칸토어 집합
Cantor set
1. 개요
실수에서 닫힌 구간 $$ \left[0, 1 \right] $$를 3등분해나가면서 가운데 것을 제거하는 작업을 반복하여 얻는 집합이다. 프랙털의 일종이기도 하며, 해석학 및 위상수학에서 특이한 예시를 만드는 데 사용되곤 한다.
2. 정의
$$ C_0 = \left[0, 1 \right] $$라고 하자. 이때 집합열 $$ \left( C_n \right)$$을 다음과 같은 점화식으로 정의한다.
$$\displaystyle C_{n+1} := \frac{1}{3}C_n \cup \left(\frac{2}{3} + \frac{1}{3}C_n \right) = \left\{ \frac{x}{3} : x \in C_n \right\} \cup \left\{ \frac{2}{3} + \frac{x}{3} : x \in C_n \right\} $$
그러면 칸토어 집합 $$ C $$는 다음과 같은 집합이다.$$\displaystyle C = \bigcap_{n=0}^{\infty} C_n $$
3. 성질
3.1. 3진법 표현
위 정의에 따라 $$ \left( C_n \right)$$은
$$ \displaystyle \begin{aligned} C_0 &= \left[0, 1 \right] \\ C_1 &= \left[0, \frac{1}{3} \right] \cup \left[\frac{2}{3}, 1 \right] \\ C_2 &= \left[0, \frac{1}{9} \right] \cup \left[\frac{2}{9}, \frac{1}{3} \right] \cup \left[\frac{2}{3}, \frac{7}{9} \right] \cup \left[\frac{8}{9}, 1 \right] \\ &\vdots\end{aligned} $$
과 같은 식으로 나아간다. 닫힌 구간 $$ \left[0, 1 \right] $$의 원소 $$r$$를 3진법으로 다음과 같이 나타내었다고 하자.$$r=0.a_1 a_2 a_3 \cdots _{(3)}$$
단, 이러한 3진법 표현을 유일하게 만들기 위해 1다음에 0이 계속 이어지거나 2가 계속이어지는 표현은 허용하지 않기로 한다.예를 들어 1/3의 경우
$$\displaystyle \frac{1}{3} = 0.1000\cdots_{(3)} = 0.0222\cdots_{(3)} $$
에서 $$0.0222\cdots_{(3)} $$만 허용한다.2/3의 경우에는
$$\displaystyle \frac{2}{3} = 0.2000\cdots_{(3)} = 0.1222\cdots_{(3)} $$
에서 $$0.2000\cdots_{(3)} $$만 허용한다.그러면 $$r \in C_1$$일 때 $$a_1 = 0 \ \text{or} \ 2$$이다.
마찬가지로 $$ C_2 $$에서 $$r \in C_2$$이려면 $$a_1 = 0 \ \text{or} \ 2$$이고, $$a_2 = 0 \ \text{or} \ 2$$이어야 한다.[1]
이 과정을 반복하면, 칸토어 집합 $$ C $$는 다음과 같이 표현할 수 있다.
$$\displaystyle C = \left\{ r \in \left[0, 1 \right] : r = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{a_n}{3^n} , \ a_n = 0 \ \text{or} \ 2 \right\} $$
즉, $$ C $$의 모든 원소들은 '''0과 2만 나타나는 3진법 실수'''와 같다.이런 이유로 칸토어 집합을 Cantor Ternary Set이라고도 한다.
3.2. 원소의 개수
$$ C $$의 원소의 개수는 구간 $$ \left[0, 1 \right] $$의 원소의 개수와 같다. 0 또는 2의 값만을 가지는 수열 $$ \left( a_n \right) $$이 있을 때, $$ C $$의 원소들은 $$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{a_n}{3^n} $$의 꼴로 나타내어지므로, 함수 $$ f: C \to \left[0, 1 \right] $$를 다음과 같이 정의할 수 있다.[2]
$$\displaystyle f\left( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{a_n}{3^n} \right) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{a_n /2}{2^n}$$
그러면 $$ f $$는 전사함수가 된다. 따라서 $$\displaystyle \text{card}(C) \geq \text{card}(\left[0, 1 \right])$$한편 $$ C $$는 $$ \left[0, 1 \right] $$의 부분집합이므로 $$ \text{card}(C) \leq \text{card}(\left[0, 1 \right])$$이고 슈뢰더-베른슈타인 정리에 의하여,
$$\displaystyle \text{card}(C) = \text{card}\left( \left[0, 1 \right] \right) = 2^{\aleph_{0}} $$
이다. 한편 $$ C_n $$에서 구간의 끝점들을 모은 집합을 $$ D_n $$이라 하자. 즉, $$ D_n $$은
$$ \displaystyle \begin{aligned} D_0 &= \left\{0, 1 \right\} \\ D_1 &= \left\{0, \frac{1}{3}, \frac{2}{3}, 1 \right\} \\ D_2 &= \left\{0, \frac{1}{9}, \frac{2}{9}, \frac{1}{3}, \frac{2}{3}, \frac{7}{9}, \frac{8}{9}, 1 \right\} \\ &\vdots\end{aligned} $$
과 같은 식으로 정의된다. 이때 $$\displaystyle D = \bigcup_{n=0}^{\infty} D_n $$라 하면 $$ D\subset C $$이다. 즉, $$ D $$는 $$ \left( C_n \right)$$에서 구간의 끝점들을 전부 모은 집합이며, 이 점들은 모두 $$ C $$에 속한다. 그런데 각각의 $$ D_n $$은 유한집합이므로 $$ D_n $$들을 가산개 만큼 합집합한 $$ D $$는 가산집합이다. 따라서 다음이 성립한다.$$\displaystyle \aleph_{0} = \text{card}(D) < \text{card}\left( C\setminus D \right) = 2^{\aleph_{0}}. $$
3.3. 길이
칸토어 집합을 만드는 각 단계에서 빠지는 구간의 길이는 $$ \frac{1}{3} $$, $$ \frac{2}{9} $$, $$ \frac{4}{27} $$, ...이다. 이렇게 빠지는 구간의 길이를 모두 합하면,
$$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \left(\frac{2}{3}\right)^{n-1}\frac{1}{3} = \frac{1}{3}\left(\frac{1}{1-\frac{2}{3}}\right)=1 $$ 이 된다.
따라서 칸토어 집합의 길이는 $$ 1 - 1 = 0$$으로 0이 된다. 즉, 칸토어 집합은 원소의 개수가 구간 $$[0, 1]$$ 혹은 실수전체와 같으면서도 길이가 0인 집합이다. 이와 같은 반직관적인 성질 때문에 반례로 자주 쓰인다.
한편, 칸토어 집합을 만드는 각 단계에서 각 구간의 1/3을 덜어내지 않고 점차 더 작은 길이를 덜어내도록 하면 칸토어 집합의 특이한 성질을 가지면서도 측도가 양수인 집합도 얼마든지 만들어낼 수 있다. 이를 뚱뚱한 칸토어 집합(fat Cantor set) 또는 스미스-볼테라-칸토어 집합(Smith-Volterra-Cantor set)이라고 하며 또다른 종류의 반례로 쓰인다.[3]
3.4. 칸토어 함수
칸토어 함수(Cantor function, 혹은 devil's staircase) $$c: [0, 1]\to [0, 1]$$는 칸토어 집합을 이용해 정의되는 함수로, 다음과 같은 반직관적인 성질을 갖는다.
- $$c(0) = 0, c(1) = 1.$$
- 칸토어 집합의 여집합에서 기울기가 0이다. 즉, 거의 모든 점에서(almost everywhere) 기울기가 0이다.
- 모든 점에서 연속이다. (다만 절대연속은 아니다.)
3.5. 위상학
칸토어 집합은 완전 집합이면서, 제1범주 집합인데, 이런 집합을 Cantor discontiuum이라고 한다.
[1] $$ C_n $$에 속하는 원소에 '1'이 나타나지 않도록 만들기 위한 규칙이다.[2] 칸토어 집합을 3진법으로 표현했을 때 나타나는 모든 2를 1로 바꾸는 함수라고 생각하면 이해가 편할 것이다.[3] 뚱뚱한 칸토어 집합의 여집합($$[0,1]$$ 위에서만 생각할 때) 위에 $$y=x^{2}\sin\dfrac{1}{x}$$를 적당히 복사-붙여넣기하면 리만적분 불가능한 유계 도함수를 갖는 특이한 미분가능한 함수를 얻을 수 있다.