제타 함수

복소평면에 나타낸 제타 함수의 그래프

1. 개요

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특수함수의 하나로, $$\zeta(x)$$로 표기한다. 일반적인 제타 함수는 다음과 같이 정의된다.

$$\displaystyle \zeta(x) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^x} = \int_{1}^{\infty} \frac{1}{n^x} \,\mathrm{d} \lfloor n \rfloor $$[1]

[1] $$\lfloor n \rfloor$$는 바닥함수이다. 이러한 꼴의 적분을 스틸체스 적분이라고 한다.

형태에서 보듯 기본적인 반비례 관계를 멱급수로 변형한 것이다. 이렇다보니 수학자마다 자기 나름대로 마개조를 해서 만든 엄청난 양의 바리에이션이 있다. 정의역을 복소수로 확장한 리만 제타 함수(리만 가설에서 나오는 그 리만 제타 함수다!)도 그 중 하나.
한편, 합이 아닌 곱의 꼴로도 정의가 가능한데 레온하르트 오일러가 유도했다. 이를 '오일러 곱'이라고 한다.

$$\displaystyle \zeta(x) = \prod_{p\,\in\,\mathbb{P}}^{\infty} \frac{1}{1 - p^{-x}} $$ (단, $$\mathbb{P}$$는 소수 집합)

특히 이 식은 겉보기에는 전혀 소수와 관련이 없어 보이는 제타 함수가 실제로는 소수와 밀접한 관계가 있음을 보여주는 식으로, 베른하르트 리만의 리만 가설 논문의 출발점이 되었다. 존 더비셔의 책 <리만 가설>에서는 '오일러의 황금 열쇠'라고 표현하기까지 했다. 이 식은 잘 알려진 에라토스테네스의 체로부터 직관적으로 이해될 수 있다. #
리만 제타 함수를 $$x=1$$을 중심으로 로랑 급수 전개를 하면 다음과 같다.

$$\displaystyle \zeta(x)=\frac1{x-1}+\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{n!}\gamma_n(x-1)^n $$

여기서 $$\gamma_n$$은 스틸체스 상수이다.

2. 성질

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• 제타 함수는 다음과 같은 함수 방정식을 만족시킨다.

여기서 $$\Gamma(x)$$는 감마 함수이다.

• 감마 함수와 제타 함수를 곱하면 다음과 같은 식도 얻을 수 있다.

• 제타 함수의 무한급수꼴 정의와 비슷하게 생긴 다음 급수들은 제타 함수로 나타낼 수 있다.
  • $$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}}{n^x}=\frac1{1^x}-\frac1{2^x}+\frac1{3^x}-\frac1{4^x}+\cdots=(1-2^{1-x})\zeta(x) $$

[증명] --- [math(\displaystyle \begin{aligned} \sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^n}{n^s}+\zeta(s)&=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^n}{n^s}+\sum_{n=1}^{\infty}\frac1{n^s} \\ &=2\sum_{n=2,4,\cdots}^{\infty}\frac1{n^s}\qquad\quad\mathrm{Let}: n=2k \\ &=2\sum_{k=1}^{\infty}\frac1{(2k)^s} \\ &=2^{1-s}\sum_{k=1}^{\infty}\frac1{k^s} \\ &=2^{1-s}\zeta(s) \\ \Rightarrow\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^n}{n^s}&=2^{1-s}\zeta(s)-\zeta(s)=(2^{1-s}-1)\zeta(s) \\ \therefore\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}}{n^s}&=(1-2^{1-s})\zeta(s) \end{aligned} )]

• $$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac1{(2n-1)^x}=\frac1{1^x}+\frac1{3^x}+\frac1{5^x}+\frac1{7^x}+\cdots=(1-2^{-x})\zeta(x) $$

[증명] --- [math(\displaystyle \begin{aligned} \zeta(x)&=\sum_{n=1}^{\infty}\frac1{n^x} \\ &=\left(\frac1{1^x}+\frac1{3^x}+\frac1{5^x}+\cdots\right)+\left(\frac1{2^x}+\frac1{4^x}+\frac1{6^x}+\cdots\right) \\ &=\sum_{n=1}^{\infty}\frac1{(2n-1)^x}+\sum_{n=1}^{\infty}\frac1{(2n)^x} \\ &=\sum_{n=1}^{\infty}\frac1{(2n-1)^x}+\frac1{2^x}\sum_{n=1}^{\infty}\frac1{n^x} \\ &=\sum_{n=1}^{\infty}\frac1{(2n-1)^x}+2^{-x}\zeta(x) \\ \Rightarrow\sum_{n=1}^{\infty}\frac1{(2n-1)^x}&=\zeta(x)-2^{-x}\zeta(x) \\ \therefore\sum_{n=1}^{\infty}\frac1{(2n-1)^x}&=(1-2^{-x})\zeta(x) \end{aligned} )]

3. 알려진 함숫값

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특정 정수를 넣으면 특수한 값을 띠는데 아래는 그 예이다.

• $$\zeta(1)$$은 정의되지 않는다. 조화급수(Harmonic series)가 무한대로 발산하기 때문. 정의역을 실수 전체로 확장했을 때 $$\displaystyle \lim_{\epsilon \to \pm 0} \zeta(1+\epsilon)=\pm \infty$$로 좌극한과 우극한을 나타낼 수 있다. $$x=1$$에서의 코시 주요값 $$\displaystyle \lim_{\epsilon \to 0} \frac{\zeta(1+\epsilon)+\zeta(1-\epsilon)}{2}=\gamma$$이다.[2]
• $$\displaystyle \zeta(2) = \frac{\pi^2}{6} \approx 1.645$$

이 값을 구하는 과정은 따로 바젤 문제라는 이름이 붙어 있다. 이 값의 역수는 임의의 두 자연수가 서로소일 확률을 나타낸다.

• $$\displaystyle \zeta(3) = -\frac{4}{3}\mathrm{Li}_{3}(-1)\approx 1.202$$[3]

$$\zeta(3)$$을 '아페리 상수'라고도 부른다. 자세한 내용은 아래에 후술.

• $$\displaystyle \zeta(4) = \frac{\pi^4}{90}\approx 1.082$$

열역학의 슈테판-볼츠만 법칙 유도 과정 등에서 나타난다.

위 네 식만 봐도 짝수에서는 원주율의 거듭제곱으로 깔끔하게 맞아떨어짐에 비해[4] 홀수에서는 정확한 값으로 맞아떨어지지 않음을 알 수 있다. 실제로도 짝수에 대해서는 다음 식과 같이 $$\pi$$의 거듭제곱에 대한 식으로 깔끔하게 표현할 수 있다. 여기서 $$B_{2n}$$은 베르누이 수열이다.

$$\displaystyle \zeta(2n)=\frac{(-1)^{n+1}B_{2n}(2\pi)^{2n}}{2(2n)!} $$

[2] $$\gamma$$은 오일러-마스케로니 상수이다.

[3] $$\mathrm{Li}_{3}$$는 폴리로그함수이다.

[4] 2, 4를 넣은 함숫값은 다름아닌 레온하르트 오일러가 계산해낸 값이다.

또한 무한대로의 극한값은 1이다.

$$\displaystyle \lim_{x \to \infty} \zeta(x) = 1$$

3.1. 아페리 상수

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Apéry's constant
상술한 $$\zeta(3)$$의 값으로, 1977년 학계에서 이렇다 할 족적을 남기지 못했던 61세의 그리스계 프랑스 수학자 로저 아페리는 $$\displaystyle \zeta(3)$$이 무리수[5]임을 증명하여 수학계를 충격에 빠트렸다. 60대 수학자가 역사상 최초로 제타함수의 홀수 함숫값의 무리수 판정을 성공, 그것도 200년 전부터 접근 가능했던 초등적인 방법으로 증명한 것이다. 수많은 수학자들이 증명을 의심하고 검토했지만 증명에 오류는 없었고, 아페리는 고령의 수학자가 획기적인 성과를 낸 몇 안되는 사례로 남은 동시에 자신의 이름을 영원히 남기게 되었다. 하지만 아페리의 방법을 5 이상의 홀수에 대해 확장하려는 시도는 번번이 좌절되어 $$\zeta(5)$$, $$\zeta(7)$$ 등에 대해서는 여전히 무리수인지조차 판정되지 않고 있다.
전자의 자기회전비율 계산 등 일부 물리학 문제에서 나타난다.

3.2. 0과 음의 정수는?

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한편 0, 음수 정수를 넣을 경우 황당한 결과가 나오는데 분명히 정의상 1만 계속 더하거나, 1과 1보다 큰 수를 합했는데 정작 결과값은 '''0이거나 절댓값이 1보다 작은 수'''가 튀어나오기 때문이다. 자세한 내용은 라마누잔합 문서 참조.

• $$\displaystyle \zeta(0) = -\frac{1}{2}$$
• $$\displaystyle \zeta(-1) = -\frac{1}{12}$$
• $$\displaystyle \zeta(-2) = 0$$
• $$\displaystyle \zeta(-3) = \frac{1}{120}$$
• $$\displaystyle \zeta(-4) = 0$$

4. 관련 문서

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• 리만 가설
• 라마누잔합
• 폴리로그함수
• 제곱수
• 바젤 문제

[5] 초월수 여부가 아니다. 아페리 상수가 초월수인지 아닌지는 아직 밝혀지지 않았다.