베르누이 부등식
1. 개요
해석학을 배울 때 반드시 배우게 되는 부등식. 야코프 베르누이(Jacob Bernoulli)가 1689년에 처음 발표하였다. 이 부등식은 $$\left(1+x\right)^r$$를 일차함수로 근사할 때 사용하며, 수학의 정석에도 나와있을 정도로 유명하다. 자세한 정리는 아래와 같다.
만약 조건을 조금 더 강화시켜 등호를 없앤다면 다음과 같다.$$\left(1+x\right)^r\geq1+rx$$, 단 $$x\geq-1$$인 실수, $$r\geq0$$인 정수.
증명은 수학적 귀납법을 사용하는 것이 일반적이다.$$\left(1+x\right)^r>1+rx$$, 단 $$x\geq-1,\,x\neq0$$인 실수, $$r\geq2$$인 정수.
2. 증명
- 수학적 귀납법
- 1) $$r=0$$일 때, $$\left(1+x\right)^0\geq1+0\cdot x \Leftrightarrow 1\geq1$$이므로 성립.
- 2) $$r=k$$일 때 성립한다 가정하자. 그럼, $$\left(1+x\right)^k\geq1+kx$$. 한편, $$\left(1+x\right)^{k+1}=\left(1+x\right)^k\cdot\left(1+x\right)\geq\left(1+kx\right)\left(1+x\right)=1+kx+x+kx^2=1+\left(k+1\right)x+kx^2\geq1+\left(k+1\right)x$$이므로 $$r=k+1$$일 때도 성립.
3. 확장
위 부등식으로는 $$\left(1+x\right)^r$$를 근사하는게 가능하나, 원래 식보다 '''작은'''값으로 밖에 추정을 못한다. 원래 식보다 '''큰'''값으로 추정을 하기 위해선 자연로그의 밑 [math(e)]을 활용한다. 곧,
이다. 증명은 $$\left(1+\frac{1}{x}\right)^x<e$$임을 이용하여 간단하게 증명이 가능하다. 이제 이 부등식과 원래 부등식을 합치면,$$\left(1+x\right)^r\leq e^{rx}$$
가 되고, 이는 $$\left(1+x\right)^r$$의 근사값을 아주 간단하게 추정할 수 있게 만들어 준다.
그런데 만약 $$r$$이 정수가 아니라 실수라면? 이 때도 같은 부등식이 성립하나 $$r$$의 범위에 따라 부등호의 방향이 달라진다.
증명은 미분을 이용하여 간단하게 할 수 있으니 직접 해보자.$$x\geq-1$$일 때, $$\begin{cases} \left(1+x\right)^r\geq1+rx\quad & \text{ if }r\geq1,\,r\leq0 \\ \left(1+x\right)^r\leq1+rx\quad & \text{ if }0\leq r\leq1\end{cases}$$
4. 관련 문서
[1] 이건 r이 정수일 때나 통하지 정수 아니면 일반적으로 이항전개는 안 먹히므로 위의 방법이 조금은 더 실용적이다.