미적분학
1. 개요
Calculus · 微積分學
미분 적분학은 미분과 적분에 관한 복합 학문이다. 표준국어대사전상 미적분학과 함께 표준 표기로 인정하나 고려대사전에서는 미분적분학을 미적분학의 '원어'로 명시하고 있다. 즉 미적분학 쪽이 파생어이다.
2. 명칭과 어원
한국어의 한자어가 '-分(-분)'으로 끝나 실질적으로는 한 뿌리 같은 것으로 오해하기도 하지만, 미분(differential)과 적분(Integral)의 출발선은 실로 상이했다. 일반적인 교육 순서와 다르게 '적분'의 역사가 '미분'보다 훨씬 오래되었으며 본격적으로 이 두 개념을 연관짓기 시작한 역사조차 그리 오래되지도 않았다. 이후 17세기, 미분적분학의 기본정리가 등장하면서 미분과 적분을 함께 다루게 되면서 '''복합 학문'''으로 거듭났다.
미분과 적분 사이의 연결고리를 발견해낸 것 하나만으로 당시대 사람들은 이를 굉장히 신기하게 여겼다. 비유하자면 20년 간 남인 줄 알았던 당신의 친한 친구가 사실 친형제였다는 것이 밝혀지는 셈이다. 현대인들이 미분과 적분 사이의 유기성을 당연하게 여기는 바람에, 역으로 옛날 시대 사람들의 이러한 인식을 어색해 하기도 한다. 아마 서로를 신기해 할 것이다.
미분적분학의 영단어인 Calculus는 본래 수학 또는 계산이나 셈법 그 자체를 의미하는 말이었다. 라틴어로 calculus는 small pebble 즉, 작은 조약돌들을 의미한다. 복수로는 calculi. 주판이 생기기도 이전에 주판과 같은 개념으로 조약돌을 가지고 더하고 빼고 하던 것에서 유래해서 계산을 의미했으며 같은 어원에서 나온 계산 calculation이라는 단어도 있다. 사실 미분적분학을 의미하는 modern calculus는 differential calculus와 integral calculus가 합쳐진 말이다.
대한민국 저연령대 사이에서는 통칭이 '미적분'으로 자리잡았지만 굳이 위 같은 논거하에 근본을 살려 표현하자면 '''‘미분적분학’'''이 더 올바른 표현이라고 주장하며 통칭 개정 운동을 하는 사람들도 있다. 일반인과 학생들은 신경도 안 쓰는 논점이지만 교수들은 '미적분'이라는 표현을 달갑지 않아하는 경우가 꽤 있다.
실제로 서점 매대 원서들을 보면 '미분적분학'을 쓰는 책들이 아직까지 훨씬 더 많다는 것이 이를 방증한다. 가운뎃점을 이용해 '''‘미·적분학’''' 정도는 허용할 수 있겠다.[1]
함수의 원리를 중심으로 하여, 국소적인 변화를 중점적으로 다루기 때문에 무한소 해석학으로 부르기도 한다.
2.1. 역사적 의의
미분적분학 이전의 수학은 플라톤의 이데아론이 말하듯 끊임없이 변화하는 현상계의 세계보다는 불변하는 관념의 세계를 다루는 경향이 있었다. 그러나 '변화'를 다루는 미분적분학이 만들어지자, 정적인 성격만을 가지고 있던 수학이 동적으로 변화하는 현상 세계를 다룰 수 있게 된 것이다. 수학이 현실과 동떨어진 세계에서 진짜 현실로 볼 수 있는 세계를 다룰 수 있게 되자, 서양의 과학은 폭발적으로 발전하게 된다.
2.2. 함수와 공간에 대한 의의
미분적분학의 수학, 그 자체에서의 의미를 보면, "함수와 공간의 관계를 파악한다."로 요약된다. 고등학교 과정에서 나오는 미분적분학의 기본정리는 '''구간 [a, b]'''에서의 적분을 "원시함수의 '''양 끝점'''에서의 값의 차"로 나타낼 수 있다는 것을 의미하는데, 이것의 심화버전인 발산 정리와 스토크스 정리는 각각 '''2차원 곡면/1차원 곡선'''에서 벡터함수의 적분을 '''해당 함수를 미분하여 3차원 공간/2차원 곡면에서 적분'''하는 것으로 바꿀 수 있다는 것을 의미한다. 이 때 미분한 함수의 적분 영역의 경계선/경계면이 원래 함수의 적분 영역이 된다는 것을 의미한다. 다시 말해 미분적분학의 기본정리는 넓은 의미에서 함수와 공간의 대응 관계와 경로 무관성을 보여 준다고 할 수 있다.
3. 교육과정
자연과학대학, 공과대학, 정보대학, 상경계열에서 '''전공필수나 교양필수''' 교과목으로 지정된다.[2] 학부 1학년 강의 개설 명칭은 일반수학이나 대학수학, 기본수학이다. 이유는 밑에 서술한 고등학교 교과서 작명과 같은 이유에서인 듯 하다.
고등학교 수학 공통 과정(통상 고등학교 2학년이 배우는 '수학Ⅱ')에서도 미분법과 적분법의 대수적인 방법론 정도는 짚어야 한다. 단, 고등학교 수준의 미분적분은 교육학적으로 접근하기 때문에 대수·기하 등을 엮어서 배운다. 실질적으로 그것들이 필연적으로 엮여야 하는 것들은 아니다(이것이 학문으로서의 미분적분학과의 큰 차이). 그래서 고등학교 교과서 작명에 '-학'을 붙이는 것을 웬만하면 피하고 있다.
3.1. 고등학교
- 7차 교육과정: 수학Ⅱ, 미분과 적분
- 2007 개정 교육과정: 미적분과 통계 기본, 수학Ⅱ(2007), 적분과 통계
- 2009 개정 교육과정
- 2015 개정 교육과정
3.2. 대학교
대학교에서 미적분학을 다루는 교재로는 아래 책들이 유명하다.
- 미적분학: Stewart, Thomas,[15][16] Spivak,[17] Apostol,[18], Salas·Hille·Etgen[19]
- 수리물리학: Arfken, Boas
- 공업수학: Kreyszig, Zill
'''서울대학교''' 미분적분학은 김홍종 교수의 저서로, 자연계열 1학년 학생들이 모두 이수해야 하는 교양과목인 ‘수학 및 연습’의 교재로 쓰인다. 특징이라면 고등학교 수학을 완벽히 안다는 전제 하에 이들 내용이 상당수 빠지고[20] 급수부터 시작하며, 행렬을 강화시켜 선형대수 수준으로 만들어 놨고[21] 곡선 및 벡터해석 파트가 강화되어 있다. 또한 수학을 좋아하는 사람이라면 좋아할 만한 토픽들과 여러 정리의 증명을 상세하게 실어놓았다. 특히 부록에는 선형대수학 등의 내용도 상당히 실어놓았다. 따라서 아무리 서울대학교 학생이라도 대학교 1학년 학생들이 책을 완벽히 이해하기에는 힘든 편. 아무튼 한국인 교수의 미분적분학 교과서 중에서는 가장 좋은 평가를 받고 있어 서울대생이 아니더라도 미분적분학을 끝마친 사람들이 참고용으로 다시 볼 만한 책으로 자주 추천된다.
'''단국대학교''' 미분적분학 교재의 경우는 고등학교에서 배운 내용부터 시작하며, 미분적분학 전체에서 일부가 빠져 있다. 그리고 그린 정리 이후의 벡터해석의 내용이 빠져 있다.
'''인하대학교''' 미적분학 교재는 수학과 교수들이 공동 집필한 교재를 사용하며, Stewart 등 다른 책에 비하여 책의 설명과 예제가 많이 간소화되어 있는 편이다.
'''부산대학교''' 미분적분학 교재는 공과대학과 자연과학대학에서 수학과 교수들이 공동으로 집필[22]한 교재를 사용한다. 현직 강사들의 평가로는 설명이 많이 부실한데 연습문제가 내용에 비해 너무 어렵고 지저분하다고 한다. 여담으로, 구판(2014년 개정판)에서는 출판사에서 솔루션을 판매했지만, 신판(2019년 개정판)은 수요가 없어서 출판하지 않는다고 한다.
'''연세대학교'''의 경우 'Stewart Calculus: Early Transcendentals Yonsei ver.'이라고 하여, 기본 베이스는 Stewart 교재의 공대특화 버전인 Early Transcendentals와 거의 비슷하지만 구성이 좀 다른 교재를 사용한다. 학교 내에서 판매하며 물론 외부인도 구매할 수 있다. 이과대+생명대+의과대 등의 1학년들이 수강하는 '미적분학과 벡터해석 1, 2'와 공대 1학년 학생들이 수강하는 '공학수학 1, 2'의 교재로 사용된다.[23] 두 과목의 이름은 다르나 배우는 내용은 같다.
'''숭실대학교'''는 자연과학대학 수학과에서 세 교수가 공동 집필한 교재를 사용한다. 자연과학대학은 '미적분학', 공과대학 및 IT대학은 '기초공학수학'이라는 이름으로 해당 강의가 개설되어 있다. 미적분학 교재들 중에서는 배우는 범위가 매우 좁은 편으로, 라그랑주 승수 및 자코비안, 선적분과 그린정리를 포함한 벡터해석학 전체가 빠져있다. 입실론-델타 논법은 가르치지만 시험에 출제하지 않는다. 연습문제는 전반적으로 쉬우며 상당수가 계산문제에 치중되어 있다.
한편 경제학과나 경영학과 등에서도 경제수학/경영수학 강의 등에서 미분적분을 가르치는데, 그 경우에는 주로 Chiang저나 Simon저의 경제수학 교과서를 주로 사용한다.
상기 교재 대부분이 외국 학자들이 쓴 책이라 어떤 교재에는 한국 고교 교과과정에서 다루고 있는 내용이 포함되어 있기도 하다. 예를 들어 Thomas, Stewart는, 현 교육과정으로 미적분Ⅰ+미적분Ⅱ+기하와 벡터, 2015 교육과정으로는 수학Ⅱ+미적분+기하의 내용이 들어가 있다. 그렇다고 해서 이 책들로 바로 공부하는 것은 추천하지 않고, 초반부터 모든 내용이 고교 내용 전부를 배웠다는 전제 하에 전개되기 때문에 이 책으로 공부하고 싶은 고교생은 그냥 참고서(보강용)로 쓰는 게 낫다. 아니면 참고 마스터한 뒤 김홍종 걸 쓰든가.
이하는 대학에서 배우는 미분적분의 주요 내용이다. 자신이 이공계로 진학했다면 저 모든 내용은 사실상 피할 수 없다고 보면 되며, 경제학과나 경영학과는 이 중에서 일부[24]만 배운다. 아래 중 벡터미분적분은 공업수학 내용을 다수 포함한다. 사실 새로운 계나 곡률 혹은 벡터미분적분을 배우기 이전까지는 고교 미분적분과 크게 다르지 않다.
- 일변수 함수의 미분적분
- 극한과 극한의 엄밀한 정의[25]를 비롯한 해석학 기초 내용, 평균값의 정리(MVT), 미분적분학의 기본정리(FTC)Ⅰ/Ⅱ[26]
- 급수: 여러 가지 급수의 수렴판정법, 멱급수(power series)의 정의와 수렴반경, 여러 가지 함수의 멱급수, 로피탈의 정리, 근사다항식, 테일러 급수를 포함한 테일러 정리
- 해석기하학: 곡선, 매개화된 곡선의 속도/가속도 벡터, 접촉평면(osculating plane), 재매개화, 극좌표 곡선의 미분적분, 선적분(line integral)[27], 곡률(curvature), 매끄러움(smoothness), 이차곡선의 일반형과 이심률
- 다변수함수의 미분적분
- 다변수함수의 극한과 연속, 방향도함수와 그레이디언트(grad, 기울기벡터), 편미분(partial derivative)과 전미분(total derivative), 테일러 급수, 임계점 정리, 이계편도함수 판정법(헤세 판정법), 라그랑주 승수법(Lagrange multiplier method)
- 중적분: 중적분의 정의, 푸비니 정리, 중적분의 변수변환(야코비안)
- 벡터미분적분학(vector calculus)[28]: 극좌표계, 원통좌표계, 구면좌표계, 다변수 벡터함수와 야코비 행렬, 벡터장과 선적분, 퍼텐셜함수, 전미분과 미분형식(differential form), 벡터장의 발산(div), 그린 정리[29], 곡면과 면적분·발산 정리, 벡터장의 회전(curl)·스토크스 정리
4. 뉴턴과 라이프니츠 간의 창시자 논쟁
영국의 수학자 겸 과학자 뉴턴과 독일의 철학자 겸 수학자 라이프니츠는 미분적분학을 누가 먼저 창시했는지를 놓고 수십 년간 치열한 표절 공방을 벌였다. 사건은 런던의 출판업자 존 콜린스가 뉴턴의 미출간 자료 일부를 라이프니츠에게 보내준 데서 시작되었다. 뉴턴은 콜린스의 ‘배신행위’로 자신의 미분적분의 아이디어가 누출됐다고 주장했던 것.
뉴턴이 “라이프니츠가 내가 이미 발견한 미분적분을 도둑질했다”고 비난한 것에 반해, 라이프니츠는 “비슷한 시기에 독자적으로 발견했을 뿐”이라고 대응했다고 한다. 한편 뉴턴과 라이프니츠 외에도 영국과 대륙의 과학자들까지 가세해 서로 편을 갈라 두 사람을 응원하며 한동안 교류를 중단했을 정도였다. 다만 뉴턴의 방식보다는 여러모로 라이프니츠의 방법이 더 직관적이고 편리했기 때문에 영국 학자들은 꽤나 고생하게 된다.
현재 수학계에서는 '시간 순서상 먼저 미분적분학의 개념을 발견(또는 발명)한 것은 뉴턴이고, 콜린스가 넘겨준 미분적분 자료를 보기 전에 라이프니츠도 미분적분을 독자적으로 발견했다'는 견해를 받아들이고 있다. 즉, '''각자의 독자적 발견을 인정한다.'''[30]
5. 어록
'''미분적분학 발명은 바퀴#s-1나 활자 인쇄의 발명만큼 극적이고 혁명적인 효과를 가져왔으며 그야말로 중력 등 보이지 않는 것을 볼 수 있게 한 것이다.''' - "수학의 언어" 中
'''미분적분이야말로 자연을 읽는 언어이다.''' - 케임브리지대 피터 헤인즈 교수
'''우주는 '미분'으로 쓰여있고, 거기서부터 우리가 필요로 하는 위치를 추출해 내는 과정을 '적분'이라 부릅니다.''' - 경희대학교 물리학과 김상욱 교수
6. 관련 문서
[1] 이를 의도한 거였는지는 알 수 없으나 한때 2007 개정 교육과정 고등학교 과정에서도 '미분' 파트와 '적분' 파트를 분리한 적이 있다. (자세한 건 수학Ⅱ와 적분과 통계 문서 참조.) 그러나 당시 미적분과 통계 기본이 있었던 걸로 보아하면 의도한 건 아닌듯. 아예 각 잡고 의도한 교과서는 7차 교육과정 시절의 미분과 적분 정도를 예로 들 수 있겠다.[2] 전필이냐 교필이냐는 대학마다 차이가 있다.[3] 2011 개정 교육과정 해설서에는 그냥 '급수'라고만 되어 있다.[4] 원래 이과 학생들만 배웠던 롤의 정리와 평균값의 정리가 미적분Ⅰ에 추가되면서 문과 학생들도 배우게 되었다.[5] 2014학년도 고등학교 입학생부터 적용되며, 문/이과 공통으로 배운다.[6] 지수함수와 로그함수의 극한, 미분법은 수2[7] 삼각함수의 뜻과 그래프는 구 고등수학.[8] 2014학년도 고등학교 입학생부터 적용되며, 이과만 배운다.[9] 2014학년도 고등학교 입학생부터 적용되며, 이과만 배운다.[10] 위의 함수의 미분과 마찬가지로 '다항 함수'만을 다룬다. 삼각함수, 지수함수 및 기타 응용에 관한 이론은 미적분에서 배운다.[11] 2018학년도 고등학교 입학생부터 적용되며, 문/이과 공통으로 배운다.[12] 약 한 문제를 푸는데 한 10분은 족히 걸린다고 봐야한다. 원함수를 미분하여 0이되는 값을 구하고 또 함수를 미분하면 이계도함수의 0점을 구한 다음 증감표를 그려서 일계미분함수와 이계미분함수의 부호를 판단한 다음 f(x)의 증가 및 감소 모양새를 찾는다. 그 다음 그 함수의 점근선의 함수를 구하고 그래프를 그리면 끝. 문과들이 이것을 배우지 않을 경우 미분이 뭐가 그렇게 어렵냐고 할 수 있지만 분수함수, 무리함수의 미분은 계산이 매우 더러운데다 실수포인트가 많은 부분이다 [13] 2018학년도 고등학교 입학생부터 적용된다. 선택과목으로 개설되었다. 이전과 달리 한 반에 떡하니 시간표에 배치되어 있는 게 아니라 대학교 방식처럼 선택 및 학급 이동으로 이수하는 것이 도입되었는데, 학교에 따라 한 반으로 수업할 수도 있고, 이동 수업을 할 수도 있다.[14] 2018학년도 고등학교 입학생부터 적용되며, 상경계열에 진학할 학생들을 위해 개설된 진로 선택 과목. 이 경우에는 지수함수의 미분, 수열의 극한, 함수의 극한 등과 같은 미분의 기초 응용 내용에 한정함.[15] 전자(스튜어트)는 이공계열에서 응용계열에 유용하고, 후자(토마스)는 수학계열에 유용하다. 둘 다 무지막지한 밀리언셀러이자 마스터피스로, 스튜어트의 경우는 말 그대로 천조국판 수학의 정석이다. 저자는 홍성대처럼 죽기 전 이 책으로 벌어들인 돈으로 호화로운 집과 기념 빌딩을 지었다. 토마스의 경우 그런 짓은 하지 않았지만 스튜어트 못지 않게 명성이 높다. 2018년 현재 두 저자 모두 세상을 떠났는데, 아직도 개정판이 나오고 있다.[16] 다만 스튜어트 미분적분학 한글 번역판의 경우 극곡선 개형 설명 중에 빠진 내용이 너무 많다. 어려운 문체는 없으니 International 버전의 영어 원서로 읽는 것이 편하며, pdf 구하기도 쉽고 국내에서도 워낙 쓰이는 빈도가 높아 중고 원서책이 한국내에 많이 돌아다니므로 싸게 구할 수 있다[17] 미분적분을 좀더 이론적으로 접근하는 책. 다변수 내용이 없으며 그냥 쉬운 해석학 책이라 보면 된다. 수학 전공자들이 "이론적"이라느니 "체계적"이라느니 하며 극찬하는 책중 하나다.[18] Calculus라는 이름과 다르게 미분적분뿐만 아니라 선형대수학, 미분방정식, 수치해석 확률론이 삭제 없이 모두 합쳐져 있는 무시무시한 책. 공대생들을 위한 책으로 추정되며, 문제 수준은 광범위한 내용에 비례하여 심히 무시무시하다.[19] 세 명 공저. 미분적분학 책 중 가장 난이도가 낮기로 유명하다. 보통 미분적분학에서 이 책을 쓰면 일변수 함수쪽을 주로 다루고, 수학과에서 전공과목으로 다변수함수론을 개설하여 뒷부분을 다룬다. 즉, 3학기 과목인 책이다.[20] 이렇게 되면 문과생 중 경제학과 지망생에게 문제가 될 수 있다. 문과는 현재 교육과정 상 초월함수의 미분적분을 배우지 않기 때문. 이 때문에 서울대에는 문과용 교양 수학 강의(인문사회계를 위한 수학)가 따로 개설되어 있다. 내용은 대체로 고교 이과 수학+α. 대체로 문과생들은 이 강의를 듣고 난 다음에 미분적분학 강의를 듣는다. 간혹 바로 선형대수학이나 해석 개론 등의 수학과 전공 과목으로 넘어가는 경우도 있다.[21] 심지어 행렬식을 정의할 때 수치적으로 계산하기 편한 여인수 전개가 아니라 수학과 3학년 현대대수학에서 나오는 '''치환'''을 이용하여 정의한다. 게다가 정기고사에서도 선형대수 교재에 있는 수준 높은 문제를 꼬아내고 영어로 번역까지 해서 내기도 한다.[22] 수학교재편찬위원회[23] 타 대학 공대가 2학년 즈음 배우는 공학수학 1, 2는 연세대에서 공학수학 3, 4로 분류되어 있다.[24] 예를 들면 선형근사화, 편미분, 임계점, 라그랑주 승수법 등[25] 극한의 엄밀한 정의는 학과에 따라 패스하는 경우도 있다.[26] 고등학교 시절과 달리, 대부분을 증명하고 넘어간다![27] 벡터미적분학 파트와도 연관된다.[28] David K. Cheng 교수가 썼으며 공대에서 스테디셀러로 읽히는 전자기학 교재에서는 2장을 통째로 벡터미적분학에 할애한다. 그리고 이는 이어지는 전기장·자기장 분석 과정에서 필요한 수학적 스킬을 연마시켜주는 고마운 파트다. 따라서 전기전자공학과 학생이라면 이 파트를 결코 소홀히 해서는 안 된다. 대충 건성으로 수박 겉 핥듯이 넘기면 언젠가 반드시 피를 보게 되어 있다![29] 스토크스 정리를 2차원으로 사영시킨 버전이다.[30] 뉴턴 입장에서는 라이프니츠가 나중에 개념을 깨달았지만 먼저 발표해서 분노한 것이 아니라, 자신의 자료를 읽고서 깨달아놓고 마치 자신이 스스로 깨달은 것 마냥 발표한 데서 분노한 것이다. 지금이야 오해라는 게 학계의 정설이지만, 당시 뉴턴 입장에서는 정말 독자적으로 깨달아낸 것인지 알 수 없었기 때문.[31] 별명이 적분이형, 미적분의 사나이이다. 미분적분은 잘해도 사칙연산은 못한다(어려운 수비는 잘하면서 쉬운 수비는 못한다)는 발언 때문에 생긴 별명.