부분적분/예제
1. 예제 1
| '''[문제]''' - $$\ln{x}$$의 부정적분을 구하시오. |
[풀이 보기] - -
주어진 피적분함수를 $$f(x)$$로 놓고, 다음과 같이 설정하자.[2]이 방법은 역삼각함수, 특수함수에도 똑같이 써먹을 수 있다.
따라서$$\displaystyle f(x)=\ln{x} \qquad \qquad g'(x)=1 $$
이상에서 부분적분 공식에 대입하면,$$\displaystyle f'(x)=\frac{1}{x} \qquad \qquad g(x)=x $$
이때, $$\mathsf{const.}$$는 적분 상수이다.$$\displaystyle \begin{aligned} \int \ln{x}\,\mathrm{d}x &= x\ln{x}-\int \frac{1}{x} \cdot x\,\mathrm{d}x \\ &=x\ln{x}-x+\mathsf{const.} \end{aligned} $$
2. 예제 2
| '''[문제]''' - $$e^{x}\cos{x}$$의 부정적분을 구하시오. |
[풀이 보기] - -
위에서 다뤘던 LIATE 법칙을 참고하면, 미분된 함수를 삼각함수로 놓는 것이 낫다는 것을 얻는다. 다음과 같이 설정하자.
따라서$$\displaystyle f(x)=e^{x} \qquad \qquad g'(x)=\cos{x} $$
이상에서 부분적분 공식에 대입하면,$$\displaystyle f'(x)=e^{x} \qquad \qquad g(x)=\sin{x} $$
우리는 우변의 제 2항에 대해 다시 부분적분해야 한다. 함수의 꼴은 같으므로 위와 같은 방법으로 부분적분 하면,$$\displaystyle \begin{aligned} \int e^{x}\cos{x}\,\mathrm{d}x = e^{x}\sin{x}-\int e^{x}\sin{x} \,\mathrm{d}x \end{aligned} $$
이상에서$$\displaystyle \int e^{x}\sin{x} \,\mathrm{d}x=-e^{x}\cos{x}+\int e^{x}\cos{x}\,\mathrm{d}x $$
이고, 이것을 다시 쓰면,$$\displaystyle \begin{aligned} \int e^{x}\cos{x}\,\mathrm{d}x = e^{x}\sin{x}+e^{x}\cos{x}-\int e^{x}\cos{x}\,\mathrm{d}x\end{aligned} $$
이므로 우리는 부정적분으로 다음을 얻는다:$$\displaystyle \begin{aligned} 2\int e^{x}\cos{x}\,\mathrm{d}x = e^{x}(\sin{x}+\cos{x})\end{aligned} $$
$$\mathsf{const.}$$는 적분 상수이다.$$\displaystyle \begin{aligned} \int e^{x}\cos{x}\,\mathrm{d}x =\frac{1}{2} e^{x}(\sin{x}+\cos{x})+ \mathsf{const.} \end{aligned} $$
'''[별해]'''
세로셈 방법을 사용한다.
이상에서$$\displaystyle \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}$$ $$\displaystyle \int \,\mathrm{d}x$$ $$+$$ $$\cos{x}$$ $$e^{x}$$ $$\displaystyle \int e^{x} \cos{x} \,\mathrm{d}x=$$ $$-$$ $$-\sin{x}$$ $$e^{x}$$ $$\displaystyle +e^{x}\cos{x}$$ $$+$$ $$-\cos{x}$$ $$e^{x}$$ $$\displaystyle +e^{x}\sin{x}$$ $$\rightarrow$$ $$\displaystyle -\int e^{x} \cos{x} \,\mathrm{d}x$$
양변을 이항하고, 정리하면, 다음을 얻는다:$$\displaystyle \int e^{x} \cos{x} \,\mathrm{d}x=e^{x}(\sin{x}+\cos{x})-\int e^{x} \cos{x} \,\mathrm{d}x $$ $$\displaystyle \begin{aligned} \int e^{x}\cos{x}\,\mathrm{d}x =\frac{1}{2} e^{x}(\sin{x}+\cos{x})+\mathsf{const.} \end{aligned} $$
3. 예제 3
| '''[문제]''' - $$\ln x \sin{x}$$의 부정적분을 구하시오.[1] '''특수함수가 등장하는 적분'''이다. |
[풀이 보기] - -
LIATE 법칙을 참고하면, 미분된 함수를 삼각함수로 놓는 것이 낫다는 것을 얻는다. 다음과 같이 설정하자.
따라서$$\displaystyle f(x)=\ln x \qquad \qquad g'(x)=\sin{x} $$
이상에서 부분적분 공식에 대입하면,$$\displaystyle f'(x)=\frac{1}{x} \qquad \qquad g(x)=-\cos{x} $$
그런데 $$\displaystyle \int \frac{\cos{x}}{x} \,\mathrm{d}x$$는 [math(\mathrm{Ci}(x))]로 쓸 수 있으므로$$\displaystyle \begin{aligned} \int \ln{x}\sin{x}\,\mathrm{d}x = -\ln{x}\cos{x} + \int \frac{\cos{x}}{x} \,\mathrm{d}x \end{aligned} $$
$$\mathsf{const.}$$는 적분 상수이다.$$\displaystyle \begin{aligned} \int \ln{x}\sin{x}\,\mathrm{d}x = \mathrm{Ci}(x) -\ln{x}\cos{x} + \mathsf{const.} \end{aligned} $$
4. 예제 4
| '''[문제]''' - $$\displaystyle \int \lfloor x\rfloor \,\frac{\mathrm{d}}{x^2}$$를 구하시오. |
[풀이 보기] - -
$$\lfloor x\rfloor$$는 불연속이므로 미분계수 쪽으로 옮기는 것이 좋으므로, 스틸체스 적분의 부분적분식에 대입하여
의 꼴로 만들자. 이때,$$\displaystyle \int \lfloor x\rfloor \,\frac{\mathrm{d}}{x^2} = \frac{\lfloor x\rfloor}{x^2} - \int \frac{1}{x^2}\,\mathrm{d}\lfloor x\rfloor$$
가 성립하므로$$\displaystyle \begin{aligned} \int \frac{1}{x^2}\,\mathrm{d}\lfloor x\rfloor &= \sum \frac{1}{x^2} \\&= \zeta(2) \\&= \frac{\pi^2}{6} \end{aligned}$$
$$\mathsf{const.}$$는 적분 상수이고, $$\zeta$$는 제타 함수이다.$$\displaystyle \int \lfloor x\rfloor \,\frac{\mathrm{d}}{x^2}= \frac{\lfloor x\rfloor}{x^2} - \frac{\pi^2}{6}+ \mathsf{const.}$$
[1] '''특수함수가 등장하는 적분'''이다.