변화량

1. 개요

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변화량이라는 개념은 여러 학문에서 존재한다.

2. 변화율(rate of change)

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변화율은 증분과 같은 뜻으로 미적분학에서 쓰이는 용어다. 다른 학문에서는 변화분 등의 다른 이름으로 칭해지기도 한다. 어떤 변수들이 변화한 정도의 비이다.
예를 들어 함수 $$y=x^{2}$$에서 $$x$$의 값이 $$1$$부터 $$3$$까지 변하면 $$y$$의 값은 $$1$$부터 $$9$$까지 변화한다. 이때 독립변수 $$x$$의 변화량은 $$2$$이며, 이를 '''$$\boldsymbol{x}$$의 증분'''이라 하고 그리스 문자 $$\Delta$$(델타, Delta)를 사용하여 $$\Delta x$$로 나타낸다.[1] 마찬가지로 종속변수 $$y$$의 변화량인 $$8$$을 $$\Delta x$$에 대한 '''$$\boldsymbol{y}$$의 증분'''이라 하고, $$\Delta y$$로 나타낸다.

2.1. 평균변화율(average rate of change)

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어떤 함수 $$f(x)$$의 그래프가 있다고 할 때, $$x$$축 위의 두 실수 $$a$$와 $$b$$ ($$a<b$$)를 생각해 보자. 이제 $$f(x)$$ 위에 위 사진과 같이 두 점 $$\mathrm{A}(a,\,f(a))$$, 점 $$\mathrm{B}(b,\,f(b))$$를 잡고, 이 두 점을 이어 직선을 만들면 $$\mathrm{A}$$부터 $$\mathrm{B}$$까지의 ($$x$$의 증가량) 분의 ($$y$$의 증가량), 즉

$$\displaystyle \frac{f(b)-f(a)}{b-a}$$

[1] 어떤 책에서는 대문자 델타($$\Delta$$)가 아닌 소문자 델타($$\delta$$)를 쓰기도 한다.

는 두 점 $$\mathrm{A}$$, $$\mathrm{B}$$을 지나는 직선의 기울기이다. 이때 $$x$$의 증가량을 $$\Delta x$$, $$y$$의 증가량을 $$\Delta y$$라 한다. 어떤 변수의 증가량을 나타내려면 $$\Delta$$를 붙여주자.
미분에서는 이 기울기를 변화율이라고 부르게 되는데, 여기서 평균변화율은 '''두 점 사이의 그래프 전체'''의 기울기이다.
$$y$$의 증분 $$\Delta y$$를 $$x$$의 증분 $$\Delta x$$로 나눈 $$\displaystyle{{\Delta y / \Delta x}=4}$$를 닫힌 구간 $$[1,\,3]$$에서의 y의 평균변화율이라고 한다. 이 값은 $$y=x^{2}$$ 위의 두 점 $$(1,\,1)$$, $$(3,\,9)$$를 지나는 직선의 기울기와 같다. 일반적인 평균변화율의 정의는 다음과 같다.

함수 $$y=f(x)$$에서 $$x$$의 값이 $$a$$부터 $$a+\Delta x$$까지 변할 때, $$\displaystyle {\Delta y \over \Delta x} = {f(a+\Delta x)-f(a) \over \Delta x} $$를 구간 $$[a,\,a+\Delta x]$$에서의 $$y$$의 '''평균변화율'''이라고 한다.

이 때 평균변화율은 두 점 $$(a,\,f(a))$$, $$(a+\Delta x,\,f(a+\Delta x))$$을 잇는 직선의 기울기와 같다.

2.2. 순간변화율(instantaneous rate of change)

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만약 $$x$$의 증분의 절댓값인 $$|\Delta x|$$를 아주 작게 하면, 즉 $$\Delta x\to 0$$일 때, 평균변화율 $$\displaystyle {\Delta y}/{\Delta x}$$의 극한값을 생각할 수 있다. 이를 함수 $$f(x)$$의 $$x=a$$에서의 순간변화율이라 한다.

$$x=a$$에서 연속하는 함수 $$y=f(x)$$에 대해 $$\displaystyle\lim_{\Delta x\to 0}\frac{\Delta y}{\Delta x} = \lim_{\Delta x\to 0}\frac{f(a+\Delta x)-f(a)}{\Delta x}$$의 값이 존재할 때, 함수 $$f(x)$$는 $$x=a$$에서 '''미분가능(differentiable)'''하다고 하며, 이때 이 극한값은 함수 $$f(x)$$의 $$x=a$$에서의 변화율, 그 중에서도 순간변화율에 해당된다.

이를 기호

$$f'(a)$$, $$\quad \biggl.\dfrac {\mathrm{d}y} {\mathrm{d}x}\biggr|_{x=a}$$, $$\quad \displaystyle\left[ \frac {\mathrm{d}y} {\mathrm{d}x} \right] _{x=a}$$

등으로 나타낸다. 어떤 점에서의 순간변화율은 그 점에서의 접선의 기울기와 같다.
미적분을 처음 접하면 순간변화율이라는 이름부터 알려주지만 본격적으로 미분을 시도할 때 미분 계수(differential coefficient)라는 이름이 더욱 자주 쓰인다. 미분을 할 때에는 식의 최고차항의 계수가 중요하게 여겨지기 때문이다. 어떻게 한 점에서의 기울기, 그러니까 미분계수를 구하느냐에 관한 것이 위 개념, 미분의 기초라고 보면 된다.
이제 미분계수를 구해보자. 아까의 두 점 $$\mathrm{A}$$, $$\mathrm{B}$$을 지나는 직선에서 $$x$$의 증가량인 $$\Delta x$$가 [math(0)]으로 가까워지면, 함수 $$f$$가 연속이라는 가정 하에 자연스럽게 점 $$\mathrm{B}$$가 점 $$A$$로 다가가며[2] 직선이 짧아질 것이고, 이 $$\Delta x$$가 '''$$\displaystyle \lim_{\Delta x \to 0}$$이 붙어 [math(0)]은 아니지만 [math(0)]으로 한없이 다가가게 된다면''' $$\mathrm{A}$$와 $$\mathrm{B}$$ 사이의 거리가 똑같이 '''[math(0)]은 아니지만 [math(0)]으로 한없이 가까워져''', 즉 $$\mathrm{A}$$와 $$\mathrm{B}$$가 동일한 것은 아니지만 한없이 가까워져 평균변화율을 구하던 식이 한 지점의 순간변화율을 구하는 식이 되기 때문이다.
순수 수학에서는 크게 중요하지 않지만, 과학 계통에서는 미분 계수의 $$\mathrm{d}$$를 이탤릭체 $$d$$가 아니라 로만체 $$\mathrm{d}$$로 사용하는 것이 좋다. 이탤릭체는 변수나 문자를 의미하는데, $$d$$는 두께나 거리 등을 나타내는 문자로 사용하기 때문에 헷갈릴 수 있기 때문이다. $$dx$$가 $$x$$의 미분계수인지, 거리 $$d$$와 변수 $$x$$의 곱인지 알 수 없기 때문이다.

3. 한계

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경제학 등에서 다른 단어와 합성되어 그 요소의 변화량을 가리킨다.

• 한계비용
• 한계수입

3.1. 한계 이론

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[2] 그래프 상의 두 점 $$\mathrm{A}$$, $$\mathrm{B}$$의 위치를 결정하는 $$x$$축 위 $$b-a$$가 $$\Delta x$$이기 때문이다.