슈뢰딩거 방정식/사각 퍼텐셜 문제
1. 개요
rectangular potential problem
이 문서에서는 1차원 사각형 퍼텐셜 장벽 혹은 벽이 있을 때, 입자의 산란 혹은 속박과 관련된 것을 다루게 된다. 이 문제는 대표적으로 다음과 같은 네 가지 유형이 있고, 이 문서에서는 네 가지 모두 다뤄볼 것이다.
- 무한 퍼텐셜 우물(infinite potential well)
- 퍼텐셜 계단(step potential)
- 사각 퍼텐셜 장벽(rectangular potential barrier)
- 유한 퍼텐셜 우물(finite potential well)
2. 파동함수의 경계 조건
파동함수가 퍼텐셜 경계 $$x=c$$에서 가져야 할 경계 조건은 다음과 같다.
$$ \displaystyle \begin{aligned} \varphi_{1}(c)&=\varphi_{2}(c) \\ \left. \frac{\partial \varphi_{1}}{\partial x} \right|_{x=c}&=\left. \frac{\partial \varphi_{2}}{\partial x} \right|_{x=c} \end{aligned} $$
3. 무한 퍼텐셜 우물
어떤 입자가 특정 구간을 제외하고는 무한한 퍼텐셜이 존재하여, 해당 구간을 제외하고는 적은 확률로도 빠져나갈 수 없는 시스템을 '''무한 퍼텐셜 우물(infinite potential well)'''이라 한다. 다른 말로, '''상자 속 입자(particle in a box)''' 문제라고도 한다.
아래와 같이 두 강철판을 실로 연결하고, 구슬(입자)을 매단 뒤, 좌-우(1차원)로만 움직일 수 있게 만든 시스템[1]으로 쉽게 이해할 수 있다.
[image]
고전역학적으로는 입자는 강철 판 사이에서 연속적으로 존재할 수 있어 입자를 발견할 확률이 강철 판 사이 모든 영역에 대해 일정한 확률을 가지나, 아래의 문단을 보면, 입자가 극단적으로 작아지는 양자역학적으로는 더 많이 발견되는 위치가 있고, 또, 입자가 전혀 발견되지 않는 부분도 존재한다. 또한, 고전역학적으로는 입자는 연속적인 에너지를 가질 수 있으나, 양자역학적으로는 연속적이지 않은 값만을 가질 수 있다. 즉, 입자가 가질 수 있는 에너지가 양자화되어 있다.
물론 위에선 입자가 1차원에서만 움직일 수 있는 상황만 예상해보았지만, 2차원, 3차원으로 확장하여 생각해볼 수도 있다.
여담으로, 해당 문제는 양자역학적으로 쉽게 풀리는 케이스에 속하기 때문에 대부분의 양자역학 교재에선 자유입자를 다루고, 해당 무한 퍼텐셜 우물 문제를 다룬 뒤 더 복잡한 상황으로 넘어가게 되어 있다.
난이도상 1차원을 주력으로 분석할 것이고, 차원이 높은 2차원, 3차원은 간단히 고유 함수와 확률 밀도만 제시하였다.
3.1. 분석
3.1.1. 1차원
아래의 그림과 같이 1차원 무한 퍼텐셜 상자 속 $$ 0<x<L $$의 퍼텐셜이 $$ 0 $$인 곳에서 입자가 갇힌 시스템을 생각하자.
[image]
이때, 퍼텐셜의 분포를 수식으로 나타내면 다음과 같다.
$$\displaystyle V(x)=\left\{ \begin{array}{l}0 & \quad \left(0<x<L \right) \\ \infty & \quad (\mathrm{otherwise}) \end{array}\right. $$
[1] 강철판에 충돌 시 발생하는 운동에너지의 손실은 없다고 가정한다. 즉, 입자가 탄성 충돌하는 경우만 다룬다.
3.1.1.1. 고유함수
시간에 무관한 슈뢰딩거 방정식(Time-independent Schrödinger Eq.)[2]을 사용하면,
$$\displaystyle -\frac{\hbar^{2}}{2m}\frac{\partial^2 \varphi }{\partial x^2}+V \varphi=E \varphi $$
$$\displaystyle \displaystyle E_{n}=\frac{n^{2}\pi^{2}\hbar^{2}}{2mL^{2}} \quad (n=1,\,2,\,3,\,\cdots ) $$
$$\displaystyle \varphi_{n}(x)=\sqrt{\frac{2}{L}}\sin{\left ( \frac{n\pi x}{L} \right )} $$
$$\displaystyle \begin{aligned} \left | \varphi_{n}(x) \right |^{2}&=\varphi_{n}^{\ast }(x)\varphi_{n}(x) \\ &=\frac{2}{L}\sin^{2}{\left ( \frac{n \pi x}{L} \right )} \end{aligned} $$
[image]
최종적으로 $$ 1 $$차원 상자에 갇힌 입자에 대해 특징은 아래와 같다.
- 바닥상태에서 입자는 에너지가 $$ 0 $$이 아니다.
- 입자는 불연속적인 에너지만을 가질 수 있다. (에너지의 양자화)
- 확률밀도함수를 참조해보면, 전혀 발견되지 않거나, 가장 많이 발견되는 지점이 있다.[3]
3.1.1.2. 기댓값
위치 $$x$$와 운동량 $$p$$의 기댓값을 구해 보자.
'''(ⅰ) 위치에 대한 기댓값'''
위치에 대한 기댓값은
$$\displaystyle \begin{aligned} \langle x \rangle&=\int_{0}^{L} \varphi^{\ast}\hat{x}\varphi\,dx \\&=\frac{2}{L}\int_{0}^{L} x\sin^{2}{\left( \frac{n \pi x}{L} \right)}\,dx \\ &=\frac{L}{2} \end{aligned} $$
[3] 특히 $$ n=2 $$일 때 상자의 중간지점($$ x=L/2 $$)에선 입자는 전혀 발견되지 않는다.
$$\displaystyle \begin{aligned} \langle x^{2} \rangle&=\int_{0}^{L} \varphi^{\ast}\hat{x}^{2}\varphi\,dx \\&=\frac{2}{L}\int_{0}^{L} x^{2}\sin^{2}{\left( \frac{n \pi x}{L} \right)}\,dx \\ &=L^{2} \left( \frac{1}{3}-\frac{1}{2n^{2} \pi^{2}} \right) \end{aligned} $$
운동량에 대한 기댓값은
$$\displaystyle \begin{aligned} \langle p \rangle&=\int_{0}^{L} \varphi^{\ast}\hat{p}\varphi\,dx \\&=\frac{ 2}{L}\int_{0}^{L} \sin{\left( \frac{n \pi x}{L} \right)}\cdot -i \hbar \frac{\partial }{\partial x} \left[ \sin{\left( \frac{n \pi x}{L} \right)} \right]\,dx \\ &=0 \end{aligned} $$
으로 나온다. 즉, $$+x$$ 방향으로 움직이는 경우와 $$-x$$ 방향으로 움직이는 경우 둘 다 존재하므로 평균적인 운동량 측정값은 0이 된다. 운동량 제곱의 기댓값은
$$\displaystyle \begin{aligned} \langle p^{2} \rangle&=\int_{0}^{L} \varphi^{\ast}\hat{p}^{2}\varphi\,dx \\&=\frac{ 2}{L}\int_{0}^{L} \sin{\left( \frac{n \pi x}{L} \right)}\cdot - \hbar^{2} \frac{\partial^{2} }{\partial x^{2}} \left[ \sin{\left( \frac{n \pi x}{L} \right)} \right]\,dx \\ &=\left( \frac{n \pi \hbar}{L} \right)^{2} \end{aligned} $$
3.1.1.3. 불확정성 원리 검증
위 문단에서 구해놓은 기댓값들을 이용하면, 위치의 불확정성 $$\Delta x$$와 운동량의 불확정성 $$\Delta p$$를 구할 수 있다.
$$\begin{aligned}\displaystyle \Delta x &:= \sqrt{\langle x^2 \rangle-\langle x \rangle^{2}}=\frac{L}{2}\sqrt{ \frac{1}{3}-\frac{2}{n^{2}\pi^{2} } } \\ \Delta p &:= \sqrt{\langle p^2 \rangle-\langle p \rangle^{2}}=\frac{n \pi \hbar}{L}\\\\\therefore\displaystyle \Delta x \Delta p &=\frac{\hbar}{2}\sqrt{\frac{n^{2}\pi^{2}}{3}-2} \geq \frac{\hbar}{2} \end{aligned} $$
3.1.1.4. 대응 원리
양자수 $$ n $$이 매우 커지면, 확률밀도함수는 아래와 같이 변하게 된다.
[image]
그런데, 고전역학적으로는 속력 $$ v_{0} $$로 상자 내부에서 움직이는 입자가 발견될 확률 $$P_{\text{CM}}$$은
$$\displaystyle P_{\text{CM}}(x)=\frac{2}{(2L/v_{0})v_{0}}=\frac{1}{L} $$
$$\displaystyle P_{\text{QM}}(x)=\left| \varphi \right |^{2}=\frac{2}{L}\sin^{2}{\left(\frac{n \pi x}{L} \right)} $$
$$\displaystyle P_{\text{QM}}(x)= \frac{1}{L}\left [1-\cos{\left(\frac{2 \pi nx}{L}\right)} \right ] $$
[5] 반각의 공식을 이용하여 적분하기 쉽게 만들었다.
$$\displaystyle \displaystyle \frac{b-a}{L} $$[6]
[6] $$ P_{\text{QM}} $$와 $$ P_{\text{CM}} $$의 차이는 $$ (\cos{\left(2 \pi nx / L\right)})/L $$이다. 적분 구간의 길이는 $$ b-a $$인데, 코사인 함수는 한 주기(여기서는 $$ L/n $$)만큼 적분하면 0이므로 반복되는 구간을 전부 제거하면, 적분 구간의 길이를 $$ L/n $$보다 짧게 줄일 수 있다. 코사인 함수는 1 이하의 값만 가지므로, 적분 값은 $$ 1/n $$ 이하가 된다.
따라서 양자역학적으로 옳은 결론을 얻었는지 확인하려면, '''양자수를 극한으로 증가시켜 그것이 고전역학적 결과와 맞는지''' 확인을 하면 된다.
여담으로, 상자의 중점이 원점이 되게 잡았을 때[7], 파동함수의 모양은 그대로 나오게 된다. 왜냐하면, 상자만을 옮겼을 뿐인데 물리적 현상이 다르게 기술될 수는 없기 때문이다(대칭성).
그러나, 파동함수의 모양만 같을 뿐, 기준이 되는 원점이 옮겨졌기 때문에 파동함수의 표현은 달라져서 더이상 sine 항만 나오지 않고, cosine 항도 나오게 된다.
이것을 확장해보면, 상자의 길이나 위치를 변형하여도 대칭성에 의해 기술되는 물리 현상이 같아져야 하므로 파동함수는 같은 모양이 나와야 하며, 단지 기술되는 함수만 달라진다.
3.1.1.5. 고유함수의 직교성
위 문단에서 "무한 퍼텐셜 우물" 문제의 고유함수는 아래와 같음을 구하였다.
$$\displaystyle \varphi_{n}(x)=\sqrt{\frac{2}{L}}\sin{ \left( \frac{n \pi x}{L} \right) } $$
[7] 즉, 입자가 $$ -L/2<x<L/2 $$ 사이에서만 존재.
$$\displaystyle \langle \varphi_{n} | \varphi_{m} \rangle := \int_{-\infty}^{\infty} \varphi_{n}^{\ast} \varphi_{m} \,dx $$
$$\displaystyle \langle \varphi_{n} | \varphi_{m} \rangle =\frac{2}{L} \int_{0}^{L} \sin{ \left( \frac{n \pi x}{L} \right)}\sin{ \left( \frac{m \pi x}{L} \right)} \,dx $$
$$\displaystyle \langle \varphi_{n} | \varphi_{m} \rangle =\frac{2}{\pi} \int_{0}^{\pi} \sin{ (nt)}\sin{ (mt)} \,dt $$
$$\displaystyle \langle \varphi_{n} | \varphi_{m} \rangle =\delta_{nm} $$
3.1.1.6. 고유함수의 시간 전개
위 문단에서 시간에 의존치 않는 무한 퍼텐셜 우물 문제의 고유함수를 구했다. 이제 $$t=0$$에서 계의 고유 함수가
으로 주어졌을 때, 임의의 시간 $$t$$에서의 파동함수 $$\varphi_{n}(x,\,t)$$를 구한다. 시간에 의존하는 슈뢰딩거 방정식에서 출발한다.
$$\displaystyle i \hbar \frac{\partial \varphi_{n}(x,\,t)}{\partial t}=\hat{\mathcal{H}} \varphi_{n}(x,\,t) $$
$$\displaystyle X(x)=\varphi_{n}(x) $$
$$\displaystyle \frac{dT(t)}{d t}=-i\frac{E_{n}}{\hbar}T(t) $$
$$\displaystyle T(t) \propto \exp{\left( -i\frac{E_{n}}{\hbar}t \right)} $$
$$\displaystyle \varphi_{n}(x,\,t) \propto \sin{\left( \frac{n \pi x}{L} \right)}\exp{\left( -i\frac{E_{n}}{\hbar}t \right)} \qquad \left[ E_{n}=\frac{n^{2} \pi^{2} \hbar^{2}}{2mL^{2}} \right] $$
$$\displaystyle \varphi_{n}(x,\,t) =\sqrt{\frac{2}{L}} \sin{\left( \frac{n \pi x}{L} \right)}\exp{\left( -i\frac{E_{n}}{\hbar}t \right)} $$
[9] $$T^{\ast}(t)T(t)=1$$
$$\displaystyle |\varphi_{n}(x,\,t)|^{2} =\frac{2}{L} \sin^{2}{\left( \frac{n \pi x}{L} \right)} $$
3.1.2. 2차원
이번엔 퍼텐셜 분포가 아래와 같이 주어지는 경우를 보자.
$$ \displaystyle V(x,\,y)=\left\{ \begin{array}{l}0& \quad \left(0<x<L_{x},\,\,0<y<L_{y} \right) \\\infty & \quad (\mathrm{otherwise}) \end{array}\right. $$
$$\displaystyle -\frac{\hbar^{2}}{2m}\nabla^{2}\varphi+V \varphi=E \varphi $$
$$\displaystyle \begin{aligned} \varphi_{n_{x}n_{y}}(x,\,y)&=\sqrt{\frac{4}{L_{x}L_{y} } }\sin{\left ( \frac{n_{x}\pi x}{L_{x}} \right )}\sin{\left ( \frac{n_{y}\pi y}{L_{y}} \right )} \\ E_{n_{x}n_{y}}&=\frac{\hbar^{2} \pi^{2}}{2m}\left [ \left ( \frac{n_{x}}{L_{x}} \right )^{2}+ \left ( \frac{n_{y}}{L_{y}} \right )^{2} \right] \end{aligned} $$
[image]
아래의 범례에서 $$ - $$로 갈수록 입자의 발견 확률이 0에 수렴하고, $$ + $$로 갈수록 입자가 발견될 확률의 최대치에 이른다.
2차원에서도 입자가 발견될 확률은 위치에 따라 다르고, 에너지 또한 불연속적인 값만 갖는다.
3.1.2.1. 원형 무한 퍼텐셜 우물에 갇힌 입자
[image]
위 그림은 해당 문제에서 $$(n,\,m)=(1,\,2)$$일 때 반지름이 $$R$$인 원형 무한 퍼텐셜 우물에 갇힌 입자의 발견 확률 밀도를 나타낸 것이다.
3.1.3. 3차원
이번엔 퍼텐셜 분포가 아래와 같이 주어지는 경우를 보자.
$$ \displaystyle V(x,\,y,\,z)=\left\{ \begin{array}{l}0 & \quad \left(0<x<L_{x},\,\,0<y<L_{y},\,\,0<z<L_{z} \right) \\ \infty & \quad (\mathrm{otherwise}) \end{array}\right. $$
$$ \displaystyle -\frac{\hbar^{2}}{2m}\nabla^{2}\varphi+V \varphi=E \varphi $$
$$ \displaystyle \begin{aligned} \varphi_{n_{x}n_{y}n_{y}}(x,\,y,\,z)&=\sqrt{\frac{8}{L_{x}L_{y}L_{z} } }\,\sin{\left ( \frac{n_{x}\pi x}{L_{x}} \right )}\sin{\left ( \frac{n_{y}\pi y}{L_{y}} \right )}\sin{\left ( \frac{n_{z}\pi z}{L_{z}} \right )} \\ E_{n_{x}n_{y}n_{z}}&=\frac{\hbar^{2} \pi^{2}}{2m}\left [ \left ( \frac{n_{x}}{L_{x}} \right )^{2}+ \left ( \frac{n_{y}}{L_{y}} \right )^{2}+\left ( \frac{n_{z}}{L_{z}} \right )^{2} \right] \end{aligned} $$
4. 퍼텐셜 계단
[image]
이 문제에서의 퍼텐셜 분포는 다음과 같다.
$$ \displaystyle V(x)=\left\{ \begin{array}{l} \displaystyle 0 &\quad (x<0)\\ \displaystyle V &\quad (x>0)\end{array}\right. $$
4.1. 입자의 에너지가 퍼텐셜보다 큰 경우
우선 $$E>V$$를 만족시키는 경우를 보자. $$x<0$$ 영역을 '''영역 Ⅰ''', $$x>0$$ 영역을 '''영역 Ⅱ'''라 하자. 각 영역에서의 슈뢰딩거 방정식은 다음과 같다.
$$ \displaystyle \begin{aligned} (\text{domain I}) & \quad -\frac{\hbar^{2}}{2m}\frac{\partial^{2} \varphi_{1}}{\partial x^{2}}=E \varphi_{1} \\ (\text{domain II}) & \quad -\frac{\hbar^{2}}{2m}\frac{\partial^{2} \varphi_{2}}{\partial x^{2}}+V\varphi_{2}=E \varphi_{2} \end{aligned} $$
$$ \displaystyle k_{1}^{2} := \frac{2mE}{\hbar^{2}} \qquad \qquad k_{2}^{2} := \frac{2m(E-V)}{\hbar^{2}} $$
$$ \displaystyle \begin{aligned} (\text{domain I}) & \quad \frac{\partial^{2} \varphi_{1}}{\partial x^{2}}=-k_{1}^{2} \varphi_{1} \\ (\text{domain II}) & \quad \frac{\partial^{2} \varphi_{2}}{\partial x^{2}}=-k_{2}^{2} \varphi_{2} \end{aligned} $$
$$ \displaystyle \begin{aligned} \varphi_{1}&=Ae^{ik_{1}x}+Be^{-ik_{1}x} \\ \varphi_{2}&=Ce^{ik_{2}x}+De^{-ik_{2}x} \end{aligned} $$
- $$Ae^{ik_{1}x}$$: 영역Ⅰ에서 경계면에 입사하는 파
- $$Be^{-ik_{1}x}$$: 영역Ⅰ에서 경계면에 의해 반사되는 파
- $$Ce^{ik_{2}x}$$: 영역Ⅱ에서 $$x \rightarrow \infty$$을 향하는 파
- $$De^{-ik_{2}x}$$: 영역Ⅱ에서 $$x = \infty$$로 부터 반사되어 오는 파
$$ \displaystyle \begin{aligned} \varphi_{1}&=Ae^{ik_{1}x}+Be^{-ik_{1}x} \\ \varphi_{2}&=Ce^{ik_{2}x} \end{aligned} $$
$$ \displaystyle \varphi_{1}(0)=\varphi_{2}(0) \qquad \qquad \left. \frac{\partial \varphi_{1}}{\partial x} \right|_{x=0}=\left. \frac{\partial \varphi_{2}}{\partial x} \right|_{x=0} $$
$$ \displaystyle \begin{aligned} A+B&=C \\ ik_{1}A-ik_{1}B&=ik_{2}C \end{aligned} $$
$$ \displaystyle \begin{aligned} 1+\frac{B}{A}&=\frac{C}{A} \\ 1-\frac{B}{A}&=\frac{k_{2}}{k_{1}}\frac{C}{A} \end{aligned} $$
$$ \displaystyle \begin{aligned} \frac{B}{A}=\frac{k_{1}-k_{2}}{k_{1}+k_{2}} \qquad \qquad \frac{C}{A}=\frac{2k_{1}}{k_{1}+k_{2}} \end{aligned} $$
$$ \displaystyle J_{\text{inc}}= \frac{\hbar k_{1}}{m} \left|A \right|^{2} \qquad \qquad J_{\text{ref}}= -\frac{\hbar k_{1}}{m} \left|B \right|^{2} \qquad \qquad J_{\text{trans}}= \frac{\hbar k_{2}}{m} \left|C \right|^{2} $$
$$ \displaystyle R=\left| \frac{J_{\text{ref} } }{J_{\text{inc} } } \right|=\left| \frac{B}{A} \right|^{2} \qquad \qquad T=\left| \frac{J_{\text{trans} } }{J_{\text{inc} } } \right|= \frac{k_{2}}{k_{1}} \left| \frac{C}{A} \right|^{2} $$
$$ \displaystyle R=\left| \frac{k_{1}-k_{2}}{k_{1}+k_{2}} \right|^{2} \qquad \qquad T=\frac{k_{2}}{k_{1}} \left| \frac{2k_{1}}{k_{1}+k_{2}} \right|^{2} $$
$$ \displaystyle \frac{k_{2}}{k_{1}}=\sqrt{1-\frac{V}{E}} $$
$$ \displaystyle R=\left| \frac{1-\displaystyle \sqrt{1-\frac{V}{E} } }{1+\displaystyle \sqrt{1-\frac{V}{E} } } \right|^{2} \qquad \qquad T= \frac{4\displaystyle \sqrt{1-\frac{V}{E} } }{\left|1+\displaystyle \sqrt{1-\frac{V}{E}} \right|^{2}} $$
[image]
따라서 입자의 에너지가 퍼텐셜보다 매우 커지면, 확률은 모두 통과하며, 입자의 에너지가 0에 가게 되면, 확률은 통과하지 못한다. 즉, 입자의 에너지가 0이 되면 경계면을 가로지르는 입자는 없다.
4.2. 입자의 에너지가 퍼텐셜보다 작은 경우
다음으로, $$E<V$$를 만족시키는 경우를 보자. 위와 마찬가지로, $$x<0$$ 영역을 '''영역 Ⅰ''', $$x>0$$ 영역을 '''영역 Ⅱ'''라 하자. 각 영역에서의 슈뢰딩거 방정식은 다음과 같다.
$$ \displaystyle \begin{aligned} (\text{domain I}) & \quad -\frac{\hbar^{2}}{2m}\frac{\partial^{2} \varphi_{1}}{\partial x^{2}}=E \varphi_{1} \\ (\text{domain II}) & \quad -\frac{\hbar^{2}}{2m}\frac{\partial^{2} \varphi_{2}}{\partial x^{2}}+V\varphi_{2}=E \varphi_{2} \end{aligned} $$
$$ \displaystyle k_{1}^{2} := \frac{2mE}{\hbar^{2}} \qquad \qquad \kappa^{2} := \frac{2m(V-E)}{\hbar^{2}} $$
$$ \displaystyle \begin{aligned} (\text{domain I}) & \quad \frac{\partial^{2} \varphi_{1}}{\partial x^{2}}=-k_{1}^{2} \varphi_{1} \\ (\text{domain II}) & \quad \frac{\partial^{2} \varphi_{2}}{\partial x^{2}}=\kappa^{2} \varphi_{2} \end{aligned} $$
$$ \displaystyle \begin{aligned} \varphi_{1}&=Ae^{ik_{1}x}+Be^{-ik_{1}x} \\ \varphi_{2}&=Ce^{-\kappa x}+De^{\kappa x} \end{aligned} $$
$$ \displaystyle \begin{aligned} \varphi_{1}&=Ae^{ik_{1}x}+Be^{-ik_{1}x} \\ \varphi_{2}&=Ce^{\kappa x} \end{aligned} $$
$$ \displaystyle \varphi_{1}(0)=\varphi_{2}(0) \qquad \qquad \left. \frac{\partial \varphi_{1}}{\partial x} \right|_{x=0}=\left. \frac{\partial \varphi_{2}}{\partial x} \right|_{x=0} $$
$$ \displaystyle \begin{aligned} A+B&=C \\ ik_{1}A-ik_{1}B&=- \kappa C \end{aligned} $$
$$ \displaystyle \begin{aligned} 1+\frac{B}{A}&=\frac{C}{A} \\ 1-\frac{B}{A}&=\frac{i \kappa}{k_{1}}\frac{C}{A} \end{aligned} $$
$$ \displaystyle \begin{aligned} \frac{B}{A}=\frac{k_{1}-i \kappa}{k_{1}+i \kappa} \qquad \qquad \frac{C}{A}=\frac{2k_{1}}{k_{1}+i \kappa} \end{aligned} $$
$$ \displaystyle J_{\text{inc}}= \frac{\hbar k_{1}}{m} \left|A \right|^{2} \qquad \qquad J_{\text{ref}}= -\frac{\hbar k_{1}}{m} \left|B \right|^{2} \qquad \qquad J_{\text{trans}}= 0 $$
$$ \displaystyle R=\left| \frac{J_{\text{ref} } }{J_{\text{inc} } } \right|=\left| \frac{B}{A} \right|^{2} \qquad \qquad T=\left| \frac{J_{\text{trans} } }{J_{\text{inc} } } \right|= 0 $$
$$ \displaystyle R=1 \qquad \qquad T=0$$
5. 사각형 퍼텐셜 장벽
[image]
이 문제에서의 퍼텐셜 분포는 다음과 같다.
$$ \displaystyle V(x)=\left\{ \begin{array}{l} \displaystyle 0 &\quad (x>\left| a \right|)\\ \displaystyle V &\quad (x<\left| a \right|)\end{array}\right. $$
5.1. 입자의 에너지가 퍼텐셜보다 큰 경우
우선 $$E>V$$를 만족시키는 경우를 보자. $$x<-a$$ 영역을 '''영역 Ⅰ''', $$\left| x \right|<a$$ 영역을 '''영역 Ⅱ''', $$x>a$$인 영역을 '''영역 Ⅲ'''라 하자. 각 영역에서의 슈뢰딩거 방정식은 다음과 같다.
$$ \displaystyle \begin{aligned} (\text{domain I}) & \quad -\frac{\hbar^{2}}{2m}\frac{\partial^{2} \varphi_{1}}{\partial x^{2}}=E \varphi_{1} \\ (\text{domain II}) & \quad -\frac{\hbar^{2}}{2m}\frac{\partial^{2} \varphi_{2}}{\partial x^{2}}+V\varphi_{2}=E \varphi_{2} \\ (\text{domain III}) & \quad -\frac{\hbar^{2}}{2m}\frac{\partial^{2} \varphi_{3}}{\partial x^{2}}=E \varphi_{3} \end{aligned} $$
$$ \displaystyle k_{1}^{2} := \frac{2mE}{\hbar^{2}} \qquad \qquad k_{2}^{2} := \frac{2m(E-V)}{\hbar^{2}} $$
$$ \displaystyle \begin{aligned} (\text{domain I}) & \quad \frac{\partial^{2} \varphi_{1}}{\partial x^{2}}=-k_{1}^{2} \varphi_{1} \\ (\text{domain II}) & \quad \frac{\partial^{2} \varphi_{2}}{\partial x^{2}}=-k_{2}^{2} \varphi_{2} \\ (\text{domain III}) & \quad \frac{\partial^{3} \varphi_{3}}{\partial x^{3}}=-k_{1}^{2} \varphi_{3} \end{aligned} $$
$$ \displaystyle \begin{aligned} \varphi_{1}&=Ae^{ik_{1}x}+Be^{-ik_{1}x} \\ \varphi_{2}&=Ce^{ik_{2}x}+De^{-ik_{2}x} \\ \varphi_{3}&=Fe^{ik_{1}x}+Ge^{-ik_{1}x} \end{aligned} $$
- $$Ae^{ik_{1}x}$$: 영역Ⅰ에서 경계면에 입사하는 파
- $$Be^{-ik_{1}x}$$: 영역Ⅰ에서 경계면에 의해 반사되는 파
- $$Ce^{ik_{2}x}$$: 영역Ⅱ에서 $$+x$$방향을 향하는 파
- $$De^{-ik_{2}x}$$: 영역Ⅱ에서 $$x = a$$로 부터 반사되어 오는 파
- $$Fe^{ik_{1}x}$$: 영역Ⅲ에서 $$x \rightarrow \infty$$로 향하는 파
- $$Ge^{-ik_{1}x}$$: 영역Ⅲ에서 $$x = \infty$$로 부터 반사되어 오는 파
$$ \displaystyle \begin{aligned} \varphi_{1}&=Ae^{ik_{1}x}+Be^{-ik_{1}x} \\ \varphi_{2}&=Ce^{ik_{2}x}+De^{-ik_{2}x} \\ \varphi_{3}&=Fe^{ik_{1}x} \end{aligned} $$
$$ \displaystyle \begin{aligned} \varphi_{1}(-a)&=\varphi_{2}(-a) \\ \varphi_{2}(a)&=\varphi_{3}(a) \\ \left. \frac{\partial \varphi_{1}}{\partial x} \right|_{x=-a}&=\left. \frac{\partial \varphi_{2}}{\partial x} \right|_{x=-a} \\ \left. \frac{\partial \varphi_{2}}{\partial x} \right|_{x=a}&=\left. \frac{\partial \varphi_{3}}{\partial x} \right|_{x=a} \end{aligned} $$
[math( \displaystyle \left\{\begin{matrix}
\,\,\begin{aligned} Ae^{-ik_{1}a}+Be^{ik_{1}a}&=C^{-ik_{2}a}+De^{ik_{2}a} \\ Ce^{ik_{2}a}+De^{-ik_{2}a}&=Fe^{ik_{1}a} \\ ik_{1}Ae^{-ik_{1}a}- ik_{1}Be^{ik_{1}a}&= ik_{2}C^{-ik_{2}a}- ik_{2}De^{ik_{2}a} \\ ik_{2}Ce^{ik_{2}a}-ik_{2}De^{-ik_{2}a}&=ik_{1} Fe^{ik_{1}a} \end{aligned}
\end{matrix}\right. )]
$$ \displaystyle J_{\text{inc}}= \frac{\hbar k_{1}}{m} \left|A \right|^{2} \qquad \qquad J_{\text{ref}}= -\frac{\hbar k_{1}}{m} \left|B \right|^{2} \qquad \qquad J_{\text{trans}}= \frac{\hbar k_{1}}{m} \left|F \right|^{2} $$
$$ \displaystyle R=\left| \frac{J_{\text{ref} } }{J_{\text{inc} } } \right|=\left| \frac{B}{A} \right|^{2} \qquad \qquad T=\left| \frac{J_{\text{trans} } }{J_{\text{inc} } } \right|= \left| \frac{F}{A} \right|^{2} $$
[10] 계산이 매우 복잡하므로 생략한다. 이러한 복잡한 연립 방정식은 행렬로 푸는 게 낫다.
$$ \displaystyle R=1-T \qquad \qquad \frac{1}{T}=1+\frac{1}{4}\left[ \frac{k_{1}^{2}-k_{2}^{2}}{k_{1}k_{2}} \right]^{2}\sin^{2}{(2k_{2}a)} $$
$$ \displaystyle \frac{1}{T}=1+\frac{1}{4}\frac{V^{2}}{E(E-V)}\sin^{2}{(2k_{2}a)} \quad (E>V)$$
5.2. 입자의 에너지가 퍼텐셜보다 작은 경우
이제 $$E<V$$를 만족시키는 경우를 보자. 이 케이스는 터널링이 일어나는 현상이기 때문에 중요하다. 아까와 같이 $$x<-a$$ 영역을 '''영역 Ⅰ''', $$\left| x \right|<a$$ 영역을 '''영역 Ⅱ''', $$x>a$$인 영역을 '''영역 Ⅲ'''라 하자. 각 영역에서의 슈뢰딩거 방정식은 다음과 같다.
$$ \displaystyle \begin{aligned} (\text{domain I}) & \quad -\frac{\hbar^{2}}{2m}\frac{\partial^{2} \varphi_{1}}{\partial x^{2}}=E \varphi_{1} \\ (\text{domain II}) & \quad -\frac{\hbar^{2}}{2m}\frac{\partial^{2} \varphi_{2}}{\partial x^{2}}+V\varphi_{2}=E \varphi_{2} \\ (\text{domain III}) & \quad -\frac{\hbar^{2}}{2m}\frac{\partial^{2} \varphi_{3}}{\partial x^{2}}=E \varphi_{3} \end{aligned} $$
$$ \displaystyle k_{1}^{2} := \frac{2mE}{\hbar^{2}} \qquad \qquad \kappa^{2} := \frac{2m(V-E)}{\hbar^{2}} $$
$$ \displaystyle \begin{aligned} (\text{domain I}) & \quad \frac{\partial^{2} \varphi_{1}}{\partial x^{2}}=-k_{1}^{2} \varphi_{1} \\ (\text{domain II}) & \quad \frac{\partial^{2} \varphi_{2}}{\partial x^{2}}=\kappa^{2} \varphi_{2} \\ (\text{domain III}) & \quad \frac{\partial^{3} \varphi_{3}}{\partial x^{3}}=-k_{1}^{2} \varphi_{3} \end{aligned} $$
$$ \displaystyle \begin{aligned} \varphi_{1}&=Ae^{ik_{1}x}+Be^{-ik_{1}x} \\ \varphi_{2}&=Ce^{\kappa x}+De^{-\kappa x} \\ \varphi_{3}&=Fe^{ik_{1}x}+Ge^{-ik_{1}x} \end{aligned} $$
$$ \displaystyle \begin{aligned} \varphi_{1}&=Ae^{ik_{1}x}+Be^{-ik_{1}x} \\ \varphi_{2}&=Ce^{\kappa x}+De^{-\kappa x} \\ \varphi_{3}&=Fe^{ik_{1}x} \end{aligned} $$
$$ \displaystyle E-V \rightarrow V-E \qquad \qquad ik_{2} \rightarrow \kappa $$
$$ \displaystyle \begin{aligned} \frac{1}{T}&=1+\frac{1}{4}\left[ \frac{k_{1}^{2}+\kappa^{2}}{k_{1} \kappa} \right]^{2}\sinh^{2}{(2 \kappa a)} \\ &= 1+\frac{1}{4}\frac{V^{2}}{E(V-E)}\sinh^{2}{(2 \kappa a)} \quad (E<V)\end{aligned} $$
추후의 분석은 "분석" 문단에서 하기로 한다.
참고로, 아래는 그 유명한 이 케이스의 파동함수의 형태[11]를 나타낸 것이다. 그림에서 보다시피 sine 혹은 cosine 함수(영역Ⅰ, 영역Ⅲ)와 지수함수(영역Ⅱ)로 나타난다. 주목해야 할 것은 영역Ⅲ에서도 파동함수는 진동하는 형태로 존재하고, 이것은 곧 입자는 영역Ⅲ에서 존재할 수 있다는 뜻이다. 이를 터널링 현상이라 하며, 자세한 것은 "분석" 문단에서 다룬다.
[image]
5.3. 분석
이 케이스를 통해 투과 계수는 다음과 같음을 알았다.
$$ \displaystyle \frac{1}{T}=\left\{ \begin{array}{l} \displaystyle 1+\frac{1}{4}\frac{V^{2}}{E(E-V)}\sin^{2}{(2k_{2}a)} &\quad (E>V)\\ \displaystyle 1+\frac{1}{4}\frac{V^{2}}{E(V-E)}\sinh^{2}{(2 \kappa a)} &\quad (E<V)\end{array}\right. $$
[11] 실수부만 취하고, 조건은 임의대로 설정.
[image]
참고로, $$E/V \rightarrow 1$$일 때, 다음이 성립한다.
$$ \displaystyle T \simeq \frac{1}{1+g^{2}/4} \quad \left(g^{2} := \frac{2m(2a)^{2}V}{\hbar^{2}} \right) $$
[12] 조건은 임의대로 설정
$$ \displaystyle 2k_{2}a=n \pi $$
$$ \displaystyle n\left( \frac{\lambda}{2} \right)=2a $$
[13] 바로 다루지만, $$k$$는 파수라는 것에 유의해야 한다. 파수는 음수가 될 수 없다.
$$ \displaystyle 4k_{2}^{2}a^{2}=n^{2} \pi^{2} $$
$$ \displaystyle E-V= \frac{n^{2}\pi^{2}\hbar^{2}}{2m(2a)^{2}} $$
이제부터 $$E<V$$인 상황을 고려하자. 위 결과에 따르면, 이 케이스에서 투과 계수는 0이 아니었다. 이것은 고전역학적인 해석과 대치되는 해석으로 양자역학에 따른 결과이다. 이처럼, 입자의 에너지보다 퍼텐셜이 큰데도, 입자가 퍼텐셜 장벽을 투과할 수 있는 현상을 '''터널링 현상'''이라 한다. 터널링 현상을 잘 설명해주는 실험은 대표적으로 알파입자 붕괴 실험[14]이 있으며, 이러한 현상은 '''주사 터널링 현미경(Scanning Tunneling Microscope; STM)''' 등의 작동 원리로 활용한다.
또한, 앞서 정의한 $$k_{1}$$과 $$\kappa$$의 관계에 의해 다음이 성립한다.
$$ \displaystyle k_{1}^{2}+\kappa^{2}=\frac{2mV }{\hbar^{2}} $$
[14] 물론, 이 문서에서 다루는 1차원 장벽 모델로는 부족하며, 3차원 장벽 모델을 써야 다소 근접한 결과가 나온다.
$$ \displaystyle \xi^{2}+\eta^{2}=\frac{2ma^{2}V }{\hbar^{2}} := \rho^{2} $$
$$ \displaystyle E=\frac{\hbar^{2}k_{1}^{2} }{2m} $$
6. 유한 퍼텐셜 우물
[image]
이 문제에서의 퍼텐셜 분포는 다음과 같다.
$$ \displaystyle V(x)=\left\{ \begin{array}{l} \displaystyle 0 &\quad (x>\left| a \right|)\\ \displaystyle - \left| V \right| &\quad (x<\left| a \right|)\end{array}\right. $$
6.1. 비속박 상태
비속박 상태는 $$E>|V|$$를 만족시키는 경우이다. 위의 문제들과 같이 $$x<-a$$ 영역을 '''영역 Ⅰ''', $$\left| x \right|<a$$ 영역을 '''영역 Ⅱ''', $$x>a$$인 영역을 '''영역 Ⅲ'''라 하자. 각 영역에서의 슈뢰딩거 방정식은 다음과 같다.
$$ \displaystyle \begin{aligned} (\text{domain I}) & \quad -\frac{\hbar^{2}}{2m}\frac{\partial^{2} \varphi_{1}}{\partial x^{2}}=E \varphi_{1} \\ (\text{domain II}) & \quad -\frac{\hbar^{2}}{2m}\frac{\partial^{2} \varphi_{2}}{\partial x^{2}}- |V| \varphi_{2} =E \varphi_{2} \\ (\text{domain III}) & \quad -\frac{\hbar^{2}}{2m}\frac{\partial^{2} \varphi_{3}}{\partial x^{2}}=E \varphi_{3} \end{aligned} $$
$$ \displaystyle k_{1}^{2} := \frac{2mE}{\hbar^{2}} \qquad \qquad k_{2}^{2} := \frac{2m(E+ |V|)}{\hbar^{2}} $$
$$ \displaystyle \begin{aligned} (\text{domain I}) & \quad \frac{\partial^{2} \varphi_{1}}{\partial x^{2}}=-k_{1}^{2} \varphi_{1} \\ (\text{domain II}) & \quad \frac{\partial^{2} \varphi_{2}}{\partial x^{2}}=-k_{2}^{2} \varphi_{2} \\ (\text{domain III}) & \quad \frac{\partial^{3} \varphi_{3}}{\partial x^{3}}=-k_{1}^{2} \varphi_{3} \end{aligned} $$
$$ \displaystyle \begin{aligned} \frac{1}{T}&=1+\frac{1}{4}\left[ \frac{k_{1}^{2}-k_{2}^{2}}{k_{1}k_{2}} \right]^{2}\sin^{2}{(2k_{2}a)} \\&=1+\frac{1}{4}\frac{V^{2}}{E(E+|V|)}\sin^{2}{(2k_{2}a)} \end{aligned} $$
'''사각 퍼텐셜 장벽'''을 논의하면서 특정한 $$k_{2}$$에선 투과 계수가 1이 나올 수 있음을 보았다. 이 경우에도 마찬가지로,
$$ \displaystyle n\left( \frac{\lambda}{2} \right)=2a $$
6.2. 속박 상태
'''유한 퍼텐셜 우물'''의 속박 상태를 고려하자. 이 경우, 입자의 에너지 또한 음수이므로 $$-|E|$$로 쓸 것이다. 또한, 속박 상태에서 $$|E|<|V|$$가 성립하는 점도 주의해야 한다. 위의 문제들과 같이 $$x<-a$$ 영역을 '''영역 Ⅰ''', $$\left| x \right|<a$$ 영역을 '''영역 Ⅱ''', $$x>a$$ 영역을 '''영역 Ⅲ'''라 하자. 각 영역에서의 슈뢰딩거 방정식은 다음과 같다.
$$ \displaystyle \begin{aligned} (\text{domain I}) & \quad -\frac{\hbar^{2}}{2m}\frac{\partial^{2} \varphi_{1}}{\partial x^{2}}=-|E| \varphi_{1} \\ (\text{domain II}) & \quad -\frac{\hbar^{2}}{2m}\frac{\partial^{2} \varphi_{2}}{\partial x^{2}}- |V| \varphi_{2} =-|E| \varphi_{2} \\ (\text{domain III}) & \quad -\frac{\hbar^{2}}{2m}\frac{\partial^{2} \varphi_{3}}{\partial x^{2}}=-|E| \varphi_{3} \end{aligned} $$
$$ \displaystyle \kappa^{2} := \frac{2m|E|}{\hbar^{2}} \qquad \qquad k^{2} := \frac{2m(|V|-|E|)}{\hbar^{2}} $$
$$ \displaystyle \begin{aligned} (\text{domain I}) & \quad \frac{\partial^{2} \varphi_{1}}{\partial x^{2}}=\kappa^{2} \varphi_{1} \\ (\text{domain II}) & \quad \frac{\partial^{2} \varphi_{2}}{\partial x^{2}}=-k^{2} \varphi_{2} \\ (\text{domain III}) & \quad \frac{\partial^{3} \varphi_{3}}{\partial x^{3}}=\kappa^{2} \varphi_{3} \end{aligned} $$
$$ \displaystyle \begin{aligned} \varphi_{1}&=Ae^{\kappa x} \\ \varphi_{2}&=Be^{ikx}+Ce^{-ikx} \\ \varphi_{3}&=De^{-\kappa x} \end{aligned} $$
[math( \displaystyle \begin{aligned}
\varphi_{1}(-a)&=\varphi_{2}(-a) \\
\varphi_{2}(a)&=\varphi_{3}(a) \\
\left. \frac{\partial \varphi_{1}}{\partial x} \right|_{x=-a}&=\left. \frac{\partial \varphi_{2}}{\partial x} \right|_{x=-a} \\
\left. \frac{\partial \varphi_{2}}{\partial x} \right|_{x=a}&=\left. \frac{\partial \varphi_{3}}{\partial x} \right|_{x=a}
\end{aligned} )]
[math( \displaystyle \left\{\begin{matrix}\, \begin{aligned}
Ae^{- \kappa a}&=Be^{-ika}+Ce^{ika} \\
Be^{ika}+Ce^{-ika}&=De^{\kappa a} \\
\kappa Ae^{- \kappa a} &= ikBe^{-ika}-ikCe^{ika} \\
ikBe^{ika}-ikCe^{-ika} &= - \kappa De^{-\kappa a}
\end{aligned} \end{matrix}\right. )]
[math( \displaystyle \begin{bmatrix}
e^{-\kappa a} & -e^{-ika} & -e^{ika} & 0 \\
0 & e^{ika} & e^{-ika} & -e^{\kappa a} \\
\kappa e^{-\kappa a} & -ike^{-ika} & ike^{ika} & 0 \\
0 & ike^{ika} & -ike^{-ika} & \kappa e^{-\kappa a}
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
A \\ B \\ C \\ D
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
0 \\ 0 \\ 0 \\ 0
\end{bmatrix} )]
[math( \displaystyle \begin{vmatrix}
e^{-\kappa a} & -e^{-ika} & -e^{ika} & 0 \\
0 & e^{ika} & e^{-ika} & -e^{\kappa a} \\
\kappa e^{-\kappa a} & -ike^{-ika} & ike^{ika} & 0 \\
0 & ike^{ika} & -ike^{-ika} & \kappa e^{-\kappa a}
\end{vmatrix}
=0 )]
[math( \displaystyle e^{-2\kappa a}
\begin{vmatrix}
G & G^{\ast} \\
G^{\ast} & G \\
\end{vmatrix}
=0)]
$$ \displaystyle G^{2}-(G^{\ast})^2=0 \, \rightarrow \, G= \pm G^{\ast} $$
[math( \displaystyle \begin{aligned} G&=\sqrt{k^{2}+\kappa^{2}} e^{ika} e^{i \phi} \quad \biggl( \phi=\tan^{-1}{\left(\frac{k}{\kappa}\right)} \biggr) \\
G^{\ast}&=\sqrt{k^{2}+\kappa^{2}} e^{-ika} e^{-i \phi} \end{aligned})]
'''(ⅰ) 양의 조건'''
우선 양의 조건 $$G=G^{\ast}$$를 택하자. 즉,
$$ \displaystyle e^{i(ka + \phi)}= e^{-i(ka + \phi)}$$
$$ \displaystyle ka+\phi=0$$
$$ \displaystyle ka+\tan^{-1}{\left(\frac{k}{\kappa}\right)}=0 \, \rightarrow \, \frac{k}{\kappa}=-\tan{(ka)} $$
$$ \displaystyle \begin{aligned} k\cot{(ka)}&=-\kappa \\ \frac{G}{G^{\ast}}&=1 \end{aligned} $$
다음으로 음의 조건 $$G=-G^{\ast}$$를 택하자. 즉,
$$ e^{i(ka + \phi)}= -e^{-i(ka + \phi)}$$
$$ \displaystyle ka + \phi=\frac{\pi}{2} $$
$$ \displaystyle ka+\tan^{-1}{\left(\frac{k}{\kappa}\right)}=\frac{\pi}{2} \, \rightarrow \, \frac{k}{\kappa}=\tan{\left(\frac{\pi}{2}- ka \right)}=\cot{(ka)} $$
$$ \displaystyle \begin{aligned} k\tan{(ka)}&=\kappa \\ \qquad \qquad \frac{G}{G^{\ast}}&=-1 \end{aligned} $$
$$ \displaystyle \begin{bmatrix} \kappa e^{-\kappa a} & -\kappa e^{-ika} & -\kappa e^{ika} & 0 \\ 0 & G & G^{\ast} & 0 \\ 0 & G^{\ast} & G & 0 \\ 0 & ike^{ika} & -ike^{-ika} & \kappa e^{-\kappa a} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} A \\ B \\ C \\ D \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix} $$
$$ \displaystyle BG+CG^{\ast}=0 \, \rightarrow \, \frac{C}{B}=-\frac{G}{G^{\ast}} $$
$$ \displaystyle \frac{C}{B}=\pm 1 $$
이 경우는 $$G=G^{\ast}$$이므로 $$k\cot{(ka)}=-\kappa$$를 함께 이용하여 계산하면 우함수로 구성된 다음의 고유함수를 얻는다.
$$ \displaystyle \begin{aligned} \varphi_{1}(x)&=-2iBe^{\kappa(x+a)}\sin{(ka)} \\ \varphi_{2}(x)&=2iB\sin{(kx)} \\ \varphi_{3}(x)&=2iBe^{-\kappa(x-a)}\sin{(ka)} \end{aligned} $$
'''(ⅱ) 음의 조건: $$\boldsymbol{B=C}$$일 때'''
이 경우는 $$G=-G^{\ast}$$이므로 $$k\tan{(ka)}=\kappa$$를 함께 이용하여 계산하면 우함수로 구성된 다음의 고유함수를 얻는다.
$$ \displaystyle \begin{aligned} \varphi_{1}(x)&=2Be^{\kappa(x+a)}\cos{(ka)} \\ \varphi_{2}(x)&=2B\cos{(kx)} \\ \varphi_{3}(x)&=2Be^{-\kappa(x-a)}\cos{(ka)} \end{aligned} $$
위의 상수 $$B$$에 대해 속박 상태를 다루고 있으므로 파동함수는 규격화 가능하고,
$$ \displaystyle \int_{-\infty}^{\infty} \left| \varphi \right|^{2}\,dx=1 $$
각 상태의 고유함수를 얻었으므로 계의 에너지와 퍼텐셜의 관계를 고려하자.
$$ \displaystyle \kappa^{2}+k^{2}=\frac{2m |V|}{\hbar^{2}} $$
$$ \displaystyle \xi^{2}+\eta^{2}=\frac{2ma^{2} |V|}{\hbar^{2}} := \rho^{2} $$
또한, 기 고유상태와, 우 고유상태에 대해
$$ \displaystyle \begin{aligned} (\text{odd}) & \quad k\cot{(ka)}=-\kappa \\ (\text{even}) & \quad k\tan{(ka)}=\kappa \end{aligned} $$
$$ \displaystyle \begin{aligned} (\text{odd}) & \quad \eta = -\xi \cot{\xi} \\ (\text{even}) & \quad \eta = \xi \tan{\xi} \end{aligned} $$
다만, $$k,\,\kappa, \,a$$ 모두 양수 영역에 있다는 것에 유의해야 한다. 즉, 1사분면만 생각하여야 한다는 것이다. 따라서 아래의 식들의 교점은 유한 퍼텐셜 우물에 속박이 허용된 $$\eta,\,\xi$$이다.
$$ \displaystyle \left\{ \begin{array}{l} \xi^{2}+\eta^{2}=\rho^{2}\\ \eta= -\xi \cot{\xi} \quad \mathrm{or} \quad \eta = \xi \tan{\xi} \end{array}\right.$$
[image]
따라서 유한 퍼텐셜 우물에 속박이 허용된 입자의 에너지의 크기와 퍼텐셜 크기는 다음과 같이 구할 수 있다.[16]
$$ \displaystyle \begin{aligned} \left| E \right|&=\frac{\eta^{2} \hbar^{2}}{2ma^{2}} \\ \left| V \right|-\left| E \right|&=\frac{\xi^{2} \hbar^{2}}{2ma^{2}} \end{aligned} $$
또한, 맨 위의 무한 퍼텐셜 우물에 속박된 입자는 무한 개의 고유상태를 가질 수 있었던 것에 비해, 유한 퍼텐셜 우물의 경우 허용될 수 있는 $$\eta$$, $$\xi$$는 제한적이기 때문에 제한된 수만큼의 고유상태를 갖는다. 물론, 퍼텐셜의 깊이가 매우 깊어질 경우 허용되는 상태의 수는 매우 많아지며, '''퍼텐셜 깊이가 무한해지면, 이 결과는 무한 퍼텐셜 우물 문제의 결과를 따라간다는 것 또한 증명할 수 있다.'''
[image]
첨자 $$n$$은 위 유한 퍼텐셜 우물에 허용된 $$n$$번째 상태를 의미한다. 한참 전에서 다뤘던 그래프에서 $$\pi \leq \rho <3\pi/2$$일 때는 우 고유상태 2개, 기 고유상태 1개가 허용됨을 이미 추측할 수 있었고, 결과도 그대로이다. 또한, 위에서 밝혔던 대로 바닥 상태($$n=1$$)는 우 고유상태에서 갖는다. 또한, '''영역Ⅰ,Ⅲ'''에서는 지수함수 형태가, '''영역Ⅱ'''에서는 진동하는 형태가 된다.
가장 중요한 것은, 무한 퍼텐셜 우물 문제의 경우 우물 밖($$|x|>a$$)의 파동함수는 없었지만 유한 퍼텐셜 우물은 지수함수가 존재한다는 점이다. 따라서 '''유한 퍼텐셜 우물에서는 우물 밖에서도 입자가 관측될 수 있다.'''
이곳의 자료를 다운로드하고 매스매티카를 이용하여 유한 퍼텐셜 우물의 고유함수를 시뮬레이션할 수 있다. 매스매티카가 없으면 해당 사이트에서 제공하는 CDF Player를 PC에 설치하면 된다.
7. 관련 문서
[17] 최솟값은 $$0 \leq \rho < \pi/2$$일 때 1개이다.