병리적 함수
1. 개요
病理的 函數 / pathological function
함수로서 일반적으로 만족시킬 것으로 여겨지는 성질들을 만족시키지 않는 이상한 함수.[1] 특히, 거의 모든점에서 미분불가능한[2] 연속함수를 실해석학의 괴물(monsters of real analysis)이라고 부른다고...
상당수가 무한급수, 조각적 정의, 또는 귀납적 정의를 통해 정의된다.
수학사적으로 의미가 큰데, 직관을 너무 과신했던 수학자들의 뒤통수를 매우 크게 후려갈겼기 때문이다. 특히 바이어슈트라스가 최초로 발표한 모든점에서 연속이지만, 어디에서도 미분 불가능한 함수가 충격적이었는데, 이후로는 직관이 아무리 좋아도 엄밀하게 연역적인 증명을 통해야만 한다는 것을 깨닫게 해 주었다.[3]
첨언하자면, 병리적 함수는 실함수에만 있다. 복소함수는 미분가능성, 해석함수의 허들이 실함수에 비해 높은 대신, 이 중 하나라도 만족하면 미분, 해석, 연속 셋 모두를 만족하는 정칙함수가 됨이 알려져 있다.
2. 예시
'''가나다순으로 정렬한다.'''
2.1. 다카기 함수
$${\rm blanc}(x)=\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}\dfrac{s(2^{n}x)}{2^{n}}$$, (여기서 $$s(x)$$는 $$x$$와 가장 가까운 정수와의 거리이다.)
그래프의 개형이 푸딩의 일종인 블랑망제를 닮아서 '''블랑망제 곡선'''이라고도 부른다. 자세한 내용과 함수 형태
2.2. 디리클레 함수
$${\bold 1}_{\mathbb Q}(x) = \begin{cases} 1 & (x \in \mathbb{Q}) \\ 0 & (x \notin \mathbb{Q}) \end{cases} \qquad $$
모든 점에서 불연속인 함수의 대표주자이다. 자세한 내용은 디리클레 함수 참조. 디리클레 함수를 적당히 변형해서 특이한 함수들을 만들어 낼 수 있다. 예를 들어서 $$x{\bold 1}_{\mathbb Q}(x)$$는 $$x=0$$을 제외한 모든 점에서 불연속인 함수이고, $$x^{2}{\bold 1}_{\mathbb Q}(x)$$는 $$x=0$$을 제외한 모든 점에서 불연속이지만, $$x=0$$에서는 미분 가능한 함수가 된다.특이하게도, 주기함수의 정의를 어떻게 하느냐에 따라서 주기함수가 되기도 하고 아니기도 하다. 주기함수의 정의를 최소 주기가 존재하는 함수로 정의하면, 주기함수가 안된다. 최소 주기가 존재하지 않아도 무방하면, 임의의 양의 유리수가 주기인 주기함수가 된다.
2.3. 바이어슈트라스 함수
바이어슈트라스 함수는 푸리에 급수로 정의되는 아래의 함수이다.
$$f(x)=\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}a^{n}\cos(b^{n}\pi x),\quad$$($$0<a<1,\:b$$는 양의 홀수, $$ab>1+\dfrac{3\pi}{2}$$)[4]
모든 점에서 연속이면서, 모든 점에서 미분 불가능한 함수이다. 아래의 그래프는 a=0.5, b=12일 때, 급수를 n=4인 항까지 계산 한 것의 그래프이다.
[image]
2.4. 볼차노 함수
볼차노 함수는 다음과 같이 재귀적으로 정의되는 함수열의 점별 극한이다.[5]
- 구간 $$J_{0,1}=[0,1]$$ 위의 함수 $$y=x$$를 생각하자.
- 구간 $$J_{0,1}=[0,1]$$을 $$J_{1,1}=[0,3/8]$$, $$J_{1,2}=[3/8,1/2]$$, $$J_{1,3}=[1/2, 7/8]$$, $$J_{1,4}=[7/8,1]$$의 소구간으로 나누자.
- 각 소구간의 끝 점에 좌표 $$(0,0)$$, $$(3/8,5/8)$$, $$(1/2,1/2)$$, $$(7/8,9/8)$$, $$(1,1)$$ 를 찍고, 각 소구간 위에서 조각적 1차 함수가 되도록, 양 끝점의 좌표를 선분으로 잇는다.
- 소구간 $$J_{n,m}=[a,b]$$를 아래와 같이 더 작은 4개의 소구간으로 나눈다.
$$J_{n+1,4m-3}=\left[a,a+\dfrac{3}{8}(b-a)\right]$$,
$$J_{n+1,4m-2}=\left[a+\dfrac{3}{8}(b-a),a+\dfrac{1}{2}(b-a)\right]$$,
$$J_{n+1,4m-1}=\left[a+\dfrac{1}{2}(b-a),a+\dfrac{7}{8}(b-a)\right]$$,
$$J_{n+1,4m}=\left[a+\dfrac{7}{8}(b-a),b\right]$$
$$J_{n+1,4m-2}=\left[a+\dfrac{3}{8}(b-a),a+\dfrac{1}{2}(b-a)\right]$$,
$$J_{n+1,4m-1}=\left[a+\dfrac{1}{2}(b-a),a+\dfrac{7}{8}(b-a)\right]$$,
$$J_{n+1,4m}=\left[a+\dfrac{7}{8}(b-a),b\right]$$
- $$J_{n,m}=[a,b]$$의 끝점에서 좌표가 $$(a,A)$$,$$(b,B)$$일 때, 각 소구간 $$J_{n+1,i}$$의 끝점에 아래와 같은 좌표를 찍고, 각 소구간 위에서 조각적 1차 함수가 되도록, 양 끝점의 좌표를 선분으로 잇는다.
$$(a,A)$$,
$$\left(a+\dfrac{3}{8}(b-a),A+\dfrac{5}{8}(B-A)\right)$$,
$$\left(\dfrac{1}{2}(a+b),\dfrac{1}{2}(A+B)\right)$$,
$$\left(a+\dfrac{7}{8}(b-a),A+\dfrac{9}{8}(B-A)\right)$$
$$(b,B)$$
$$\left(a+\dfrac{3}{8}(b-a),A+\dfrac{5}{8}(B-A)\right)$$,
$$\left(\dfrac{1}{2}(a+b),\dfrac{1}{2}(A+B)\right)$$,
$$\left(a+\dfrac{7}{8}(b-a),A+\dfrac{9}{8}(B-A)\right)$$
$$(b,B)$$
- 4,5를 무한히 반복한다.
2.5. 볼테라 함수
모든 점에서 미분가능한 함수이다. 그런데, 특이하게도 도함수가 유계인데, 리만적분 불가능하다.[6] 자세한 내용은 볼테라 함수 참조.
2.6. 셀레리에 함수
$$f(x)=\displaystyle\sum_{k=1}^{\infty}\dfrac{\sin( a^{k}x)}{ a^k}$$
$$a>1$$ 일 때, 셀레리에 함수는 연속이고 모든점에서 미분불가능하다는 것이 하디에 의해서 증명되었다.2.7. 칸토어 함수
악마의 계단 함수라는 악명이 붙은 이 함수는, 다음과 같은 방법에 의해 얻어지는 함수이다.
- $$x\in[0,1]$$를 삼진법으로 나타낸다.
- $$x$$의 삼진법 표현에 1이 있을 경우, 첫번째 1 이후의 모든 자리의 숫자를 0으로 바꾼다.
- 남아있는 모든 2를 1로 바꾼다.
- 이렇게 얻어진 수가 사실 2진법 표현이였다고 생각하고, 이를 $$f(x)$$의 값으로 삼는다.
2.8. 토메 함수
토메 함수는 아래와 같이 정의되는 함수이다.
$$f(x) = \begin{cases} 0 & x \notin \mathbb{Q} \\1& x=0 \\ \dfrac{1}{q}& x=\dfrac{p}{q},\:\gcd(p,\,q)=1,\:q>0 \end{cases}$$
유리수에서는 불연속이고, 무리수에서는 연속이며 모든 점에서 미분불가능하며, 리만 적분은 가능한 이상한 함수의 예이다.2.9. 기타
- $$f(x) = \begin{cases} x^{2}\sin\dfrac{1}{x} & (x \neq 0) \\ 0 & (x=0) \end{cases} \qquad $$: 미분가능한 함수이지만, 도함수가 $$x=0$$에서 불연속인 함수.
- $$f(x) = \begin{cases} e^{-\frac{1}{x^2}} & (x \neq 0) \\ 0 & (x=0) \end{cases} \qquad $$: 무한번 미분가능한 함수이지만, 테일러급수가 자신과는 다른 함수.
3. 참고
- Marek Jarnicki, Peter Pflug, Continuous Nowhere Differentiable Functions - The Monsters of Analysis*
미분가능한 점이 없는 연속함수에 대해 많은 예시와 함께 잘 설명해 놓은 책
그래프가 프랙탈인 함수들은 병리적인 성질을 지닌다. 위에서 제시된 여러 함수들도 그래프가 프랙탈인 경우가 많다.
[1] 이와 대척점에 있는 용어로는 참한 함수(well-behaved function)가 있다. 이상한 반례들 생각 안하고, 적당히 좋은 조건의 함수들만을 생각하려고 할 때, 참한 함수라는 단어를 쓰는 것. 흔히 말하는 초등함수가 전부 참한 함수이다.[2] 미분가능한 점들의 집합의 르벡 측도가 0인 집합[3] 비슷하게 직관을 과신했다 피를 본 사례로 러셀의 역설이 있다.[4] 이 조건은 바이어슈트라스가 제시한 조건이며, 이후에 고드프리 해럴드 하디에 의해서 [math(0<a<1)], $$ab\geq 1$$의 확장된 조건에서도 모든 점이 미분불가능 하다는것이 증명되었다.[5] 결과적으로는 균등수렴 한다.[6] 즉, 볼테라 함수의 도함수는 부정적분은 가능한데, 정적분은 불가능하다. 르벡적분은 가능.