르베그 측도

 


1. 개요
2. 이게 왜 나왔는가?
3. 간략한 정의 및 예시
4. 르베그 적분
5. 르베그 측도/적분의 성질과 결과들
6. 측도론에서의 엄밀한 정의

Lebesgue measure

1. 개요

실수집합 혹은 유클리드 공간 $$\mathbb{R}^n$$에 부여되는 보편적인 측도이다. 간단히 말하면 '''길이 및 넓이를 수학적으로 엄밀하게 정의한 것'''이라 생각하면 된다. 기존의 리만 적분의 문제점을 개선하기 위해 수학자 앙리 르베그(Henri Lebesgue)에 의해 이 르베그 측도와 르베그 적분(Lebesgue integral)의 개념이 개발되었고, 이것이 더욱 일반화되어 측도로 발전하게 된다.

2. 이게 왜 나왔는가?

우리가 보통 넓이를 어떻게 구하는지를 생각해보면, 직사각형의 넓이는 (가로)×(세로)로 계산해서 구하고, 복잡한 모양의 넓이는 전체 모양을 직사각형 조각으로 쪼개서 각 조각의 넓이를 모두 더하는 방법인 구분 구적법으로 구한다. 지금 시점에서 자연스럽게 쓰는 이 방법을 체계화시킨 것은 베른하르트 리만이었고, 이 유명한 '리만 적분법'이 종래까지의 넓이를 구하는 방법이었다. 리만 적분은 무한소니 뭐니 하는 애매한 미적분학의 방법에서 벗어나 처음으로 엄밀하게 넓이를 정의한 혁신이었지만, 해석학을 발전시키며 수학자들은 리만 적분에서도 한계점을 하나둘씩 느끼게 되었다.
  • 계산 못하는 게 의외로 많았다. 집합 판별 함수가 적분 불가능하면 넓이를 생각할 수 없다. 당장에 유리수일 때 1, 무리수일 때 0을 주는 디리클레 함수가 리만 적분이 안 된다는 것은 해석학을 처음 배울 때 한 번쯤 증명해 보았을 것이다.
  • 더 큰 문제점으로, 리만 적분은 극한과 제대로 호환이 안 된다. 간단히 말하면 $$\int (\lim_n f_n(x)) \,{\rm d}x \neq \lim_n (\int f_n(x) \,{\rm d}x) $$인데, 이런 예 역시 해석학 수업에서 보았을 것이고, 덕분에 균등 수렴이니 점별 수렴이니 하는 서로 다른 종류의 수렴들을 분류하는 귀찮음을 느꼈을 것이다.
  • 이것의 함의는 함수들의 벡터 공간, 즉 함수 공간을 생각하며 또 치명적으로 다가왔는데, 수렴성을 제대로 정의할 수 없었던 것이다. 리만 적분이 가능한 모든 함수들의 공간에서는 (거리 $$|f-g|=\int |f(x)-g(x)| \,{\rm d}x$$에 대해) 코시 수열이 수렴하지 않아 완비 거리 공간[1]이 되지 못한다. 미분 방정식, 푸리에 해석 등이 출현하며 함수 공간에 대한 체계적 이론(함수 해석학)이 요구되었으므로, 이는 제일 먼저 확실히 하고 넘어가야 할 부분이었다.
수학자들은 이러한 리만 적분의 한계를 넘어서기 위해 여러 가지 시도를 하였고, 그 결과 완성된 것이 바로 르베그 측도와 르베그 적분의 개념이다. 르베그는 이걸 활용해 위의 문제점들을 많은 경우에 해결할 수 있었고, 또한 함수의 수렴 관계 등을 리만 적분의 경우보다 훨씬 명확하게 정의할 수 있었다. 즉, 처음에 받아들이기 어려울 수 있지만, 결과물은 리만 적분을 썼을 때보다 훨씬 깔끔하게 나온 것이다.
사실 르베그의 발견에서는 적분법이 본체고 측도는 여기에 딸려 나온 느낌이긴 하다.

3. 간략한 정의 및 예시

집합 $$A \subset \mathbb{R}$$를 덮는 가산 개의 유계 열린구간을 생각하자.
$$\displaystyle A \subset \bigcup_{i=1}^{\infty} (a_i,\,b_i)$$
이 때, $$A$$의 르베그 외측도 $$\mu^{*}:\mathcal{P}(\mathbb{R})\to \mathbb{R}_{+}^{*}$$[2]는 모든 덮개에 대해 길이의 총합의 하한으로 정의된다.
$$\displaystyle \mu^{*}(A) = \inf \left[ \sum_{i=1}^{\infty} (b_i - a_i) \right] $$
이 때, 임의의 집합 $$E\subset\mathbb{R}$$에 대하여, $$\mu^{*}(A\cap E)+\mu^{*}(A^{c}\cap E)=\mu^{*}(E)$$ 가 성립하면,[3][4] $$A$$를 르베그 가측 집합이라고 한다. 르베그 가측 집합의 집합을 $$\mathfrak{M}$$으로 나타내자. 르베그 측도 $$\mu:\mathfrak{M}\to\mathbb{R}_{+}^{*}$$는 $$\mu^{*}$$의 정의역을 $$\mathfrak{M}$$으로 제한한 함수이다.
$$\mu (A)=\mu^{*}(A), \quad\text{for } A \in \mathfrak{M}$$
$$\mathbb{R}^n$$의 경우는 각 변이 좌표축에 평행한 나란히꼴 구간 $$[a_i^1,\,b_i^1] \times \cdots \times [a_i^n,\,b_i^n]$$들로 덮으면 된다.
이를 통해 $$[0,\,1]$$의 유리수 집합의 측도가 [math(0)]임을 보일 수 있다. 유리수는 가산집합이므로 유리수들을 $$q_1,\,q_2,\,\cdots,\,q_i$$ 이렇게 나열하고, 구간을 $$[a_i,\,b_i]=[q_i-\epsilon2^{-i},\,q_i+\epsilon2^{-i}]$$로 잡는다. 이 덮개에 대해 구간 길이의 총합은 $$\sum_{i=1}^{\infty} \epsilon 2^{-i+1} = 4\epsilon$$이므로 임의로 작아질 수 있다. 따라서 이 집합의 측도는 [math(0)]이어야 한다.
이 르베그 측도는 우리가 보통 기대하는 넓이에 대한 성질을 만족시킨다. 교집합이 없는 가산개의 집합 $$A_1,\,A_2,\,\cdots,\,A_i$$에 대해 $$\mu(\bigcup_i A_i) = \sum_i \mu(A_i)$$이고, 평행이동에 대해 불변이다. 그리고 이 두 성질을 만족시키는 유일한 함수가 저 측도인 것도 같다.
르베그 가측집합이 아닌 집합도 존재하며, 대표적으로는 비탈리 집합(Vitali set)이 있는데, 이걸 처음 본다면 자세히 알 필요는 없다.

4. 르베그 적분

특성함수의 합으로 나타나는 단순함수의 적분을 먼저 다음처럼 정의한다.
$$\displaystyle \int \Biggl( \sum_{i=1}^k c_i {\bf 1}_{A_i}(x) \Biggr) = \sum_{i=1}^k c_i \mu(A_i) $$
이제 양함수 $$f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}_{\ge 0}$$의 적분은 다음과 같이 정의된다.
$$\displaystyle \int f = \sup \!\left\{ \int g: 0 \le g \le f, g \mathsf{\ 는\ 단순\ 함수} \right\} $$
일반적인 실함수 $$f$$의 경우, $$f$$의 양수/음수 부분
$$\displaystyle f_{+} = \max(f,\,0),\, f_{-} = \max(-f,\,0)$$
의 적분이 모두 유한할 때만 적분을 정의할 수 있다. 이 때
$$\displaystyle \int f = \int f_{+} - \int f_{-}$$
로 정의하고, $$f$$가 '''적분 가능'''(integrable)하다고 한다.
(예시 추가 예정)

5. 르베그 측도/적분의 성질과 결과들

르베그 적분은 리만 적분에서 성립하는 성질(선형성, 단조성) 등을 모두 만족시키고, 어떤 함수가 리만 적분 가능하면 르베그 적분도 가능하며 값도 동일하다. 대신에 적분할 수 있는 함수의 범위가 무지막지하게 넓어진다는 장점이 있다. 특히, 극한으로 정의될 수 있는 함수들을 (어느 정도의 유한성만 보장되면) 모두 포함하는데, 이것을 말해주는 것이 르베그 지배수렴정리(Lebesgue's dominated convergence theorem)이다. 이것 하나 덕분에 $$L^p$$ 공간을 결정하고 함수공간에서 완비성이니 어쩌니를 논할 수 있다고 보아도 과언이 아니다. 한편으로는 Egorov's theorem, Lusin's theorem 같이, 일반적인 함수의 르베그 측도나 적분도 기존의 리만적분으로 얼마든지 원하는 정도로 수렴을 보장한다는 계열의 정리들도 생각할 수 있다.
측도론이 지저분하다는 통념과는 반대로, 르베그 적분론의 결과들을 받아들인다면 리만 적분 때보다 훨씬 직관적인 적분에 대한 결과들을 대부분의 함수에 대해 갖다 쓸 수 있어서 훨씬 편리해진다.

6. 측도론에서의 엄밀한 정의

(추가 예정)

[1] 모든 코시 수열이 그 공간 내부의 원소로 수렴하는 거리 공간. 구멍이 존재하지 않는 거리 공간이라고 생각할 수 있다.[2] $$\mathbb{R}_{+}^{*}$$는 음이 아닌 실수와 $$\infty$$를 원소로 갖는 집합.[3] 이 식의 의미는, 임의의 집합 $$E$$를 $$A$$에 포함되는 부분($$A\cap E$$)과 포함되지 않는 부분($$A^{c}\cap E$$)으로 나눴을 때, 각각의 측도의 합이 나누기 전의 측도와 같다는 것이다.[4] 일반적으로 외측도에서 $$\mu^{*}(A\cup B)\leq\mu^{*}(A)+\mu^*(B)$$가 성립한다. 특히, $$A$$와 $$B$$가 서로소여도, 등호가 성립하지 않는 경우가 있다.

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