허수는 각각 x축과 y축 위에 있다.
6. 곱셈
6.1. 극분해, 극좌표 변환
직교좌표계와 극좌표계는 간단한 변환으로 서로 바꿀 수 있는데, 같은 방식으로 복소평면에서도 적용이 가능하다. 이런 과정을 좀 더 엄밀하게 표현한 것을 '''극분해'''(polar decomposition) 라고 한다.
$$\displaystyle z = a+bi = r (\cos \theta + i \sin \theta), r=\sqrt{\Re(z)^{2}+\Im(z)^{2}}=\sqrt{a^{2}+b^{2}}, \theta = \arctan \left({b}\over{a} \right) $$[7]
엄밀하게는 \theta 의 존재성을 확인해야 하며, 추가로 사분면에 따라 그 값을 보정해 주어야 한다.
위 식에서 r 은 양의 실수이기에, $$\dfrac{z}{r}=c+is$$($$c=\dfrac{a}{r}$$, $$s=\dfrac{b}{r}$$는 실수)라 할 때, $$\left|\dfrac{z}{r}\right|^{2}=c^{2}+s^{2}=1$$이다. 따라서 실수 $$\theta$$가 존재하여 $$c=\cos \theta$$, $$s=\sin \theta$$이다.
이걸 그대로 오일러의 공식 ($$e^{i\theta}=\cos \theta+i\sin \theta$$)에 적용하면 아래의 결과가 나온다.
$$ z = a+bi=r \cdot e^{\theta i} $$
여기서, $$r$$은 [math(0)]과 $$z$$ 사이의 거리, $$\theta=\angle z$$이다. 즉, $$z$$를 극좌표의 형태로 표현한 것이다. 그런 이유로 이를 극분해라 부른다. 복소평면에서의 곱셈을 계산할 때 이를 활용하여 계산할 수도 있다.
6.2. 곱셈의 기하학적 표현
허수 $$i$$의 곱셈은 시계 반대 방향으로의 90도 회전이다. 이를 이용해서 음수끼리의 곱셈이 왜 양수가 되는지 설명하는 데 쓸 수도 있다.
극분해된 두 복소수 $$z_{1}=r_{1} e^{\theta_{1} i}$$와 $$z_{2}=r_{2} e^{\theta_{2} i}$$의 곱은 $$z_{1}z_{2}=r_{1}r_{2} e^{\left(\theta_{1}+\theta_{2}\right) i}$$이다. 즉, 절댓값이 각각 $$r_1$$과 $$r_2$$, 편각이 각각 $$\theta_1$$과 $$\theta_2$$인 두 복소수의 곱을 생각하면, 그 절댓값과 편각은 각각 $$r_{1}r_{2}, \theta_{1}+\theta_{2}$$이 된다. 이렇게 복소평면을 극좌표로 생각하면 곱셈이 아주 편해진다.
복소수의 곱셈은 그냥 계산하기 까다로울 정도로 어려운 것은 아니지만, $$ z^2, z^3$$이나 좀 더 일반화해서 $$ z^n $$ 같은 것으로 계산하고자 할 때는 이렇게 변환해서 계산하는 것이 훨씬 간단하다.
[1] 정작 복소수의 절댓값은 피타고라스 정리로 구한다(...).[2] 2015 개정 교육과정을 따르는 (사실상) 이과 학생들이 반드시 배워야 하는 수학 과목이 '수학 1·2', '확률과 통계', '기하', '미적분'이 있는 만큼 일반고에서 고급 수학1를 배우는 건 하늘에 별따기처럼 어렵다. 자신이 어느 한 과목을 자습으로만 때우고 고급 수학1를 학교에서 배우고 싶다고 말해도 다른 사람들이 그렇게 하지 않아 학생 수가 너무 적어 생기는 내신 등급 계산 문제로 인해 그러한 의사를 거부당할 것이다. 다만 학교 간 협력 교육과정을 통하여 원하는 사람은 개설된 고등학교로 가서 들을 수 있게 하기도 한다.[3] 그래서 일본대학 입시를 준비하는 유학생들이 따로 교재를 구해서보거나 학원을 다녀야한다.[4] [math(0)]은 시꺼멓게 표현되며 $$\pm \infty$$는 허옇다.[5] 다색 복소평면의 편각을 읽을 때 [math(x^3 = \pm1)]를 익혀 두면 쉽다. 각각 빨강: $$1$$, 노랑: $$-\overline\omega$$, 초록: $$\omega$$, 청록: $$-1$$, 파랑: $$\overline\omega$$, 자홍: $$-\omega$$의 편각이다.[6] (0,0)에서 그 점으로 향하는 벡터[7] $$\arctan$$은 역탄젠트 함수를 뜻한다.