베타 함수

1. 설명

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Beta function
특수함수의 일종. 다음과 같이 정의된다.

$$\displaystyle \Beta(p,\,q)=\int_{0}^{1}x^{p-1}\left(1-x\right)^{q-1}\mathrm{d}x$$

여기서 $$p>0,\,q>0$$이다.

2. 성질

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베타 함수는 이항계수를 실수 범위로 확장한 것이라 할 수 있다.

$$\displaystyle \Beta(p,\,q)=\frac{q-1}{p+q-1}\Beta(p,\,q-1)$$$$\displaystyle \Beta(n-k+1,\,k+1)=\left[(n+1){n\choose k}\right]^{-1}$$

$$x$$를 삼각함수로 치환하면 다음과 같은 꼴이 나온다.

$$\displaystyle \Beta(p,\,q)=2\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\left(\sin\theta\right)^{2p-1}\left(\cos\theta\right)^{2q-1}\mathrm{d}\theta$$

즉, 삼각 함수의 적분을 유용하게 나타낼 수 있는 수단이 된다.
또한 다음과 같이 감마 함수를 이용하여 정의할 수도 있다.

$$\displaystyle \Beta(p,\,q)=\frac{\Gamma(p)\Gamma(q)}{\Gamma(p+q)}$$

이는 야코비안을 통해 유도할 수 있다.

【유도 과정】

$$\displaystyle \Gamma(p)\Gamma(q) \\= \int_0^\infty x^{p-1} e^{-x}\,\mathrm{d}x \, \int_0^\infty y^{q-1} e^{-y} \mathrm{d}y \\= \int_0^\infty \int_0^\infty x^{p-1} y^{q-1} e^{-x-y}\,\mathrm{d}x \mathrm{d}y $$
여기서 $$x=uv,\,y=u \left( 1-v \right) $$라 하면 [math(v \in [0,\,1],\, u \in [0,\,\infty),\, \left| J \right| = u)]이므로
$$\displaystyle = \int_0^1 \int_0^\infty \left( uv \right) ^{p-1} \left( u \left( 1-v \right) \right) ^{q-1} e^{-u} u \mathrm{d}u \mathrm{d}v \\= \int_0^1 \int_0^\infty v^{p-1} \left( 1-v \right) ^{q-1} u^{p+q-1} e^{-u}\,\mathrm{d}u \mathrm{d}v \\= \int_0^1 v^{p-1} \left( 1-v \right) ^{q-1}\,\mathrm{d}v \int_0^\infty u^{p+q-1} e^{-u}\,\mathrm{d}u = \Beta (p,\,q) \Gamma (p+q)$$
【출처】 https://ghebook.blogspot.com/2011/12/beta-function.html

한편, 베타 함수의 두 변수끼리는 교환이 가능하다. 즉,

$$\displaystyle \Beta(p,\,q)=\Beta(q,\,p)$$

이 성립한다. 이는 베타 함수의 정의에서 $$x$$를 $$1-x$$로 치환하면 바로 나온다.
특수한 경우로 $$p+q=1$$을 만족한다면 아래와 같이 나온다.

$$\displaystyle \Beta(p,\,1-p)=\frac{\pi}{\sin p\pi}$$

이것은 베타 함수를 감마함수로만 바꾸면 금방 증명된다.

3. 일반화

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베타 함수는 정의식 중 적분의 위끝이 $$1$$이다. 이때 위끝을 $$1$$이 아닌 일반적인 상수로 정하게 되면 불완전 베타 함수가 된다. 즉, 불완전 베타 함수는 다음과 같이 정의된다.

$$\displaystyle \Beta(a;\,p,\,q)=\int_{0}^{a}x^{p-1}\left(1-x\right)^{q-1}\mathrm{d}x$$

4. 고등학교 교육과정에서의 활용

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[math(\displaystyle \int_\alpha^\beta (x-\alpha)^m (\beta-x)^n \,{\rm d}x = \frac{m!n!(\beta-\alpha)^{m+n+1}}{(m+n+1)!}\\
\int_0^{\frac\pi2} \sin^{2m+1} \theta \cos^{2n+1} \theta \,{\rm d}\theta = \frac{m!n!}{2(m+n+1)!}\\
\int_0^{\frac\pi2} \sin^{2m} \theta \cos^{2n+1} \theta \,{\rm d}\theta = \int_0^{\frac\pi2} \sin^{2n+1} \theta \cos^{2m} \theta \,{\rm d}\theta = \frac{4^n}{2m+2n+1} \frac{{}_{m+n} {\rm C}_n}{{}_{2m+2n} {\rm C}_{2n} {}_{2n} {\rm C}_n}\\
\int_0^{\frac\pi2} \sin^{2m} \theta \cos^{2n} \theta \,{\rm d}\theta = \frac{\pi}{2^{2m+2n+1}} \frac{{}_{2m} {\rm C}_m {}_{2n} {\rm C}_n}{{}_{m+n} {\rm C}_{n}}\\
\int_0^{\frac\pi2} \tan^p \theta \,{\rm d}\theta = \int_0^{\frac\pi2} \cot^p \theta \,{\rm d}\theta = \frac\pi2 \sec \frac\pi2 p \,\, (\left| p \right| < 1)\\
\int_0^\infty \frac1{x^k+1} \,{\rm d}x = \frac{\frac \pi k}{\sin \frac \pi k} \,\, (k>1)\\
\int_0^1 \left( \frac1t -1 \right)^x \,{\rm d}t = \frac{\pi x}{\sin \pi x}
)]