코사인 법칙
1. 개요
'''cosine law'''
2009 개정 교육과정에서 빠졌다가, 2015 개정 교육과정 상 고등학교 2학년 때 배우게 되는 삼각형 및 삼각함수에 관한 정리.
사인 법칙과 함께 삼각형의 변의 길이와 각의 크기를 찾을 때 유용한 정리이다. 한국에서는 이상하게도 제1 코사인 법칙, 제2 코사인 법칙의 두가지로 나누는데, 세계적으로 코사인 법칙이라 하면 제2 코사인 법칙만을 가리킨다.[1] 사실 제1 코사인 법칙은 법칙이라 하기에는 조금 민망하다. 그리고, 2007 개정 교육과정 이후로는 과거 제2 코사인 법칙이 그냥 "코사인 법칙"으로 이름이 변경되었다.
2009 개정 교육과정으로 인해 2017 수능부터는 출제되지 않는다. 하지만 2021 수능부터는 다시 출제된다. 이것에 관해선 수학Ⅰ(2015) 문서를 참조.
2. 제1 코사인 법칙
삼각형 $$\mathrm{ABC}$$를 고려하자. 이때 각 $$A$$, $$B$$, $$C$$의 대변의 길이를 각각 $$a$$, $$b$$, $$c$$라 할 때 다음이 성립한다는 법칙이다.
$$\displaystyle \begin{aligned} a&=b\cos{C}+c\cos{B} \\ b&=c\cos{A}+a\cos{C} \\ c&=a\cos{B}+b\cos{A} \end{aligned} $$
[1] 예외적으로 현행 일본 고등학교 교육과정에서도 코사인 법칙를 제1 여현정리, 제2 여현정리로 구분을 한다. 참고로 중국과 일본에선 코사인을 여현(余弦)이라고 한다.
2.1. 증명
삼각형 $$\mathrm{ABC}$$의 꼭짓점 $$\mathrm{A}$$의 대변 $$\mathrm{BC}$$ 혹은 그 연장선 상에 내린 수선의 발을 $$\mathrm{H}$$라 하자.
'''(ⅰ) $$\triangle \mathrm{ABC}$$가 예각 삼각형일 때'''
[image]
다음이 성립한다.
$$\displaystyle \begin{aligned} a&=\overline{\mathrm{BH}}+\overline{\mathrm{CH}} \\ &=c\cos{B}+b\cos{C} \end{aligned} $$
[image]
다음이 성립한다.
$$\displaystyle \begin{aligned} a&=\overline{\mathrm{BH}}-\overline{\mathrm{CH}} \\ &=c\cos{B}-b\cos{(180^{\circ}-C)} \\ &=c\cos{B}+b\cos{C} \end{aligned} $$
[image]
위 그림에서
$$\displaystyle a=\overline{\mathrm{BH}}=c\cos{B} $$
$$\displaystyle a=c\cos{B}+b\cos{C} $$
나머지 두 변에 대해서도 같은 방법으로 증명이 가능하다.
3. 제2 코사인 법칙
삼각형 $$\mathrm{ABC}$$를 고려하자. 이때 각 $$A$$, $$B$$, $$C$$의 대변을 각각 $$a$$, $$b$$, $$c$$라 할 때 다음이 성립한다는 법칙이다.
$$\displaystyle \begin{aligned} a^{2}&=b^{2}+c^{2}-2bc\cos{A} \\ b^{2}&=c^{2}+a^{2}-2ca\cos{B} \\ c^{2}&=a^{2}+b^{2}-2ab\cos{C} \end{aligned} $$
3.1. 증명
3.1.1. 기본적인 증명
삼각형 $$\mathrm{ABC}$$의 꼭짓점 $$\mathrm{A}$$의 대변 $$\mathrm{BC}$$ 혹은 그 연장선 상에 내린 수선의 발을 $$\mathrm{H}$$라 하자.
삼각형 $$\mathrm{ABC}$$가 예각 삼각형일 때, 그림은 아래와 같고,
[image]
이때, 위 그림을 참고하면,
$$\displaystyle \begin{aligned} \overline{\mathrm{AH}}&=c\sin{B} \\ \overline{\mathrm{HC}}&=a-c\cos{B} \\ \overline{\mathrm{AC}}&=b \end{aligned} $$
$$\displaystyle \begin{aligned} b^2 &= (c\sin B )^2 + (a - c\cos B)^2 \\ &=c^2 \sin^2 B + c^2 \cos^2 B + a^2 - 2ac\cos B \end{aligned} $$
$$\displaystyle \begin{aligned} b^2=c^2+a^2-2ca\cos B \end{aligned} $$
삼각형 $${\mathrm{ABC}}$$가 둔각 삼각형이거나 직각 삼각형의 경우에도 직각 삼각형 $${\mathrm{AHC}}$$을 이용하면 같은 식을 얻을 수 있고, 나머지 두 식에 대해서도 같은 방법으로 증명이 가능하다.
여기서 $$ \sin^2 B + \cos^2 B=1 $$ 이 피타고라스 정리와 삼각함수의 정의에서 유도되므로, 코사인 법칙은 피타고라스 정리와 삼각함수의 정의의 결과, 또는 피타고라스 정리를 삼각함수의 정의를 이용하여 확장한 것이라고 할 수 있다.[2]
3.1.2. 제1 코사인 법칙을 이용한 증명
제1 코사인 법칙의 첫 식 부터 아래 순으로 각각 $$a$$, $$b$$, $$c$$를 곱하자. 그렇게 되면,
$$\displaystyle \begin{aligned} a^{2}&=ab\cos{C}+ac\cos{B} \\ b^{2}&=bc\cos{A}+ab\cos{C} \\ c^{2}&=ac\cos{B}+bc\cos{A} \end{aligned} $$
[2] 삼각함수의 정의는 닮은 삼각형의 존재성에서 바로 나오고, 닮은 삼각형의 존재성과 피타고라스 정리와 평행선공준은 서로 동치인 명제이다. 따라서 코사인 법칙은 길이와 각에 관한 유클리드 기하학의 고유한 성질을 보여주는 명제라고 할 수 있고, 구면 위의 기하학에서는 이와 다른 정의와 법칙(구면삼각법)이 사용된다.
$$\displaystyle \begin{aligned} a^2-b^2-c^2&=ab\cos C+ac\cos B-bc\cos A-ab\cos C-ac\cos B-bc\cos A \\ &=-2bc\cos A \end{aligned} $$
$$\displaystyle a^2=b^2+c^2-2bc\cos A $$
3.1.3. 페이저와 복소수를 이용한 증명
[image]
그림에서 $$\mathbf{C=A+B}$$이므로 이를 페이저(Phasor)로 표현하면 다음과 같다.[3]
$$\displaystyle Ce^{i \gamma }=Ae^{i \alpha }+Be^{i \beta } $$
[3] 어차피 phasor는 복소평면 상에서 벡터처럼 작용하기 때문에 phasor의 개념을 모르는 위키러들은 벡터 성분으로 생각하고 해도 무방하다. 오히려 그게 훨씬 간단할 수도.
$$\displaystyle C(\cos{\gamma}+i \sin{\gamma})=A(\cos{\alpha}+i \sin{\alpha})+B(\cos{\beta}+i \sin{\beta}) $$
$$\displaystyle \begin{aligned} C\cos{\gamma}&=A\cos{\alpha}+B\cos{\beta} \\ C\sin{\gamma}&=A\sin{\alpha}+B\sin{\beta} \end{aligned} $$
$$\displaystyle C^2 \cos^2 {\gamma} + C^2 \sin^2 {\gamma} = A^2 \cos^2 {\alpha} + A^2 \sin^2{\alpha} + B^2 \cos^2{\beta} + B^2 \sin^2{\beta} + 2(\cos{\alpha}\cos{\beta}+ \sin{\alpha}\sin{\beta}) $$
$$\displaystyle \begin{aligned} \sin^{2}{x}+\cos^{2}{x}&=1 \\ \cos( \alpha-\beta ) &=\cos\alpha \cos\beta +\sin\alpha \sin\beta \end{aligned} $$
$$\displaystyle C^2 = A^2 + B^2 + 2 AB \cos(\alpha -\beta) $$
$$\displaystyle \alpha- \beta = - (\pi +\theta) $$
$$\displaystyle \cos(\alpha -\beta)=-\cos{\theta} $$
$$\displaystyle C =\sqrt{ A^2 + B^2 - 2 AB \cos{\theta}} $$
3.2. 활용
- 두 변과 그 끼인각을 알 때, 다른 한 변의 길이를 이 공식을 이용해서 알 수 있다.
- 코사인 값만 한 쪽에 둔 뒤 나머지 값을 전부 다른 쪽으로 이항하면, 다음과 같은 꼴로 쓸 수 있다.
이는 세 변의 길이를 알 때, 각의 크기를 구할 때 요긴하게 쓰이게 된다. 또한, 이 조건 자체가 사실은 삼각형의 결정 조건이다. 즉, 삼각형에서 제2 코사인 법칙의 두 식[4]은 해가 반드시 하나이다.[5] 값에 따라서 해가 두 개가 나올 수도 있는 사인 법칙과는 구분되는 점이다.
- 또한, 제2 코사인 법칙은 피타고라스 정리의 일반화라 볼 수 있다. 이런 결론이 나오는 이유는 바로 이 법칙과 피타고라스 정리가 둘 다 유클리드 기하학의 제5공준인
과 동치이기 때문.평행선 공준 - 물리학에서는 벡터를 많이 다루기 때문에 이 공식은 필히 알고 있어야 한다. 역학에서 두 힘의 합성을 구할 때나[6], 전자기학의 다중극 전개 등에서 이를 활용하게 된다.
4. 비유클리드 기하학에서
비유클리드 기하학에서는 식의 형태가 완전히 달라진다.
- 구면 공간
- 제1 코사인 법칙
$$\displaystyle \begin{aligned} \cos a&= \cos b \cos c + \sin b \sin c \cos A \\ \cos b&= \cos a \cos c + \sin a \sin c \cos B \\ \cos c&= \cos a \cos b + \sin a \sin b \cos C \end{aligned} $$
- 제2 코사인 법칙
$$\displaystyle \begin{aligned} \cos a&= \dfrac{\cos A + \cos B \cos C}{\sin B \sin C} \\ \cos b&= \dfrac{\cos B + \cos A \cos C}{\sin A \sin C} \\ \cos c&= \dfrac{\cos C + \cos A \cos B}{\sin A \sin B} \end{aligned} $$
- 쌍곡 공간
- 제1 코사인 법칙
$$\displaystyle \begin{aligned} \cosh a&= \cosh b \cosh c + \sinh b \sinh c \cos A \\ \cosh b&= \cosh a \cosh c + \sinh a \sinh c \cos B \\ \cosh c&= \cosh a \cosh b + \sinh a \sinh b \cos C \end{aligned} $$
- 제2 코사인 법칙
$$\displaystyle \begin{aligned} \cosh a&= \dfrac{\cos A + \cos B \cos C}{\sin B \sin C} \\ \cosh b&= \dfrac{\cos B + \cos A \cos C}{\sin A \sin C} \\ \cosh c&= \dfrac{\cos C + \cos A \cos B}{\sin A \sin B} \end{aligned} $$
미분기하학의 학습 난도를 올리는 원인 중 하나로, 이렇게 복잡해진 코사인 법칙을 외워서 활용해야 하기 때문. 특히 구면 공간에 대한 코사인 법칙은 지도 앱 프로그래머들이 숙지해야 할 상황이 왕왕 생긴다.5. 여담
- 선형대수학에서 내적(점곱)을 벡터 성분들간의 곱의 합으로 표현하고자할때, 공간상의 점 $$\rm P$$와 점 $$\rm Q$$사이의 거리, 각 점에 대응하는 벡터 $$\mathbf{u}$$와 $$\mathbf{v}$$(의 norm들), 두 벡터의 사잇각으로 삼각형을 구성하면 코사인 법칙을 이용해 역으로 내적을 표현하는 성분식을 구할 수 있다. $$|\mathbf{u}||\mathbf{v}|\cos{(\mathbf{u},\, \mathbf{v})}$$(단, $$(\mathbf{u},\, \mathbf{v})$$는 두 벡터가 이루는 각)라는 내적의 정의가 코사인법칙에 뭉텅이로 들어가있기 때문이다.