해석학(수학)
解析學[1] / Analysis
1. 개요
수학의 한 분야로, 기본적인 정의는 함수를 연구하는 학문이다. 물론 모든 함수를 다 연구하는 것은 아니고, 주로 실수와 복소수 위에서의 함수들과 연속성 등을 탐구하게 된다. 연속성을 탐구하는 다른 학문인 위상수학과의 차이는, 연속성을 '수량화'했다는 것이다. 실제로 연구자들에게 해석학은 끝없는 계산으로 악명높다. 수치해석은 이름도 비슷하고 해석학과 연관도 있긴 하나 엄밀히 말하면 해석학의 한 종류가 아닌 별개의 다른 과목이라고 보는게 맞다.[2]
해석학은 미적분학의 수학적 기초를 엄밀하게 세우면서 출발했다. 미적분학이 태동할 17~18세기의 수학은 직관적인 이해로부터 출발하는 것이 당연했고, 수 체계나 집합과 같이 오늘날에는 엄밀하게 정의되어 있는 개념들이 그 당시에는 직관적으로만 이해되고 있었다. 마치 고등학교 과정 미적분에서 극한의 정의, 중간값 정리, 최댓값/최솟값 정리의 증명에 대한 엄밀한 고찰을 모두 생략한 것과 비슷하다. 물론 수학이 발전하면서 이 빈틈으로부터 여러 모순이 발견되었으며, 수학자들은 극한에 대하여 엄밀하게 정의하는 것이 필요함을 인식하게 되었다. 애매한 무한소 개념을 대체하는 코시(Cauchy)의 엡실론-델타 정의를 시작으로[3] 이 노력이 근대까지 이어진 것이 초창기의 해석학이다. 특히 18세기 말부터 19세기 초까지 칸토어가 푸리에 급수를 연구하면서 집합론을 세우고, 데데킨트 등의 수학자들에 의하여 실수계가 엄밀하게 정의된 것이 오늘날과 같은 모습의 해석학을 발전시키는 토대가 되었다고 할 수 있다.
엡실론 델타 논법에 대한 기원에 대해서 불명확하게 서술되었다. 먼저 1817년 베른하르트 볼차노가 이에 대한 개념의 토대를 세웠으나 묻혀버렸고, 오귀스탱 루이 코시가 최초로 표기를 사용했으며, 카를 바이어슈트라스가 엡실론 델타 논법으로 균등수렴을 정의함으로써 엡실론-델타 논법이 수학계에 정착되기 시작했다.
현대의 해석학은 기껏해야 수학과 학부 2학년에 해당하는 입문과정을 제외하면 미적분학과는 연관성을 알아볼 수 없을 정도로 다양하게 발전하였다. 르베그 공간(Lebesgue space), 힐베르트 공간(Hilbert space), 바나흐 공간(Banach space)등의 성질과 작용소(Operator)를 연구하는 함수해석학(Functional Analysis), 측도 공간을 넘어 위상군(Topological group)이나 비 가환군(Non-commutative group)에서 푸리에 해석을 연구하는 조화해석학(Harmonic Analysis), 불규칙한 운동을 연구하는 에르고드 이론(Ergodic thoery), p진수를 변수로 갖는 함수를 연구하는 p진 해석학(P-adic Analysis)등의 많은 세부분야가 생겼을 뿐만 아니라, 정수론이나 기하학을 포함한 수학의 전 분야에 영향을 끼치고 있다.
확률론과 편미분방정식, 미분기하학, 심지어는 전혀 관련 없어 보이는 정수론(일명 해석적 정수론)까지 많은 분야의 기초가 되는 만큼, 전공자가 아니더라도 수학을 조금이라도 사용하게 된다면 한 번쯤 접하게 되는 분야이기도 하다.
2. 대학의 학과 과목으로서 해석학
- 주로 배우는 내용[6]
- 기초적인 집합론: 비단 해석학뿐만 아니라 수학 전반에 걸쳐 집합론에 대한 기본적인 내용을 알고 있어야 논리 전개가 가능하다. 특히 해석학에서는 무한집합의 성질이 많이 사용되기 때문에 집합론의 앞부분만 공부하지 말고 가산집합과 비가산집합, 무한집합의 성질까지 꼼꼼하게 공부해 두어야 한다.[4]
- 실수의 성질(체 공리, 순서 공리, 완비성 공리), 극한의 엄밀한 정의, 상극한과 하극한, 코시수열
- 좌표공간의 위상적 성질: 열린 집합, 닫힌 집합, 극한점(집적점), 고립점, 볼차노-바이어슈트라스 정리, 닫힘(폐포), 옹골집합(컴팩트집합), 연결집합
- 함수의 연속: 연속성의 엄밀한 정의, 최대·최소 정리와 중간값 정리[5]의 증명, 고른연속(균등연속, 평등연속)의 정의와 응용
- 함수의 미분: 미분의 정의와 미분가능성, 코시의 평균값 정리와 로피탈의 정리, 테일러 전개
- 리만-스틸체스 적분: 리만 적분의 정의와 적분 가능한 함수, 미적분의 기본 정리, 함수의 변동, 리만-스틸체스 적분의 정의와 성질
- 함수열: 함수열의 정의, 점별수렴과 고른수렴(균등수렴), 극한의 순서를 바꿀 수 있는 조건, 무한급수가 고르게 수렴할 조건
- 함수공간: 연속함수공간과 동등연속(동정도연속)의 정의, 아르젤라-아스콜리(Arzela-Ascoli) 정리, 바나흐 공간의 정의, 수열 공간, 특이적분과 특이적분 가능한 함수공간
- 적분으로 정의된 함수: 다변수함수의 연속성과 미분, 감마함수, 적분변환(라플라스 변환, 푸리에 변환, 합성곱)
- 푸리에 해석: 푸리에 급수와 그 수렴성, 미분과 적분
- 기초 실해석: 측도론 맛보기, 르벡 적분 및 수렴 정리
해석학에서는 주로 함수의 연속성과 최댓값/최솟값의 존재성[8], 미분과 적분의 해석학적 정의, 다변수 함수의 성질에 대한 내용들이 소개되며, 나오는 정의 대부분이 처음 접하는 내용이거나 다소 받아들이기 힘든 내용인 데다가 증명 과정도 이해하기가 쉽지 않다. 그도 그럴 것이, 해석학에서는 미적분학에서 배운 것들을 증명하기 위한 개념을 도입하는데, 연속성은 그렇다 치더라도 compact[9]라는 개념을 배우면 머리가 안드로메다로 가는게 부지기수.
그리고 compact라는 개념이 중요한 이유는 우리가 아는 실수 공간의 수열들의 성질들을 일반화 시키는 데 강력한 도움을 주기 때문이다. 만약 compact를 한 큐에 이해할 수 있다면 꼭 해석학/위상수학 계열의 수학자가 되기를 바란다.
compact set을 쉽게 비유해서 설명하자면, 어떤 도형 P를 여러 개의 도장들의 모임으로 찍어서 덮는데 이러한 도장들 중에서 유한개만을 뽑아내서 P를 덮을 수 있을까? 덮지 못하는 도장들의 모임이 있다면, P는 compact하지 않다. 즉, P를 덮을 수 있는 임의의 도장들의 모임에서 유한 개만 뽑아서 P를 덮을 수 있어야 P가 compact하다. [10]
참고로, 3년제인 유럽의 대학은 미적분학이라는 게 없다보니. 입학하면 바로 해석학으로 시작하며, 덕분에 수학과 첫 학기 낙제율은 거의 항상 80%가 넘어간다. 물론, 장기적으로 보면 수학의 분야 중에서는 해석학 자체가 굉장히 어려운 분야는 아니다. 오히려 해석학은 짬이 조금 차면 자연스레 할 수 있게 되며, 초반에 어느 선까지만 '''강렬하게''' 머리를 불살라주면 그 이후부터는 꽤 편해지는 과목이다. 사실, 수학과 고학년들은 해석학보다 대수학을 더 어렵게 생각한다.[11] 해석학은 노력하면 충분히 잘 해낼 수 있다는 평이 많다.
실수를 유리수 코시수열 modulo(극한값이 같다)로 정의한다. modulo는 사칙연산의 나머지를 추상화시킨 것인데, 모든 유리수 코시수열을 수렴값이 같다라는 관계로 나누어 그 나머지를 이루는 coset을 각각의 실수로 정의한 것이다. 즉, 0으로 수렴하는 모든 유리수 코시수열의 집합을 0, 1로 수렴하는 모든 유리수 코시수열의 집합을 1, 이런식으로 정의해서 사용하기도 한다. 참고로, 이것은 칸토어의 방법론이고, 이보다 먼저 데데킨트가 데데킨트 절단(Dedekind’s cut)이라는 방법으로 유리수에서 실수를 구성했는데, 역사적인 이유로 데데킨트의 방법론을 가르치는 경우가 더 많다.
해석학에서는 실수집합을 추상화시킨 집합, 즉 실수집합과 비슷한 성질을 가진 집합에서 정의된 함수에 대해서도 미분과 적분을 할 수 있도록 확장시킨다. 그럼 먼저 실수집합이 어떤 성질을 갖고 있는지 파악해야 '''실수집합과 비슷한 성질을 가진 집합이 어떤 집합인지 판단'''할 수 있게 되는데 이 분야를 일반위상수학(general topology)이라 한다.위상수학이라 하면 구멍이니 도넛이니 매듭이니 이런 것을 떠올릴 수 있겠지만 사실 위상수학은 집합의 원소들이 이루는 공간을 포함관계의 측면에서 다루는 학문이다. 일반위상수학의 논리 전개는 집합을 대상으로 하는 논리적 판단이 대부분이므로 집합론에 대한 학습이 필수적이다. 실수집합이 아닌 집합에서 정의되는 함수에 대해서 미적분을 논하는 가장 기본적인 예시는 확률론이다. 확률은 확률이 부여되는 사건집합(event set)에서 정의되는 함수이고 기댓값은 사건집합에서 정의되는 함수에 대한 적분이 된다. 따라서 확률론은 기본적으로 해석학에 속한다.
적분은 구간 내 함숫값*구간길이를 다 더한 것이므로 함수를 적분하려면 구간길이를 따져야 한다. 이 구간의 길이, 즉 집합의 크기의 개념에 다루는 학문이 측도론이다.
2.1. 복소해석학
2.2. 실해석학
2.3. 수학과, 수학교육과 학생의 경우
주로 학부 2학년 때 선형대수학과 함께 수강하며, 처음으로 배우는 '''진짜 수학'''이라고들 한다. 물론 선형대수학도 있지만, 선형대수는 상대적으로 친숙한 벡터와 행렬이 나오므로 쉽게들 느낀다. 물론, 이건 가르치는 사람에 따라 다른데, 선형대수학을 들으러 오는 다른 전공 학생들을 의식해 (혹은 교수 본인이 응용수학 전공이라거나) 3차원 이하의 유클리드 공간으로 한정하여 벡터와 함수등을 이용해 직관적으로 매우 쉽게 가르치는 교수가 있을 수도 있지만, 수학과라면 선형대수학을 순수하게 수학적으로 접근하여 행렬등을 거의 사용하지 않고 대수적으로 접근하여 선형함수를 이용하여 가르치고 그와중에 카테고리, Functor 같은 추상적인 개념들까지 이용하여 넘사벽의 난이도로 가르쳐 선형대수를 훨씬 난해하게 느끼는 경우도 많다. (예를 들어 서울대 선형대수학 강좌교재인 선형대수와 군의 구성은 정의-명제-증명-...의 연속이다 ) 반면, 해석학은 그런 경우가 없이 난이도가 비교적 표준적이다. 나중에 해석학을 많이 공부하다 보면, 선형대수의 철학과 해석학의 철학이 만나는 접점이 나타난다. 자세한 것은 무한차원 선형대수학이라 불리는 함수해석학을 찾아보도록.
어렵지만 대수학과 해석학은 수학의 핵심 과목[12]이라서 이 둘을 잘 해놓아야지만 앞으로의 갈 길이 편하다. 실해석학, 복소해석학, 편미분방정식, 확률론 등의 과목이 기본적으로 해석학의 내용을 바탕으로 전개되기 때문이다.[13] 단순히 과목 내용뿐만 아니라, 수학의 각 부분에서 사용되는 여러 가지 중요한 증명 스킬 역시 여기에서 배운다. 다만 복소해석학의 경우는 코시-리만 방정식 정도는 왜 성립하는지 정도는 익혀두는 게 좋다. 이변수 함수의 편미분을 할 수 있다면 충분히 가능하다.
사실 학부 때 배우는 모든 내용이 그렇지만, 해석학과 대수학은 사실 가장 중요하면서도 쓸모없는 과목이기도 하다. 그 이유는, 학부 때 배우는 해석학이나 대수학은 본격적인 수학이라기보다 수학에서 알파벳과 같이 쓰이는 개념들의 습득이 목적이기 때문에 반드시 알아야 하지만, 그것만 갖고는 할 수 있는 게 거의 없기 때문이다. 본격적인 수학은 그 개념들을 이용하여 빨라봤자 석사 시절부터 배우기 시작한다고 보면 된다.
해석학을 단학기로 끝내지 않고 1년 내내 배울 경우, 해석학I에서는 기초 집합론, 실수계, 수열, 함수의 연속, 미분, 적분, 급수, 함수열, 함수공간까지는 다들 비슷비슷한 진도를 나가지만 해석학 II를 시작한 뒤로 한 달 내지 중간고사까지의 시점이 지나면 진도가 갈림길에 들어선다. 일반적인 선택은 기초적인 푸리에 해석과 실해석학[14]에 대한 맛보기를 하는 것. 이런 진도를 가정하고 만들어진 교과서로는 김김계 해석개론이 대표적인 예라 할 수 있다. 그러나 이런 푸리에, 실해석 대신 다변수함수 진도를 나가는 수도 있다. 이 때 다변수함수를 공부해놓으면 3학년 때 미분기하학과 복소해석학을 일찍 내지는 수월하게 시작할 수 있다는 장점이 있기 때문. 이 두 갈림길은 어느 쪽이든 졸업 전엔 다 섭렵하고 지나갈 내용이긴 한데, 무엇부터 할 것이냐에 따라 수학과생들, 사실 그들보다도 수학과 수업을 들으러 오는 타전공 학생들이 특히 큰 혼란을 겪곤 한다. 하술할 해석학 교과서 중 Rudin의 PMA가 '한 책에 너무 많은 내용을 담으려 했다'는 평을 듣는 것도 이 갈림길을 모두 집어넣었다는 점 때문이다. 물론 배우는 입장에서는 (일부를 제외하고는) 다들 쉽지 않은데, 가르치는 강의하는 교수님에 달렸다.
대학원에 진학하면 편미분방정식, 함수해석, 조화해석 등등의 여러 계통으로 나뉘어 본격적으로 전문적인 수학과목에 입문하고 최신연구주제나 분야들도 접할 기회가 생기게 된다. 하지만 해석학과 완전히 상관없는 과목을 전공하게 된다면 전공시험을 통과한 이후 '''복잡하고 까다로웠던 과목''' 취급받으면서 서서히 잊혀져간다. 물론, 그렇다고 해도 세부적인 부분까지 파고 들어가지만 않을 뿐, 해석학에서 사용하던 기본적인 개념들은 분야가 달라도 종종 튀어나오므로 완전히 잊는것은 불가능하다. 완전히 상관이 없다면 애초에 학부 1학년부터 대수와 해석학 전공생을 나누어 가르쳤을테지만, 그러는 학교는 없지 않은가.
함수해석학의 경우 선형대수학의 선형사상과 밀접한 연관이 있다. 진정한 해석학 굇수가 되고 싶다면, 선형대수도 열심히 공부할 것을 추천한다. 물론 함수해석학도 깊게 들어가면 더이상 Linear가 아니게 되는 경우도 많이 등장하지만, 기본이 이 선형사상이기 때문이다.
3. 비표준 해석학
표준적으로 사용하는 해석학의 공리인 엡실론-델타 논법 대신, 초실수체를 이용해서 전개하는 해석학이다. 이는 무한대, 무한소를 하나의 '수'로 가정하고, 표준부분함수 $$\rm st$$를 정의함과 동시에 '확장원리'와 '전달원리'을 이용해 유율법이 나올 시절의 극한을 현재 수준으로 엄밀하게 정의하는 것이 의의를 둔다.
자세한 내용은 초실수체 문서 참조.
4. 교과서
아래 목록을 봐도 알겠지만, 교재 선택시 주의할 점이 있다. 저자들마다, 그리고 교재들마다 한학기 또는 두학기 강의용, 또는 독학용이 다르고 처음부터 위상수학 관련 내용을 많이 언급하느냐, 한학기~한학기 반짜리 기본 진도 이후 푸리에, 측도, 위상수학, 다변수함수 등을 다룬다면 얼마나 다루냐 등 제각기 다른 독자를 상정하고 쓰느라 다루고 있는 범위가 다르다. 심지어는 제목에서부터 혼동을 초래하는 경우도 적지 않다. 예를 들면 Bartle 저서나 정동명 저서처럼 학부 2학년 정도의 해석학 초심자를 위한 입문서의 제목을 '실해석학개론' 같은 제목으로 정하여 고학년생들까지 헷갈리게 하거나[15], Spivak의 Calculus on Manifolds나 Marsden 저서, Apostol 저서처럼 'Calculus'나 'Advanced Calculus' 같은 제목을 단 채 1학년 미적분학에서 다루기 힘든 해석학 내용을 끈적하게 다루는 책도 있다. 김홍종 저서나 Apostol 저서 같은 특이한 예를 제외하면 구성이 대동소이한 미적분학 교재들과 달리 해석학 교재들은 목차, 머리말, 올드비들의 서평 등을 다양하게 찾아보고 심사숙고하여 선택할 필요가 있다.[16]
4.1. 학부
- Jerrold E. Marsden, Elementary Classical Analysis
많이 쓰이는 교과서이지만, 아시아판이 절판되어 pdf 파일을 내려받던지 도서관에서 책을 빌려 제본하든지, 그것도 싫으면 30만 원짜리 미국판을 사는 것 외에는 책을 구할 방법이 없다. 기껏해야 알라딘 중고서점 같은 중고시장에서 가끔 목격되는 정도. Classical Analysis라는 제목에서 알 수 있듯 측도에 관한 내용은 없다.
- Stephen Abbott, Understanding Analysis
초판이 2001년에 나오며 2015년에 개정될만큼 학부 해석학 교재중에서는 상당히 최신 교재로, 미국수학협회에서 "교수들이여, 교과서가 당신의 강의보다 이해하기 쉬운 불상사를 초래하고 싶지 않다면 이 책을 교과서로 쓰지 마라" 라는 말을 들을 정도로 설명이 뛰어난 교재이다. 한학기용 교재이기 때문에 스틸체스 적분과 같은 일부 내용은 없지만 기초 위상, 기초 르벡 적분 등 있을만한 내용은 다 들어있다.
- Robert G. Bartle, Donald R. Sherbert, Introduction to Real Analysis
해석학 입문서적. 난해함을 줄이기 위해 해석학 서적에서 그 흔하디 흔한 위상수학 기초 설명도 최대한 배제하고, 처음부터 끝까지 일관되게 1변수 함수만을 대상으로 최대한 쉽게 설명하려고 노력한 흔적이 곳곳에서 보인다. 물론 르베그 적분 및 측도론 내용은 없다. 실제로 해석학 교재들 중에서 손에 꼽힐 정도로 쉬운 책으로, 경제학과 등 상경계열 전공에서 주로 쓰는 모양. 또한 본문 내용 중간중간 각종 수학자들의 일화나 해석학의 역사적 흐름을 설명해주는 건 덤이다. 실해석학 개론이라는 이름으로 번역되어 출판되고 있다. 같은 저자의 The Elements of Real Analysis도 보면 좋다. 단점으로는 적분편의 이론이 다른 해석학 교재와는 지나치게 이질적이라는 것이다. 이 책에서는 리만 적분을 다룰 때 다르부 적분의 내용을 사용하지 않는다거나[17] 게이지 이론 등의 내용을 넣어두었는데 이러한 설명이 딱히 쉬운것도 아니고 리만 적분의 개념을 이해하는데 꼭 필요한 것도 아니다.
- Walter Rudin, Principles of Mathematical Analysis
1951년에 초판이 나온 오랜 역사를 자랑하는 책이다. 보통 루딘이라고 하면 이 책이다. 워낙 유명한 책이라 약자로 PMA라고도 종종 불리며, 영어권에서는 Baby Rudin이라고도 한다. 1976년에 나온 3판이 최신. 인터내셔널 에디션에 오타 있는 게 수십 년째 고쳐지지 않고 있다. 아마 앞으로 개정될 일이 없을 듯. 내용 전개 방식이 어렵고 지나치게 간결한데다 흔하디 흔한 그래프나 그림조차 그려져 있지 않아서 꽤나 큰 진입장벽이 있다. 애당초 이 책은 머릿말의 첫 글귀에서도 확인할 수 있듯 학부 3~4학년들이 참고용으로 쓰거나 대학원에 진학하기 전에 해석학을 다시 복습하기 위해 쓰여진 책이다. 그래서 해석학 초심자가 PMA로 해석학에 입문하겠다고 하는 경우 주변인들이 말린다. 하지만 상위권 대학에선 눈높기로 유명한 몇몇 교수들이 학부 2학년 현역 수업 때 활용하기도.[18] 그래도 처음엔 어렵지만 해석학에 대한 실력이 쌓이고 나서 다시 보면 잘 쓴 책인 걸 느낀다. 특히 초반 8장까지는 정말 많은 내용들을 최대한 간결하게 다 서술해놨다. 다만 9장부터는 다변수해석학과 실해석 관련 내용을 다루는데, 너무 많은 내용을 한꺼번에 담으려고 한 부작용으로 특별한 배경지식이나 다른 서적 없이는 상당히 난해한 서술이라는 게 중론. 1~8장까지는 그냥 공부한다 쳐도, 9장부터는 선형대수학에 숙달된 상태에서 공부하는 것을 추천한다. 2013년에 '해석학의 원리'라는 이름으로 번역본이 나왔다. 그러나 수학 용어의 국어화를 강조하는 역자의 성향 내지는 신념(...) 때문에 번역본을 보는 독자들이 상당한 위화감을 겪는다.[19] Exercise는 본문 내용을 숙지했어도 어려울 만큼 문제 수준이 높다. 그래도 중요한 공식이나 정리들이 많이 소개되어 있기도 하고, 다양한 아이디어들을 많이 얻어갈 수 있는 파트이므로 해석학에 대한 이해를 높이고 싶다면 반드시 풀어야 할 파트이다.[20]
- William R. Wade, An Introduction to Analysis
다변수까지 쭉쭉 달리는 구성은 루딘 PMA와 비슷하다. 예제와 연습문제도 국내 저자들의 교재들이 많이 베껴(...) 수록할 정도로 질이 좋다. 전체적으로는 친절한 PMA, 루딘 순한맛이라는 평을 받는다만, 이는 PMA의 가로, 세로, 두께를 약 1.5배×1.5배×2배(...)로 잡아늘려서 차근차근 친절한 서술을 욱여넣었다는 말이지 절대적으로 쉽다는 말은 아니다. 그래도 루딘의 PMA를 보다 지쳤지만 한 책으로 다변수해석까지 완주하고 싶어하는 사람들에겐 원서 중에서는 최선의 대안으로 꼽힌다. 최신인 4판은 그 악명 높은 Pearson New International Edition의 마수를 벗어나지는 못했...으나 그래도 챕터째로 칼질을 당해버리는 다른 과목 다른 교과서들에 비하면 Appendices만 잘리고 챕터들은 보전되었다는 점에서 상대적으로 매우 양호한 편. PMA를 번역하신 그 교수들의 번역판도 있다.
- 김성기/김도한/계승혁, 해석개론
약칭 김김계. 서울대학교 수리과학부 2학년 학부생을 대상으로 한 해석개론 강의 교재로, 수학 갤러리에서 알아주는 책이다. 다만 서울대 자체 교재인 만큼 상당한 난이도[21]를 자랑하며, 수학갤에서도 초보자가 하겠다 하면 뜯어 말리는 수준이다.[22] 수학갤에서는 2장 좌표공간의 위상적 성질만 넘기면 매우 좋은 책이라고 한다. 또한 다른 교재에 비해 함수공간에 대한 비중이 높은 편이다. 사실 다변수 해석학의 내용이 없고 함수공간에 대한 내용이 많다는 차이만 빼면 Rudin의 PMA와 매우 비슷한 교재이다.
- 이슬비(김백진), 맛있는 해석학, 지오북스
네이버의 한 수학 커뮤니티 카페 운영자가 자신이 학부생 때 집필했던 책을 여러 차례 개정하고 졸업 후 몇 년간 공부한 내용을 추가하여 출간한 책으로, 이쪽 바닥 책 중에서는 드물게 굉장히 깔끔하게 편집되어 있다. 학부 과정 해석학 수업에서 다루는 내용은 대부분 짚고 넘어가니, 해석학 서적 특유의 딱딱함에 거부감이 있는 사람들은 참고해도 좋을 듯. 인터넷으로 전문과 솔루션을 공개해놓고 있다. 1~2년 간격으로 꾸준하게 개정판이 나오고 있는데, 2017년에 나온 개정판은 일변수 해석학만 다룬 책과 일변수, 다변수, 추상 공간에서의 해석학을 모두 포함한 두 가지 버전으로 공개되어 있다. 참고로 번역된 용어가 저자가 임용을 보던 시절 기준으로 작성되어 있는지라 현재 쓰는 용어와는 차이가 조금 있다 이런 부분은 저자가 계속 수정해나가는 중이니 관심이 있는 위키러는 한번 찾아서 저자에게 알려주는 것도 좋을 듯. 연습문제도 난이도별로 나뉘어 있으며 특히 마지막 단계인 도약하기 파트는 푸는 문제보다는 수학을 공부하면서 한 번쯤 의문이 드는 고민사항을 정리해 놓은 것에 가깝다. 저자가 교사 출신이기 때문인지 전공수학의 수준에서 중,고등학생의 수준으로 어떻게 접근할 것인가의 문제도 상당히 많으니 수학교사가 꿈이거나 관심있는 사람은 도약하기 파트 또한 넘기지 말고 챙겨 보는것을 권한다.
- 解析入門, 杉浦光夫, 東京大学出版会 (著)
도쿄대학 명예교수인 스기우라 미츠오(杉浦光夫)가 집필한 해석학 교재로 현재 도쿄대를 포함해 몇몇 일본 국립대에서 해석학 강좌 교재로 사용되고 있다. 책 내용은 상당히 깔끔하면서도 논리적 엄밀함은 잃지 않았다. 설명도 상당히 친절하다. 연습문제마다 해설을 다 달아준다. 다만 연습문제의 경우는 답만 달아놨다. 뒤쪽에... 하지만 그럼에도 꽤나 쉽지 않으니 볼 사람은 각오를 하고 보길 바란다. 2권으로 나누어져 있다. 1권은 2800엔+세금, 2권 3200엔+세금이다. 3권은 1 2권의 연습문제를 모아놓은 책이다. 구성은 간단한 공리와 논리, 집합에 대한 논의 후에 표준적인 해석학교과서에서 다루는 모든 내용+복소해석 전반을 다루고있다. 동경대학에서는 1학년 교재로 쓰인다. 그리고 여담이지만 색깔만 빼면 완전 수학의 정석 디자인... 크기도 A5크기다. 저자는 2008년에 별세했다.
- Michael Spivak, Calculus on Manifolds
매우 유명한 다변수해석학 입문 교재이다. 다변수해석학 버전 Baby Rudin이라고 보면 되는데, 루딘과 비슷하게 매우 컴팩트한 양으로 정말 필요한 내용만 서술하면서 미분 형식까지 다루고 스토크스 정리까지 가져간다. 물론 단점(?)도 루딘과 비슷한데, 이미 관련 내용에 익숙한 사람들은 몰라도 처음 공부하는 사람이 보면 매우 난해할 뿐더러 책에서 구체적으로 설명해주지 않는 부분은 자기가 하나하나 따로 공부하든지 다른 서적을 참고하며 채워 나가야 된다. 이런 류의 책이 으레 그렇듯이 매우 중요한 개념이나 정리를 연습문제로 돌리는 경향이 있으므로 연습 문제도 전부 풀어본다는 마음가짐으로 봐야 따라갈 수 있다.
- 양영오, 실해석학개론
리만 적분 이론만 알고도 공부할 수 있는 함수해석학 입문서. 크래이직 함수해석학책의 한글판 ver. 주로 바나흐 공간과 힐베르트 공간을 비중있게 다루며 작용소 개념도 배울 수 있다. 이 책의 가장 큰 장점은 역시 이해하기 어려운, 르베그 적분이론 자체를 아예 사용하지 않는다는 것이다. 대부분의 예를 수열공간과 리만 적분 이론을 통해 설명하므로 부담없이 읽을 수 있는 서적이다. 또한 모든 연습문제의 솔루션이 본문 뒤에 존재한다. 덤으로 Rudin의 Functional Analysis와 개념이 겹치는 부분이 많으니 심화과정의 서적을 읽을 때 참고해도 좋을 것이다.
4.2. 대학원
- Walter Rudin, Real and Complex Analysis
위 PMA 저자가 쓴 악명높은 루딘 삼종세트 중 실/복소해석학 서적. 속칭 Papa Rudin 또는 RCA. 기본적인 학부 해석학, 선형대수학, 위상수학 내용을 학습하지 않으면 사실상 이해가 불가능할 정도로 난이도가 있어서 주로 석사 과정 전후로 보는 책. 사실상 가장 좋은 방법은 같은 저자가 쓴 PMA를 먼저 읽는 것이다. 어려운 일이긴 해도 PMA를 상세히 읽은 독자라면 이 책을 보는 데 별 문제가 없을 것이라 확신한다. 석사 과정에서는 서울대학교에서 주로 활용하며, 포항공과대학교에서도 간혹 쓰는 듯.
- Walter Rudin, Functional Analysis
루딘이 쓴 함수해석학 서적. RCA의 내용이 선행되어야 그나마 읽을 만한 정도의 난이도의 교재이다. 배우는 내용은 기초가 되는 첫 단원인 위상벡터 공간을 시작으로 크게 편미분 방정식에 응용할 분포이론과 바나흐 대수 이론으로 나눌 수 있다. 그 밖에 군론에 응용되는 하르 적분도 나온다. 이쯤되면 해석학에서 볼 일이 없을 줄 알았던 대수학 개념들이 마구 쏟아져 나오기 시작한다.
- Elias M. Stein & Rami Shakarchi, Princeton Lectures in Analysis 시리즈
이름 그대로 프린스턴 대학교에서 대학원 수준 해석학 강의에 쓰는 책이다. 희한하게도 해석적 정수론을 테마로 쓰여진 책이며 총 4권이 있는데, 1권이 푸리에 해석, 2권이 복소해석, 3권이 실해석, 4권이 함수해석+α를 담고 있다. 해석학 교재 중에서는 알 만한 사람들은 다 아는 수준의 유명세를 타고 있으며 1권과 2권은 학부 교재로 써도 무리가 없을 정도로 친절한 책이기도 하지만[23] 간혹 증명이 깔끔하지 못하다든지, 4권의 내용이 중구난방이라던지, 연습문제의 힌트가 너무 친절하다든지(...) 하는 등의 이유로 호불호가 갈린다. 또한 각 권의 내용이 독립적이지 않고 이전 책의 내용을 알고 있다는 전제하에 진행된다는 것도 주의할 점.[24]
5. 관련 인물
해석학 관련 인물들로는 오귀스탱 루이 코시(Augustin Louis Cauchy), 조제프 푸리에(Joseph Fourier), 브룩 테일러(Brook Taylor), 베른하르트 리만(Bernhard Riemann), 카를 바이어슈트라스(Karl Weierstraß), 앙리레옹 르베그(Henri-Léon Lebesgue), 등이 있다. 복소해석학을 공부하다 보면 카를 프리드리히 가우스(Carl Friedrich Gauß)와 르죈 디리클레(Lejeune Dirichlet)도 자주 만나게 된다. 또한 해석적 정수론이 흥하기 때문에[25] 테렌스 타오 등을 비롯해 현대 수학자들 중 정수론 분야의 만렙 석학들도 알고 보면 해석학으로 학위를 받은 예가 적지 않다.
[1] '번역하다'라는 의미로 쓰이는 '해석'은 解釋으로 한자가 다르다. 임의의 함수를 테일러 급수, 푸리에 급수 등으로 '''쪼개어 푼다'''고 이해하면 뜻을 연상하기 쉽다.[2] 수치해석은 전산학과도 연관이 깊다.[3] 대학교 1학년 미적분학 거의 첫 시간에 배우는데, 자연 언어를 수학 기호로 표현하면 어디까지 난해해질 수 있는지를 제대로 체험하게 된다. 이걸 한 번에 이해하면 천상 수학과라는 말은 빈말이 아니다.[4] 기수, 선택공리, 순서수도 공부해두면 아이디어를 찾을 때 도움이 된다.[5] '사잇값 정리'로도 불린다.[6] 김성기, 김도한, 계승혁의 해석개론을 기준으로 한다.[7] 보통 이공계 1학년 미적분학 시간에 처음으로 언급된다.[8] 여기까지는 위상수학에서 거리 공간(metric space)을 다루는 부분과 상당히 공통적이다.[9] 컴팩트 디스크 할 때 나오는 그 컴팩트이다. 작은데 용량은 꽉 찬 디스크를 컴팩트 디스크라 부르듯, 작고 꽉찬 집합. 간단한 예로, 유클리드 공간 $$R^{n}$$ 의 부분집합이 유계이고 닫혀 있으면 긴밀집합이며, 그 역도 성립한다. 무한 차원 벡터공간에서는 역만 성립한다. 대한수학회에서는 '옹골 집합'이라고 번역하고 있으며 일부 서적에서도 그런 용어를 쓰지만(Rudin 3판 번역본, 김김계 등), 일반 학생들은 그거 먹는 건가요 급으로 인지도가 낮은지라 대학 수업에서는 원어 그대로 그냥 compact라고 하는 경우가 많다.[10] compact는 본래 위상수학(topology)에서 쓰는 개념이다. 닫힌 집합을 일반화하기 위해서 여러 시도를 하다가 나온 결과물 중 하나가 compact이므로 이 개념은 '''굉장히 직관적이지 않고 왜 그렇게 설계했는지 더 공부를 해보기 전에는 알 수도 없다.''' 당연한 소리겠지만 위상수학 역시 학생들이 가장 난해해 하는 과목 중 하나다(그래서 학생들 사이에서 쓰이는 별명이 '또모르지'다(...)). 그나마 해석학의 compact는 학기가 끝날 때쯤이면 모든 수강생이 그렇겠거니 하며 고개를 끄덕일 수 있지만 위상수학에서 다뤄지는 일반화된 compactness의 개념과 여러 종류의 서로 equivalent하지 않은 compactness는 그야말로 놀람과 충격.[11] 어려운 해석문제는 증명과정에서 계산이 매우 복잡하거나 술술 나가다가 어느 한 부분에서 막히는 경우가 많은 반면, 대수문제는 어느 순간 반짝 하고 튀어나오는 아이디어를 요구하는 문제가 많은지라 제대로 된 방향을 잡지 못하면 아예 시작조차 못하는 경우가 태반이며, 이것 때문에 알고 보면 간단한 증명문제를 며칠씩, 심하면 몇 달씩 고민하는 경우도 많다. [12] 기하학은 이들을 이용해서 다루는 '''대상'''에 가깝다. 그래서 대수학과 해석학에 각각 대응되는 대수 기하학, 미분 기하학이 있는 것이다.[13] 다른 말로는 수학을 전공하기 위한 '''기초과목'''이라는 뜻이다. 그러니까 수학과에 진입하면 선형대수학과 함께 바로 배우도록 한다는 말. [14] 여기서는 '측도(measure)'라는 개념을 이용하여 리만적분과 다른 방식으로 미분과 적분을 정의한다. 아이디어는 르베그라는 수학자가 냈다. 이걸 제대로 배우는 건 학부 고학년이나 대학원 가서 한다.[15] 사실 2학년 해석학이 어떤 면에서 '실해석학개론'임은 사실이지만, 실해석학 배우려는 고학년생이 처음 들여다보는 책도 마찬가지다. 적어도 공부할 사람 헷갈리지는 않게 해야지... 이런 이유로 2학년생들 덜 헷갈리라고 고학년 과정의 실해석, 복소해석 강의나 교과서 제목을 실변수함수론, 복소함수론 같은 제목으로 미묘하게 바꿔 내놓기도 한다.[16] 사실 세세하게 따지면 미적분학 책들도 차이가 작지만은 않지만, 수학과에서는 어차피 해석학 시간에 사생결단을 낼거라면서 1학년 미적분학에 크게 목매지 않는 경향도 있어서 갓 전역한 수학과 복학생 같은 이들은 미적분학에 진지하게 임하기보다는 개강 전에 아무 책이나 대강 1회독하고 넘어가는 경우가 꽤 많다. 일부 교수나 대학원생들은 수학과 1학년생들에게 복수전공 알아볼 때 힘들어하지 말라고 미적분학에 지나치게 얽매이지 말고 일반물리 같은 다른 교양과목 학점관리에 더 신경쓸 것을 조언하기도 한다. 위에서 이야기했듯이 유럽에선 1학년부터 미적분학 따로 안 가르치고 그냥 해석학부터 시작하기도 한다. 그러나 정작 그런 말을 하는 교수들도 수업은 미적분학을 본 수강생들을 전제하고 진행하니 속는 학생이 바보라지만, 그래도 어지간하면 미적분학은 교양과목임을 명심하고 전공과목 수준으로 목숨 걸고 덤빌 필요까지는 없다. [17] 현대 해석학에서 다루는 리만 적분은 엄밀히 말하면 다르부 적분이며, 이는 리만 적분과 동치이다.[18] 고려대학교에서 학부 수업에 사용한다. 또한 포항공과대학교에서 학부 수업에서 사용하며 1학기만에 8단원까지 나가는 위엄을 보인다. 이 정도면 어지간한 학교에서는 한학기 반은 공들일 분량(...). 연세대학교에서도 교수에 따라 이 책을 사용하기도 한다. [19] 이러한 성향이 반영된 번역 중 일부를 소개하면 다음과 같다. 정수->옹근 수, 분수-> 깨진 수, 급수-> 덧렬, 계수-> 곁수, 노름(norm)-> 대중[20] 특히 2장 위상수학 문제들은 풀면 (특히 Compact Set을 이해하고 싶은 사람들에게는) 많이 도움된다는 의견들도 많다.[21] 루딘 PMA처럼 본문 내용을 이해했다 해도 연습문제를 보는 순간 책을 덮고 싶을 수준으로 문제 난이도도 흉악하다.[22] 그런데 머릿말에는 '논리적인 측면에서만 본다면 어린이도 이 책을 공부할 수 있다.'라고 써져 있다. [23] 실제로 서울대학교에서는 2권을 학부 복소함수론 교재로 사용하며 연세대학교에서도 간혹 채용한다, 1권도 서울대학교와 KAIST에서 학부 푸리에해석 교재로 사용한다.[24] 예를 들어 2권 복소해석에서는 1권 푸리에 해석에서 배운 내용을 모두 알고 있다고 전제하고 1권의 내용을 증명 없이 가져다 쓴다.[25] 당장 위에 써진 교과서들 중에도 있듯이 한껏 작정하면 해석적 정수론을 중심으로 해석학 교과서를 만들 수도 있고 대학원 해석학 강의의 커리큘럼을 짤 수도 있으니...