1. 알못을 위한 소개
motive를 간단히 말하면 '''복소수 위 말고 다른 세계에서도 복소 해석을 생각해보자'''다. 복소 해석 하면 그 영역에 대한 극좌표 변환과 같은 중요한 정리로 코시의 적분 정리가 있다. 코시의 적분 정리란 적분할 함수를 폐곡선으로 적분할 때 폐곡선 내부에 적분할 함수가 해석적(analytic)이라면 그 적분값은 0이라는 정리다. 이는 매우 중요한데, differential forms들과 closed curve 사이의 관계가 어떻게 되어 있는지 알려주기 때문이다. 그리고 이것을 de Rham theorem이라고 부른다. homology란 적분에 의해서 잘 변하는 closed curve의 모임, cohomology는 적분에 의해서 잘 변하는 differential forms들의 모임으로 부를 수 있고 이 둘을 엮는 것이다. 그리고 이를 발전시킨 것이 바로
호지 이론. 그리고 이것을 더 일반화시킨 것이 motive다.
2. 역사
1960년대
etale cohomology가
[1] 간단히 말해서 실수가 아닌 일반적인 field 위의 cohomology이다. cohomology는 사슬 복합체의 homology와 다르다! 헷갈리지 말자.
가 만들어졌다. etale cohomology는 Weil conjecture라는 엄청난 가설을 풀 수 있는 열쇠로 여겨졌고 실제로 etale cohomology로 Weil conjecture는 풀리게 된다. 하지만
Grothendieck는 훨씬 더 거대한 것을 생각하게 되는데, Weil conjecture를 풀 수 있는 적당한 cohomology를 만들려고 노력한 것이 결국 복소수 위의 cohomology와 성질이 거의 같은 cohomology를 finite field 위에서 찾는 일과 같음을 깨달았기 때문이었다. 그렇게 해서 etale cohomology같은 cohomology를 어디에서든 찾을 수 있다는 것이 Grothendieck의 생각이었고, 그렇게 해서 motive라는 것을 생각하게 되었다.
3. 개요
그러면 이런 cohomology를 어떻게 만드는 걸까?? 먼저 우리가 원하는 cohomology가 어떤 성질을 가져야 하는지 생각해보자. $$k\subseteq \Bbb{C}$$를 field라고 하고 $$ \mathrm{Var}_{k}$$를 $$k$$ 위의 모든 smooth projective (not assumed connected) variety라고 해보자. 그리고 $$ E$$를 아무 field (of characteristic 0)라고 하고 $$\mathrm{Gr}_{E}$$를 $$E$$ 위의 category of finite dimensional graded $$E$$-vector space라고 하자. 그렇다면 $$ \mathrm{Gr}_{E}$$엔 tensor product를 정의할 수 있는데,
$$ (V \otimes W)_n=\bigoplus_{i+j=n}V_i\otimes W_j$$
라고 정의되면 잘 정의된다. (이를 생각하는 이유는 cohomology ring때문이다. cohomology라면 당연히 cup product가 있어야 한다는 생각 때문에.)그렇다면 다음과 같은 성질은 어떨까. tensor functor $$ H^*:\mathrm{Var}_{k}^{\mathrm{op}}\to \mathrm{Gr}_{E}$$를 생각하자. (tensor functor라는 것은 곧 Kunneth formula를 뜻한다.) tensor product라면
$$ K_{X,Y}:H^*(X)\otimes H^*(Y)\cong H^*(X\times Y)$$
를 생각할 수 있다.
'''Nomalization'''. $$ $$H^2(\Bbb{P}^1)$$은 $$\mathrm{Gr}_{E}$$에서 invertible이다. 이제 $$V\in \mathrm{Gr}_{E}$$라면
$$V(r)=V\otimes H^2(\Bbb{P}^1)^{-\otimes r}$$
라고 정의하자.
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'''Trace axiom'''. $$ $$X$$가 equidimension $$d$$를 갖는다고 하자. 그렇다면 다음과 같은 trace morphism
$$\mathrm{Tr}_{X}:H^{2d}(X)(d)\to E$$
가 있어서 다음 둘을 만족한다.
'''(a)''' $$K_{X,Y}$$에 의해서 $$\mathrm{Tr}_{X\times Y}=\mathrm{Tr}_{X}\circ \mathrm{Tr}_{Y}$$다. 그러니까 $$d_X$$가 $$X$$의 dimension이라면
$$H^{2d}(X\times Y)(d_X+d_Y)\overset{K_{X,Y}}{\longrightarrow}H^{2d}(X)(d_X)\otimes_{E} H^{2d}(Y)(d_Y)\overset{\mathrm{id}\otimes \mathrm{Tr}_{Y}}{\longrightarrow} E\otimes_{E}H^{2d}(Y)(d_Y)\longrightarrow E$$
와 그냥 $$\mathrm{Tr}_{X\times Y}$$로 가는 거와 같은 morphism이라는 것이다.
'''(b)''' 다음 morphism을 생각하자.
$$H^*(X)\otimes H^*(X)\overset{K_{X,X}}{\longrightarrow}H^*(X)\otimes H^*(X)\overset{\Delta^*}{\longrightarrow}H^*(X)$$
여기에서 $$ \Delta$$는 $$x$$를 $$(x,x)$$로 보내는 morphism. 그리고 이 composition을 cup product라고 하자. 그러면
$$ H^{i}(X)\times H^{2d-i}(X)(d)\longrightarrow H^{2d}(X)(d)\longrightarrow E$$
라는 cup product와 trace morphism의 composition은 perfect pairing을 이룬다.
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'''cycle class map'''. $$ $$Z^r(X)$$를 codimension $$r$$인 integral closed scheme $$Z\hookrightarrow X$$들을 basis로 하는 $$\Bbb{Q}$$라고 하자. 그렇다면 다음과 같은 cycle class map이 있다.
\gamma^r_{X}:Z^r(X)\longrightarrow H^{2r}(X)(r)
그리고 다음과 같은 좋은 성질들을 만족한다.
'''(a)''' $$\gamma^r_{X}$$는 Chow group을 만든다. Chow group은 $$Z^r(X)$$을 rational equivalence로 나눈 것.
'''(b)''' $$\gamma^r_{X}$$는 contravariant다. 그러니까
$$ f^*\gamma^r_{Y}(Z)=\gamma^{r}_{X}([f^{-1}Z])$$
가 된다. 여기에서 $$f$$는 flat이어야 하는데, 그 이유는 $$[f^{-1}Z]$$를 잘 정의해야 하니까. 아니면 equidimensional이란 성질이 깨져서 정의를 못 한다.
'''(c)''' $$\alpha\in Z^r(X),\beta\in Z^s(Y)$$라면
$$ \gamma^r_{X}(\alpha)\times \gamma^s_Y(\beta)=\gamma^{r+s}(\alpha\times \beta)$$
가 된다. 이 때에도 $$\alpha\times \beta$$가 언제나 integral scheme인 건 아니니까 reduced structure를 생각해야 한다.
'''(d)'''
$$ Z^d(X)\longrightarrow H^{2d}(X)(d)\longrightarrow E$$
는 $$[P_i]$$를 $$[k(P_i):k]$$로 보낸다.
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