확률 흐름 밀도

1. 개요

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'''Probability current'''
양자역학에서는 불확정성 원리에 의해 입자의 위치나 운동량을 확정적으로 나타낼 수 없는 대신, 위치의 확률 밀도 함수로 나타낼 수 있다. 이때 입자의 시간과 위치에 따른 확률 밀도 함수를 $$ P(x,t) $$라 하면, '''확률 흐름 밀도''' $$ J(x,\,t) $$는 다음과 같은 식을 만족한다.

$$ \displaystyle {\partial P \over \partial t} = - {\partial J \over \partial x} $$

즉, 확률 흐름 밀도는 시간에 따른 확률이 변하는 것을 나타낸다. 다만 확률 밀도 함수라는 것은 "입자가 $$ x=a $$와 $$ x=b $$ 사이에서 발견될 확률" 같은 형태, 즉

$$ \displaystyle P_{ab} = \int_a^b P(x) \, dx $$

와 같은 식만 실제 확률의 값을 가진다. 따라서 확률 밀도 함수 또한 입자가 $$ x=a $$와 $$ x=b $$ 사이에서 발견될 확률이 시간에 따라 어떻게 변하는 지를 계산하기 위해 사용된다. 이는 그냥 위 식을 $$ a $$부터 $$ b $$까지 $$ dx $$로 적분하면 된다.

$$ \displaystyle {dP_{ab} \over dt} = J(a,\,t) - J(b,\,t) $$

즉 $$ J(a,\,t) - J(b,\,t) $$는 입자가 $$ a $$와 $$ b $$ 사이에서 발견될 '''확률의 변화율'''을 나타낸다.

2. 공식

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입자의 파동함수를 $$ \Psi (x,t) $$라고 하면, 확률 밀도 함수는 $$ P(x,t) = {| \Psi |}^2 $$이다. 이때 1차원의 경우 확률 흐름 밀도 $$ J $$는 다음과 같이 $$ \Psi $$에 대한 식으로 나타낼 수 있다.

$$ \displaystyle J(x,\,t) = - {{i \hbar} \over {2m}} \left( \Psi^\ast {{\partial \Psi} \over {\partial x}} - {{\partial \Psi^\ast} \over {\partial x}} \Psi \right) $$

단, $$m$$은 입자의 질량이고, $$\Psi^\ast$$는 $$\Psi$$의 켤레복소수이다. 또한 3차원에서는 편미분을 그레이디언트로 바꿔서 일반화할 수 있다.

$$ \displaystyle J(x,\,t) = - {{i \hbar} \over {2m}} \left( \Psi^\ast \boldsymbol{ \nabla} \Psi - \Psi \boldsymbol{ \nabla} \Psi^\ast \right) $$

3. 기타

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전자기학에서 연속 방정식은 다음과 같다.

$$\displaystyle \boldsymbol{\nabla}\cdot \mathbf{J}+\frac{\partial \rho}{\partial t}=0$$

이때 $$\rho$$ 대신 확률 $$|\Psi|^2$$로 생각한다면 확률 흐름 밀도는 $$\mathbf{J}$$가 된다! 따라서 확률 흐름 밀도는 마치 어떤 영역에서 확률이 (마치 전류 밀도처럼) 빠져나오는 것이라고 생각할 수 있다.