야코비안

'''Jacobian, 야코비안'''

1. 대학교 미분적분학에서의 야코비안

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1.1. 개요

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카를 구스타프 야코프 야코비가 고안한 좌표계 변환법.
다중적분(Multiple integral)(Area, Volume, Surface integral)을 할 때, 미분소 $${\rm d}A$$, $${\rm d}V$$, $${\rm d}S$$ 등을 같은 차원의 좌표계로 변환하는 데에 쓰는 행렬식이다.
예를 들어, 면적분의 좌표계를 바꾸기 위해 $$(x,\,y)$$로 표현되는 좌표를 $$(r,\,\theta)$$로 바꿔줄 때 야코비안 $$J = \begin{vmatrix} \begin{aligned} \dfrac{\partial x}{\partial r} \\ \dfrac{\partial y}{\partial r} \end{aligned} & \begin{aligned} \dfrac{\partial x}{\partial \theta} \\ \dfrac{\partial y}{\partial \theta} \end{aligned} \end{vmatrix}$$를 이용해

$${\rm d}A = {\rm d}x{\rm d}y = |J| {\rm d}r{\rm d}\theta = r{\rm d}r{\rm d}\theta$$

로 바꿔주어 적분한다.
덧붙여 야코비안은 행렬식이기 때문에 정보량이 꽤 크다. 이를 간단하게 표기하기 위해서, 다음과 같은 표기법을 사용하기도 한다.

$$J = \begin{vmatrix} \begin{aligned} \dfrac{\partial x}{\partial r} \\ \dfrac{\partial y}{\partial r} \end{aligned} & \begin{aligned} \dfrac{\partial x}{\partial \theta} \\ \dfrac{\partial y}{\partial \theta} \end{aligned} \end{vmatrix} = \left| \dfrac{\partial (x,\,y)}{\partial (r,\,\theta)}\right|$$

일반적으로는 $$n$$개의 변수를 마찬가지로 $$n$$개의 변수로 치환하기 때문에 $$n$$차 정사각행렬의 행렬식의 형태를 띄게 되는데, 미분기하학 등의 분야에서는 변수를 줄여서 매개화를 시키는 경우에 한해서 정사각행렬이 아닌 야코비 행렬만을 따지기도 한다. 예를 들면 다음과 같은 경우가 있다.

사상 $${\bf x}: D(\subseteq\mathbb R^2)\to\mathbb R^3$$가 다음과 같이 정의되어 있다고 하자. $${\bf x}(u,\,v)=(x(u,\,v),\,y(u,\,v),\,z(u,\,v))$$ 즉 벡터 $$\bf x$$를 $${\bf x}=(x,\,y,\,z)$$라고 둘 때, $$(x,\,y,\,z)$$를 2개의 매개변수 $$(u,\,v)$$로 매개화를 시킨 상황이다. 이 경우, 이 사상은 벡터장에 의해 정의된 3차원상의 평면으로 나타나며, 이 사상의 야코비 행렬은 다음과 같이 표기한다.

$$J=\dfrac{\partial (x,\,y,\,z)}{\partial (u,\,v)}$$

이 행렬은 $$J = \begin{pmatrix} \begin{aligned} \dfrac{\partial x}{\partial u} \\ \dfrac{\partial y}{\partial u} \\ \dfrac{\partial z}{\partial u} \end{aligned} & \begin{aligned} \dfrac{\partial x}{\partial v} \\ \dfrac{\partial y}{\partial v} \\ \dfrac{\partial z}{\partial v} \end{aligned} \end{pmatrix}$$의 $$3\times2$$ 행렬이 되는데, 당연히 행렬식을 구할 수는 없으니 의미가 없어보이지만, 이 행렬의 전치행렬에 3차원 좌표계의 기저벡터$$(U_1, U_2, U_3)$$를 추가하여 행렬식을 구성. 즉 벡터로 변환하게 되면 다음과 같다.
$$J^{T *} = \begin{vmatrix} \begin{aligned} U_1 \\ \dfrac{\partial x}{\partial u} \\ \dfrac{\partial x}{\partial v} \end{aligned} & \begin{aligned} U_2 \\ \dfrac{\partial y}{\partial u} \\ \dfrac{\partial y}{\partial v} \end{aligned} & \begin{aligned} U_3 \\ \dfrac{\partial z}{\partial u} \\ \dfrac{\partial z}{\partial v} \end{aligned} \end{vmatrix}=\left(\dfrac{\partial y}{\partial u}\dfrac{\partial z}{\partial v}-\dfrac{\partial z}{\partial u}\dfrac{\partial y}{\partial v},\,\dfrac{\partial z}{\partial u}\dfrac{\partial x}{\partial v}-\dfrac{\partial x}{\partial u}\dfrac{\partial z}{\partial v},\,\dfrac{\partial x}{\partial u}\dfrac{\partial y}{\partial v}-\dfrac{\partial y}{\partial u}\dfrac{\partial x}{\partial v}\right)$$
그런데 이 벡터는 $$\bf x$$를 $$u$$와 $$v$$로 편미분한 두 미분벡터 $${\bf x}_u,\,{\bf x}_v$$의 외적과 정확히 일치한다는 것이 알려져 있다. 이런 식으로 야코비안은 반드시 정사각행렬이 아니더라도 다양한 분야에서 사용된다.

1.2. 유도

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벡터를 이용한 면적의 넓이 공식 및 다변수 함수의 전미분으로부터 유도할 수 있다. 간단하게 2차원 직교 좌표계의 경우를 보자.
$${\rm d}x$$, $${\rm d}y$$는 서로 독립이며 각각 $$x$$축, $$y$$축에 평행한 미소 길이므로 단위 벡터 $${\bf e_1} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}$$, $${\bf e_2} = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}$$를 이용하여 나타내면 각각

$$\begin{aligned} {\rm d}x {\bf e_1} &= {\bf dx} = \begin{pmatrix} {\rm d}x \\ 0 \end{pmatrix} \\ {\rm d}y {\bf e_2} &= {\bf dy} = \begin{pmatrix} 0 \\ {\rm d}y \end{pmatrix} \end{aligned}$$

가 된다. 두 벡터를 변으로 삼는 평행사변형의 넓이는 각 벡터를 병합한 2차 정방행렬의 행렬식[1]이므로 $$xy$$직교좌표계에서의 미소 면적의 넓이는

$$\begin{Vmatrix} {\bf dx} & {\bf dy} \end{Vmatrix} = \begin{Vmatrix} {\rm d}x & 0 \\ 0 & {\rm d}y \end{Vmatrix} = | {\rm d}x{\rm d}y |$$

로 주어진다.
한편 $$x,\,y$$가 극좌표 매개변수 $$r,\,\theta$$로 나타낼 수 있는 함수 $$x(r,\,\theta)$$, $$y(r,\, \theta)$$라고 할 때 각각의 전미분 $${\rm d}x,\,{\rm d}y$$는 다음과 같이 된다.

$$\begin{aligned} {\rm d}x &= \frac{\partial x}{\partial r} {\rm d}r + \frac{\partial x}{\partial \theta} {\rm d}\theta \\ {\rm d}y &= \frac{\partial y}{\partial r} {\rm d}r + \frac{\partial y}{\partial \theta} {\rm d}\theta \end{aligned}$$

$$\mathrm dr$$, $$\mathrm d\theta$$도 서로 독립이며 $$\mathrm dx$$, $$\mathrm dy$$처럼 벡터로 나타낼 수 있으므로 위 전미분 식의 미소 길이를 모두 벡터로 대체한다.

$$\begin{aligned} {\bf dx} &= \dfrac{\partial x}{\partial r} {\bf dr} + \dfrac{\partial x}{\partial \theta} {\bf d}\boldsymbol\theta = \dfrac{\partial x}{\partial r} \begin{pmatrix} {\rm d}r \\ 0 \end{pmatrix} + \dfrac{\partial x}{\partial \theta} \begin{pmatrix} 0 \\ {\rm d}\theta \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \begin{aligned} \dfrac{\partial x}{\partial r}{\rm d}r \\ \dfrac{\partial x}{\partial \theta}{\rm d}\theta \end{aligned} \end{pmatrix} \\ {\bf dy} &= \dfrac{\partial y}{\partial r} {\bf dr} + \dfrac{\partial y}{\partial \theta} {\bf d}\boldsymbol\theta = \dfrac{\partial y}{\partial r} \begin{pmatrix}{\rm d}r \\ 0 \end{pmatrix} + \dfrac{\partial y}{\partial \theta} \begin{pmatrix} 0 \\ {\rm d}\theta \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \begin{aligned} \dfrac{\partial y}{\partial r}{\rm d}r \\ \dfrac{\partial y}{\partial \theta}{\rm d}\theta \end{aligned} \end{pmatrix} \end{aligned}$$

이제 이것을 행렬식에 대입하면

$$\begin{Vmatrix} {\bf dx} & {\bf dy} \end{Vmatrix} = \begin{Vmatrix} \begin{aligned} \dfrac{\partial x}{\partial r}{\rm d}r \\ \dfrac{\partial x}{\partial \theta}{\rm d}\theta \end{aligned} & \begin{aligned} \dfrac{\partial y}{\partial r}{\rm d}r \\ \dfrac{\partial y}{\partial \theta}{\rm d}\theta \end{aligned} \end{Vmatrix} = \begin{Vmatrix} \begin{pmatrix} {\rm d}r & 0 \\ 0 & {\rm d}\theta \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \begin{aligned} \dfrac{\partial x}{\partial r} \\ \dfrac{\partial x}{\partial \theta} \end{aligned} & \begin{aligned} \dfrac{\partial y}{\partial r} \\ \dfrac{\partial y}{\partial \theta} \end{aligned} \end{pmatrix} \end{Vmatrix}$$

행렬식은 전치를 해도 값이 같으므로 위 식 전체를 전치하면 $$({\bf AB})^{\rm T} = {\bf B}^{\rm T}{\bf A}^{\rm T}$$에서

$$\begin{aligned} \begin{Vmatrix} \begin{pmatrix} {\rm d}r & 0 \\ 0 & {\rm d}\theta \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \begin{aligned} \dfrac{\partial x}{\partial r} \\ \dfrac{\partial x}{\partial \theta} \end{aligned} & \begin{aligned} \dfrac{\partial y}{\partial r} \\ \dfrac{\partial y}{\partial \theta} \end{aligned} \end{pmatrix} \end{Vmatrix} &= \begin{Vmatrix} \left( \begin{pmatrix} {\rm d}r & 0 \\ 0 & {\rm d}\theta \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \begin{aligned} \dfrac{\partial x}{\partial r} \\ \dfrac{\partial x}{\partial \theta} \end{aligned} & \begin{aligned} \dfrac{\partial y}{\partial r} \\ \dfrac{\partial y}{\partial \theta} \end{aligned} \end{pmatrix} \right)^\mathrm T \end{Vmatrix} = \begin{Vmatrix} \begin{pmatrix} \begin{aligned} \dfrac{\partial x}{\partial r} \\ \dfrac{\partial y}{\partial r} \end{aligned} & \begin{aligned} \dfrac{\partial x}{\partial\theta} \\ \dfrac{\partial y}{\partial \theta} \end{aligned} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} {\rm d}r & 0 \\ 0 & {\rm d}\theta \end{pmatrix} \end{Vmatrix} \\ &= \begin{Vmatrix} \begin{aligned} \dfrac{\partial x}{\partial r} \\ \dfrac{\partial y}{\partial r} \end{aligned} & \begin{aligned} \dfrac{\partial x}{\partial\theta} \\ \dfrac{\partial y}{\partial\theta} \end{aligned} \end{Vmatrix} \begin{Vmatrix} {\rm d}r & 0 \\ 0 & {\rm d}\theta \end{Vmatrix} = |J| | {\rm d}r{\rm d}\theta | \end{aligned}$$

일반적으로 $${\rm d}x{\rm d}y$$, $${\rm d}r{\rm d}\theta$$가 양의 값이 되도록 좌표축을 잡으므로

$${\rm d}x{\rm d}y = |J|{\rm d}r{\rm d}\theta$$

$$3$$차원 공간 좌표계를 이용해서도 같은 방법으로 유도할 수 있다. 더 힘들 뿐이다.

1.3. 예시

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• 직교 좌표계 → 극좌표계로의 변환

양수 $$a$$, $$b$$에 대하여
$$\begin{cases} \begin{aligned} x &= ar \cos \theta \\ y &= br \sin \theta \end{aligned} \end{cases}$$에서

$$|J| = \begin{Vmatrix} a \cos \theta & -ar \sin \theta \\ b \sin \theta & br \cos \theta \end{Vmatrix} = ab|r|$$

$$r$$이 음수가 안 되도록 범위를 잡으면 $$|J| = abr$$
$$a \ne b$$ 일 때 타원이며 $$a=b$$일 때 원. 두 경우 모두 $$r$$의 범위가 $$0 \le r \le 1$$로 주어지는 특징이 있다. 원에 한해서는 그냥 $$a=b=1$$로 하고 반지름 $$R$$에 대해 $$r$$의 범위를 $$0 \le r \le R$$로 잡아도 된다.

• 공간 좌표계 → 원통 좌표계로의 변환

$$\begin{cases} \begin{aligned} x &= r \cos \theta \\ y &= r \sin \theta \\ z &= \zeta \end{aligned} \end{cases}$$에서

$$|J| = \begin{Vmatrix} \cos \theta & -r \sin \theta & 0 \\ \sin \theta & r \cos \theta & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{Vmatrix} = |r|$$

$$xy$$평면에 평행한 단면이 타원일 경우 역시 위의 값에 $$ab$$를 곱한다. $$r$$이 음수가 안 되도록 범위를 잡으면 절댓값 기호를 그냥 벗길 수 있다.

• 공간 좌표계 → 구좌표계로의 변환

$$\begin{cases} \begin{aligned} x &= r \sin \theta \cos \phi \\ y &= r \sin \theta \sin \phi \\ z &= r \cos \theta \end{aligned} \end{cases}$$에서

$$|J| = \begin{Vmatrix} \sin \theta \cos \phi & r \cos \theta \cos \phi & -r \sin \theta \sin \phi \\ \sin \theta \sin \phi & r \cos \theta \sin \phi & r \sin \theta \cos \phi \\ \cos \theta & -r \sin \theta & 0 \end{Vmatrix} = {\left| r^2 \sin \theta \right|} = r^2 | \sin \theta| $$

$$\sin \theta$$값이 음수가 안 되도록 범위를 잡으면[2] 절댓값 기호를 그냥 벗길 수 있다.

• 타원이나 마름모꼴에서

$$\begin{cases} \begin{aligned} u &= x+y \\ v &= x-y \end{aligned} \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} \begin{aligned} x &= \dfrac{u+v}2 \\ y &= \dfrac{u-v}2 \end{aligned} \end{cases}$$에서

$$|J| = \begin{Vmatrix} \begin{aligned} \dfrac 12 \\ \dfrac 12 \end{aligned} & \begin{aligned} \dfrac 12 \\ -\dfrac 12 \end{aligned} \end{Vmatrix} = \left| -\dfrac 12 \right| = \dfrac 12$$

또는
$$\begin{cases} \begin{aligned} u &= 2x-y \\ v &= y \end{aligned} \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} \begin{aligned} x &= \dfrac{u+v}2 \\ y &= v \end{aligned} \end{cases}$$에서

$$|J| = \begin{Vmatrix} \dfrac 12 & \dfrac 12 \\ \\ 0 & 1 \end{Vmatrix} = \dfrac 12$$

2. 대학교 선형대수학에서의 야코비안

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선형대수학이나 공업수학의 상미분방정식 파트의 연립상미분방정식(system of ODE)에서 등장한다. non-homogeneous ODE의 critical point 근처에서의 거동을 알아보기 위해 non--homogeneous항을 선형성있게 행렬로 근사한 후 값을 대입하여 solution curve의 개형을 알아본다.
n원일차연립방정식에서는 n x n의 야코비 행렬이 쓰인다.
만약 critical point 근처라면, x'(t)와 y'(t)는 다음과 같은 합으로 나타낼 수 있다.
()
여기서, critical point 근처에서는 x'(t)≈0, y'(t)≈0이므로 oo항을 날릴 수 있다.
(미완성)

[1] 정확히는 두 벡터의 외적으로 얻어진 벡터의 크기인데 이를 라플라스 전개로 분해하면 이렇게 된다.

[2] 보통 두 각의 범위를 $$0 \le \theta \le \pi$$, $$0 \le \phi \le 2\pi$$로 잡는 것도 이 때문이다.