볼테라 함수
1. 개요
볼테라 함수(Volterra's function)는 $$[0,1]$$위에서 정의된 병리적 함수의 일종으로, 리만 적분이 불가능한 유계 도함수를 갖는, 미분 가능한 함수의 예이다. 이러한 함수가 존재 함에도 미적분의 기본정리가 참인 이유는, 미적분의 기본정리에 연속 함수라는 조건이 달려있기 때문이다.
2. 정의
$$C$$를 아래와 같이 정의된 뚱뚱한 칸토어 집합이라고 하자.
- $$C_{1}=\left[0,\dfrac{3}{8}\right]\cup\left[\dfrac{5}{8},1\right]$$
- $$C_{n}=\cup_{k=1}^{2^{n}}[a_k,b_{k}]$$일 때, $$C_{n+1}=\displaystyle\bigcup_{k=1}^{2^{n}}\left(\left[a_{k},\dfrac{a_{k}+b_{k}}{2}-\dfrac{1}{2^{2n+3}}\right]\cup\left[\dfrac{a_{k}+b_{k}}{2}+\dfrac{1}{2^{2n+3}},b_{k}\right]\right)$$
- $$C=\displaystyle\bigcap_{n=1}^{\infty}C_{n}$$
$$V_{k}(x)=\begin{cases}(x-\alpha)^{2}\sin\dfrac{1}{x-\alpha}, & \alpha
최종적으로, 볼테라 함수 $$V:[0,1]\to\mathbb{R}$$은 아래와 같이 정의되는 함수이다.$$V(x)=\begin{cases}V_{k}(x), & x\in I_{k},\:k\in\mathbb{N}\\ 0, & x\in C \end{cases}$$
2.1. 설명
함수 $$f(x)=\begin{cases}x^{2}\sin\dfrac{1}{x},&x\neq 0\\ 0,&x=0\end{cases}$$를 생각해보자. 이 함수는 구간 $$(-\infty,0)$$와 $$(0,\infty)$$ 위에서는 초등함수의 사칙연산과 합성으로 이루어진 함수이므로 미분의 일반적인 성질에 의해
$$f'(x)=2x\sin\dfrac{1}{x}-\cos\dfrac{1}{x}$$
로 구할수 있다. $$x=0$$일 때는, 다음과 같이 미분계수의 정의를 이용해서,$$\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{x^{2}\sin\dfrac{1}{x}-0}{x-0}=0$$
이 된다는 것을 알 수 있다. 즉,$$f'(x)=\begin{cases}2x\sin\dfrac{1}{x}-\cos\dfrac{1}{x},&x\neq 0\\0,&x=0 \end{cases}$$.
위의 $$f'(x)$$는 특이하게도 어떤 함수의 도함수인데도 불연속인 함수이다. 그런데, 이 함수는 한 점만 불연속이므로, 리만적분 가능하다. 즉, 우리의 목표 중 하나인 리만적분 불가능을 달성할 정도로 특이하진 않다는것.유계 함수에 대해, 리만적분 가능성과 동치인 조건은 함수가 '거의 모든 점'에서 연속이란 것이다.[3] 여기서 '거의 모든 점'에서 연속이란 것은, 불연속 점의 르베그 측도[4]가 0이란 것이다. 르베그 측도가 0인 집합으로는 대표적으로 가산집합이 있다.[5] 그래서, 리만적분이 불가능한 유계 함수를 만드려면, 불연속 점을 자연수의 갯수보다는 훨씬 많이 심어야 한다.
그런데, 놀랍게도 다음의 특성을 갖는 집합이 있다.
- 르베그 측도가 0이 아니다.
- 집합 내의 임의의 두 점을 잡았을 때, 그 두 점의 사이에 들어오면서도, 그 집합과는 서로소인 열린구간이 항상 존재한다.
- 닫혀있다.
3. 성질
$$V$$는 $$[0,1]$$ 위에서 미분 가능하고, 도함수 $$V^{\prime}$$이 $$C$$ 위의 모든 점에서 불연속이라는 사실을 쉽게 유도할 수 있다. 그런데 $$C$$는 르베그 측도가 0보다 크므로 $$V^{\prime}$$은 리만적분 불가능하다.