반군(수학)
半群, Semigroup
집합 $$G$$ 위에 '''닫혀있는''' 이항연산 $$* : G\times G \to G$$[1]이 '''결합법칙''' $$a*\left(b*c\right)=\left(a*b\right)*c$$ 를 만족하면, 순서쌍 $$\left(G,*\right)$$를 '''반군'''(半群, Semigroup)이라 부른다. 여기서 결합법칙마저 빠지면 마그마(Magma)가 된다.
(예) 양의 정수와 덧셈은 반군을 이룬다. 여기서 ([math(0)]을 자연수로 본다면) 양의 정수의 집합 내에 덧셈의 항등원 [math(0)]이 없음을 알 수 있다.
다만 반군만으로는 쓸만한 성질이 없기 때문에, 대개는 항등원 $$e\in G$$[2]가 존재함을 추가로 가정해, $$\left(G,*\right)$$를 모노이드(monoid)로 만들어 다루기도 한다.
대표적인 반군으로 소수 $$\mathbb P$$, 자연수 $$\mathbb N$$, 무리수만의 집합 $$\mathbb I$$가 있다.
집합 $$G$$ 위에 '''닫혀있는''' 이항연산 $$* : G\times G \to G$$[1]이 '''결합법칙''' $$a*\left(b*c\right)=\left(a*b\right)*c$$ 를 만족하면, 순서쌍 $$\left(G,*\right)$$를 '''반군'''(半群, Semigroup)이라 부른다. 여기서 결합법칙마저 빠지면 마그마(Magma)가 된다.
(예) 양의 정수와 덧셈은 반군을 이룬다. 여기서 ([math(0)]을 자연수로 본다면) 양의 정수의 집합 내에 덧셈의 항등원 [math(0)]이 없음을 알 수 있다.
다만 반군만으로는 쓸만한 성질이 없기 때문에, 대개는 항등원 $$e\in G$$[2]가 존재함을 추가로 가정해, $$\left(G,*\right)$$를 모노이드(monoid)로 만들어 다루기도 한다.
대표적인 반군으로 소수 $$\mathbb P$$, 자연수 $$\mathbb N$$, 무리수만의 집합 $$\mathbb I$$가 있다.
[1] $$G$$의 두 원소 $$a$$, $$b$$를 받아 '''$$G$$ 내에 있는''' 어떤 값 $$a*b$$를 내놓는 함수.[2] $$G$$의 임의의 원소 $$a$$에 대해 $$a*e = e*a = a$$ 라는 성질을 만족하는 특수한 원소.