스튜어트 정리
1. 개요
'''스튜어트 정리'''(Stewart's theorem)는 스코틀랜드의 수학자 매튜 스튜어트가 증명한 정리로, 삼각형 관련 문제를 풀 때 아주 유용하며, 아래와 같다.
~
한편 $$m=n $$이면,
$$\displaystyle mb^2+mc^2=2m(m^2+d^2) $$
$$\displaystyle b^2+c^2=2(m^2+d^2) $$
보통 고등학교 때 배우는 중선 정리(아폴로니우스 정리[1])가 된다.
2. 증명
일반적으로 제2 코사인법칙을 이용해 증명하나, 피타고라스의 정리로도 증명이 가능하다.
2.1. 코사인 법칙
두 변 $$\overline{\rm AP}$$와 $$\overline{\rm CP}$$가 이루는 각을 $$\theta $$라 하자. 이때, $$\triangle \rm APC$$에서 제2코사인 법칙에 의해,
$$\displaystyle c^2=m^2+d^2-2md\cos\theta \quad \cdots \quad (\rm I) $$
[1] 파푸스의 정리라는 말은 우리나라 및 일본에서만 쓰임
$$\displaystyle \begin{aligned} b^2&=n^2+d^2-2nd\cos(\pi-\theta) \\&=n^2+d^2+2nd\cos\theta \quad \cdots \quad (\rm I\!I) \end{aligned} $$
$$\displaystyle \begin{aligned} mb^2+nc^2&=m^2n+nd^2-2mnd\cos\theta+mn^2+md^2+2mnd\cos\theta \\&=m^2n+mn^2+md^2+nd^2 \\&=mn(m+n)+d^2(m+n) \\&=(m+n)(mn+d^2)\\&=a(mn+d^2) \end{aligned} $$
2.2. 피타고라스 정리
[image]
위 그림과 같이 꼭짓점 $$\rm A$$에서 $$\overline{\rm BC}$$에 내린 수선의 발을 $$\rm{H}$$라 하고, $$\overline{\rm AH}=h $$, $$\overline{\rm PH}=x $$라 하자. 피타고라스 정리에 의하여 $$\triangle \rm APH$$에서
$$\displaystyle \begin{aligned} h^2+x^2=d^2 \end{aligned} $$
$$\displaystyle \begin{aligned} h^2+(m-x)^2&=c^2 \end{aligned} $$
$$\displaystyle \begin{aligned} c^2=d^2+m^2-2mx \end{aligned} $$
$$\displaystyle \begin{aligned} h^2+(n+x)^2=b^2 \quad \cdots \quad (\rm I) \end{aligned} $$
$$\displaystyle \begin{aligned} b^2=d^2+n^2+2nx \quad \cdots \quad (\rm I\!I) \end{aligned} $$
$$\displaystyle \begin{aligned} & nd^2+m^2n-2mnx+md^2+mn^2+2mnx \\&=d^2(m+n)+mn(m+n) \\ &= (m+n)(mn+d^2) \\&=a(mn+d^2) \\&=mb^2+nc^2 \end{aligned} $$