정수
1. 개요
$$n$$이 자연수일 때, $$n+x=0$$[1]을 만족시키는 모든 $$x$$, 모든 $$n$$, [math(0)]을 통틀어 '정수'라고 한다. 그리고 특정 $$n$$에 대한 $$x$$의 표기를 $$x=-n$$으로 한다.
정수 내에서는 자연수를 양의 정수라 부르며, $$\{ -1,\,-2,\,-3,\cdots \} $$를 음의 정수라고 한다. [math(0)]은 양의 정수도, 음의 정수도 아닌 정수이다. 집합 기호 표현으로는 독일어의 Zahlen[2]의 앞글자에서 따온 $$ \mathbb{Z} $$를 사용한다.[3] 한자 '정-'은 가지런하다는 뜻을 담고 있다.
유리수의 경우에는 기약분수 표현에서 분모가 $$1$$인 것들만이 정수가 된다. 임의의 실수는 정수 $$n$$과 $$0 \le x < 1 $$인 소수 $$x$$의 합으로 유일하게 나타낼 수 있다는 성질이 있고, 여기서 $$x$$가 [math(0)]일 때만이 정수가 되는 것은 당연하다. 이때 $$n$$을 정수부분, $$x$$를 소수부분이라 한다. 상용로그의 지표와 가수를 생각하면 된다. [4]
정수(와 자연수)의 성질을 연구하는 학문을 정수론이라 한다. 항목을 참고하면 알겠지만 정수론은 수학의 굵직한 분야 중 하나고, 어찌 보면 이는 정수가 실수보다 복잡한 성질을 갖고 있다는 의미이다.
이 정수론에서는 정수뿐만이 아니라, 정수와 비슷하게 덧셈과 곱셈이 정의되고 닫혀 있는 여러 가지 '정수 비슷한 집합'들도 생각한다.[5] 대표적인 예로 정수 $$a$$가 square free일 때[6] $$\mathbb{Z}\left[\sqrt{a}\right] = \left\{ n + m \sqrt{a} : n, m\in \mathbb{Z} \right\}$$ 같은 집합을 생각할 수 있다. $$a=-1$$일 때 이 집합은 실수부와 허수부가 모두 정수인 가우스 정수(Gaussian integer)라는 이름으로 불린다. 이 가우스 정수에서는 $$2$$가 소수가 아니게 된다. $$2=\left(1+i\right)\left(1-i\right)$$이기 때문. $$\sqrt{a}$$를 공통수학에서 나오는 3차 단위근 $$\omega$$[7]으로 바꾸면 이 집합은 아이젠슈타인 정수(Eisenstein integer)라는 이름이 붙고, 페르마의 마지막 정리에서 $$n=3$$인 경우를 증명할 때 사용된다. [8]
컴퓨터의 경우 정확도 손실이 불가피한 실수보다는 표현이 확실한 정수가 선호된다. 어찌 보면 암호학이나 전산학 등의 이산수학이 발전하면서, 쓸모없는 정수론에 그나마 눈꼽만큼의 수요가 생겼다고 볼 수도 있겠다.
1.1. 닫혀 있는 연산
- 나눗셈을 제외한 사칙연산 전부.
- 실수부 함수 $$\Re$$[9], 허수부 함수 $$\Im$$[10]
- 부호 함수 $$\mathrm{sgn}$$
- 집합 판별 함수 $$\bold{1}_{\mathbb P}, \bold{1}_{\mathbb N}, \bold{1}_{\mathbb Z}, \bold{1}_{\mathbb Q}, \bold{1}_{\mathbb I}, \bold{1}_{\mathbb R}$$ 등
- 어림할 때의 함수 $$\lfloor \, \rfloor,\lceil \, \rceil$$
2. 목록
[1] 이때 $$x$$를 '덧셈에 대한 역원'이라고 한다.[2] 발음은 '찰렌'이다. 화자나 지역에 따라 '짤렌', '짤른', '찰른'으로도 발음된다.[3] 정수 한정이 아니라 그냥 '숫자', '수'라는 의미도 있다. 간단히, Zahlen 의 동사형인 zahlen 이 하나하나 '세다' 라는 의미이다. 친숙한 용례로는 Zahlenteufel(수학귀신). 영어로도 정수론을 number theory 라고 하고, 독어로도 Zahlentheorie 니 맥락이 닿아 있는 표현.[4] 이렇게 보면 실수가 먼저이고 정수가 나중이라고 보기 쉽고 고등학교 과정까진 (심지어 수학과를 뺀 다른 대학교 과정에서도) 이런 식으로 배우는 게 보통이다. 하지만 현대수학에선, 당장 대학교 수학과 학부 과정에 이르러선, 오히려 그 반대로 가는 것이 맞는다. 현대수학에서는 공리적으로 접근하기 때문에 가장 구성하기 쉬운 자연수에서 시작해서 정수, 유리수, 실수 등으로 확장해나가는 방식을 사용한다. 즉, 정수로부터 (일단 유리수를 만든 다음 여기서) 실수를 '만들어내는' (정확히 말하자면 '확장하는') 것이 맞는다. 물론, 정수도 자연수로부터 만들어지는 것이다. 물론 이건 수학적인 관점, 특히 대수학(algebra)적 관점에 치중한 것이고, 자연계에서 측정되는 물리량들이 모두 실수인 것을 생각하면 생각보다 복잡한 문제이겠다. 사실, 현대수학이 탄생하기 이전 약 백수십여 년 전만 해도 유리수까지만 수(number) 취급을 하였고, 실수는 수가 아닌 다른 것(magnitude) 취급을 하였다.) [5] 엄밀하게는 대수학의 환(Ring)을 참고하시라.[6] $$n^{2}\mid a$$면 $$n=\pm 1$$ [7] $$\omega^2 + \omega + 1 = 0$$의 복소근이며, $$(\omega - 1)(\omega^2 + \omega + 1) = \omega^3 -1$$ 이므로 $$\omega^3 = 1$$ 의 허근이기도 하다.[8] 이런 게 무슨 쓸모냐며 까는 이들도 있지만, 이 개념은 현대정수론에서 무척 중요한 역할을 하는 녀석이다.[9] $$\Re(x) = x \in \mathbb{Z}$$[10] $$\Im(x) = 0 \in \mathbb{Z}$$