삼각형
1. 개요
triangle · 三角形
3개의 각(점)과 선분으로 이루어진 다각형. 세모라고도 부른다. 밑변을 위로 해 놓고 꼭짓점을 아래로 해 놓은 것(▽)은 역삼각형이라고 부른다.
이런 단순한 모양으로 인해 세 변의 길이만 서로 다 똑같아도 필연적으로 세 각의 크기 또한 모두 60˚[1]로 같아져 무조건 정삼각형이 되고, 그 반대의 경우도 마찬가지이다. 또한 유클리드 공간에서 모든 삼각형은 자기쌍대이다.
두 삼각형의 각의 크기가 모두 똑같다면 그 두 삼각형은 닮음 관계이며, 변의 길이가 모두 똑같다면 합동 관계이다.
세 각의 크기를 다 합하면 180˚다. 따라서 임의의 한 변의 길이와 두 각의 크기가 주어지면 결국에는 나머지 한 각의 크기도 알게 되므로, 인접한 각이 아니어도 된다.
단, 이는 평면 위에서만 성립하며 곡면 상에 위치한 삼각형은 180˚보다 클 수도, 작을 수도 있다. 다르게 말하면 삼각형 세 각의 합이 반드시 180˚가 되지 않는 면은 평면이 아니라는 것. 예를 들어 지구본에서 적도와 경도 0˚ 및 90˚ 선으로 만들어지는 삼각형은 세 각이 각각 90˚로 합이 270˚다. 즉 '''모든 각이 직각이다.'''
유클리드 기하학에 따르면 다각형은 삼각형부터 가능하기 때문에 다각형 중 가장 단순한 모양의 다각형이라 할 수 있다. 그와 동시에 가장 단순하기에 다른 다각형을 삼각형을 통해서 바라보기도 하며, 가장 성질이 다양한 도형이기도 하다.[2][3] 다만, 이 역시도 평면 위에서 성립한다. 곡면의 경우 이각형이나 일각형도 가능하다. 좋은 예로 지구본 위의 경도선을 두 개 고르면 그 사이에 이각형이 생긴다.
다각형 중에서 원에 필연적으로 내접하거나 외접하는 유일한 다각형이다. 또한, 세 각의 합이 180˚이므로 오목삼각형은 존재할 수 없고 오로지 볼록삼각형만 존재할 수 있다.
어떤 종류의 삼각형이든 동일한 삼각형을 이용하여 평면을 겹치지 않고 빈틈 없이 채울 수 있다. 임의의 사각형이 있다고 할때 이를 하나 복사하여 180도 회전하여 붙이면 평행사변형이 만들어진다. 평행사변형은 평면을 빈틈 없이 채울 수 있다.
2. 삼각형의 오심
문서 참조
3. 삼각형의 종류
일반적인 삼각형은 유클리드 기하학에 속하는 모든 삼각형을 의미한다. 여기서 세 변의 길이 중 두 변의 길이가 같다면 이등변삼각형이고, 세 변의 길이가 다 제각각이면 '''부등변삼각형'''이 된다.
- 이등변삼각형
- 예각이등변삼각형
- 직각이등변삼각형
- 둔각이등변삼각형
- 직각삼각형
- 직각이등변삼각형
- 둔각삼각형
- 둔각이등변삼각형
- 예각삼각형
- 예각이등변삼각형
- 부등변삼각형
- 직각부등변삼각형
- 둔각부등변삼각형
- 예각부등변삼각형
비유클리드 기하학에서는 구면삼각형, 쌍곡삼각형 등이 있다. 구면삼각형 중에는 '''오목삼각형'''도 있다.
4. 작도하기
정삼각형의 작도는 매우 간단하다. 선분 하나만 긋고 지름이 그 선분 길이와 똑같이 되도록 컴퍼스를 조절한 후 꼭짓점이 될 양 끝을 다른 한 꼭짓점이 될 부분에 호를 하나씩 긋는다. 그리고 두 호가 서로 교차하는 점을 처음 그은 선분의 양 끝과 연결하면 정삼각형이 된다.
같은 방법으로 이등변삼각형이되 정삼각형은 아닌 삼각형도 작도할 수 있다. 컴퍼스의 지름을 처음 선분 길이와 다르게 조절하면 된다. 물론 양 끝을 중심으로 하는 두 호의 길이는 서로 같아야 한다.
직각삼각형의 경우, 세 각의 비가 3:2:1(90˚:60˚:30˚)인 직각삼각형은 정삼각형을 먼저 작도한 후 한 변을 이등분하여 마주 보는 각과 수직이등분선으로 연결하면 되고, 직각이등변삼각형은 정사각형을 먼저 작도한 후 대각선을 따라 둘로 나누면 된다.
임의의 각을 삼등분하는 문제는 작도할 수 없는 3가지 문제에 속하지만, 직각은 삼등분이 가능하다.[4] 먼저 직각을 끼고 있는 두 선 중 한 선을 이용해서 아무런 크기의 정삼각형을 작도하면, 직각이 30˚:60˚로 나뉜다. 그러면 원래 직각 자리와 마주보고 있는 변을 이등분해서 수직이등분선을 그리면[5] 자연스럽게 나머지 60˚도 이등분되어 직각이 30˚:30˚:30˚로 나뉨으로써 삼등분이 된다.
5. 넓이
삼각형의 넓이를 구하는 공식은 여러가지로 연구되었다. 대표적으로 다음과 같은 공식이 있다.
- 오일러의 표기법에 따라서 삼각형의 세 꼭지점을 $$A, B, C$$, 그 대변의 길이를 $$a, b, c$$, 내접원과 외접원의 반지름을 각각 $$r, R$$라고 표기한다.
- $$S=\displaystyle{\frac{1}{2}ah}$$ : 가장 기본적인 공식. 한 변의 길이 $$a$$와, 다른 꼭지점과 변을 연장한 직선까지의 수선의 길이 $$h$$를 알고 있다면 이 공식을 통해 구할 수 있다. 흔히 삼각형의 넓이가 밑변×높이÷2라는 공식으로 알려져 있다.
- $$S=\displaystyle{\sqrt{s\left(s-a\right)\left(s-b\right)\left(s-c\right)}}$$. 단 $$s=\displaystyle{\frac{1}{2}}\left(a+b+c\right)$$(헤론의 공식) : 세 변의 길이를 알고 있을 경우 성립하는 공식. 만약 세 변의 길이가 아니라 세 각과 내접원의 반지름만 알고 있다면 이 식은 사인 법칙에 의하여 이렇게 변경된다.
- $$S=\displaystyle{R^2\sqrt{\left(\sin A+\sin B+\sin C\right)\left(-\sin A+\sin B+\sin C\right)\left(\sin A-\sin B+\sin C\right)\left(\sin A+\sin B-\sin C \right)}}$$
- $$S=\displaystyle{\frac{1}{2}ab\sin C}$$ : 두 변과 그 끼인각의 크기를 알고 있을 경우 사용할 수 있는 공식.
- $$S=\displaystyle{\frac{a^2\sin B\sin C}{2\sin\left(B+C\right)}}$$ : 한 변과 그 양 끝각의 크기를 알고 있을 경우 사용할 수 있는 공식.[6]
- 변 $$a, b$$의 끼인 꼭지점인 $$C$$를 시작점으로 하여, $$B, A$$까지 이어지는 유향 벡터 $$\overline{CB}, \overline{CA}$$($$C$$에서 시작)를 각각 $$\vec{a}, \vec{b}$$라고 두자.
- 그렇다면 $$S=\displaystyle{\frac{1}{2}\sqrt{|\vec{a}|^{2}+|\vec{b}|^{2}-(\vec{a}\cdot\vec{b})^{2}}}$$가 성립한다.
- 이번에는 행렬을 사용해보자. 좌표평면상에서 각 꼭지점 $$A, B, C$$의 $$x, y$$좌표를 각각 $$A\left(0, 0\right), B\left(x, y\right), C\left(z, w\right)$$이라고 두자. 세 꼭지점이 하나도 원점이 아닐 경우, 꼭지점 하나를 지정해서 평행이동을 거쳐서 원점에 맞춰주면 된다.
- 그렇다면 넓이 $$S$$는 다음 행렬식의 절대값으로 표현된다.
$$\det\left(T\right)=\begin{vmatrix} x & y \\ z & w \end{vmatrix}, S=\frac{1}{2} |\det\left(T\right)|$$
6. 삼각형은 가장 단단한 도형?
한강 위의 다리, 체육관 지붕 등 우리 주변에는 삼각형으로 짜 맞춘 구조물이 많다. 삼각형 형태로 배열된 이 구조를 '''트러스 구조'''라고 부르며, 보통 건축물의 뼈대가 되는 철골(빔)은 거의 삼각형 모양이다. 삼각형 외에 다른 모양으로 만든 구조물에 큰 힘이 가해지면 철골 자체가 부러지지 않더라도 연결 부위가 움직여서 큰 변형이 일어날 수 있다. 하지만 삼각형은 세 변의 길이가 바뀌지 않는 한, 외부 힘에 의한 모양 변형이 거의 일어나지 않는다. 그렇기에 무너지면 초대형사고가 일어나는 대교나 지붕 등의 철골 구조를 삼각형 모양으로 만드는 것이다.
7. 특수문자
삼각형은 그림문자로 쓰이기도 한다. 흔히 쓰이는 삼각형 문자는 정삼각형(폰트에 따라 그냥 이등변삼각형으로 표시되기도 한다.) 모양의 문자이며, 상하좌우를 향하고 있는 모양(△▽◁▷)이 있고 속이 빈 모양과 칠해진 모양(△▲)이 있다.
주가에선 상승의 뜻인데 묘하게 회계(재무제표, 은행, 공문 등)쪽에선 마이너스의 뜻으로 쓴다. 그 이유는 일반적으로 음수를 나타낼 때 쓰는 -를 쓰면 위조의 위험성이 있어서이며 한자 숫자의 갖은자와 비슷한 경우이다. 하지만 이렇게 해도 헷갈리는 경우가 많아 상승의 뜻으로 쓰일 때는 빨갛게 쓰거나 칠해진 모양의 것을 쓰고, 음수의 뜻으로 쓰일 때는 괄호 안에 넣는 것으로 대신하기도 한다.
일반적인 경우는 하락, 마이너스의 뜻으로 쓰인다. 이 경우는 검은색으로 쓴다. 단, 역삼각형을 쓰는 경우도 있는데, 이 때에는 파란 글씨로 쓰는게 불문율이다. 아래 표기는 모두 같다.
단 삼각형을 상승, 플러스 등으로 사용할 때는 다음과 같이 붉은 글씨로 쓴다. 역시 아래 표기는 같은 표기이다.△ 2,200
(2,200)
▽ 2,200
▼ 2,200
△는 O와 X 외의 제3의 기호로 쓰이기도 한다. 보통은 O와 X의 중립적 의미를 갖는 경우가 많다. 예를 들어, 스포츠 경기에서 승리한 경기를 O로 표시하고 패배한 경기를 X로 표시한다면 무승부는 △로 표시하는 식이다.2,200
▲ 2,200
△ 2,200
플레이스테이션의 패드 오른쪽 4버튼에 그려진 4개의 기호 중 하나이기도 하다. △는 위쪽에 있으며, 왼쪽과 오른쪽은 □와 O, 아래쪽은 X이다.
$$\rho\left(\frac{\partial\vec{v}}{\partial t}+\vec{v}\cdot\nabla\vec{v}\right)=-\nabla p+\mu\nabla^{2}\vec{v}+\vec{f}+\left(\frac{1}{3}\mu+\zeta\right)\nabla\left(\nabla\cdot\vec{v}\right)$$
$$\Delta f=\frac{\partial^{2}f}{\partial r^{2}}+\frac{N-1}{r}\frac{\partial f}{\partial r}+\frac{1}{r^{2}}\Delta_{S^{N-1}}f$$
이과의 경우 위와 같이 미분방정식에서 꽤 자주 보는데, 여기서 역삼각형을 델(del) 또는 나블라(nabla)[7]라고 하며, 똑바로 된 삼각형은 라플라시안이라고 한다. 이것이 뭔지는 델, 라플라시안 문서 참조.
8. 대중매체에서
- 피니어스와 퍼브의 피니어스 플린은 얼굴이 삼각형이다.
- 그래비티 폴즈의 빌 사이퍼는 삼각형 모양이다.
- 젤다의 전설 시리즈의 트라이포스는 세 개의 삼각형이 하나의 큰 삼각형을 이룬다.
- 언더테일과 델타룬의 델타룬 문양에는 세 개의 삼각형이 있고 이름에도 델타가 들어간다.
9. 기타
10. 관련 문서
[1] 유클리드 공간 기준[2] 흔히 사용하는 삼각비나 피타고라스의 정리도 결국엔 최초에는 삼각형에서 정의된 것이다.[3] 그래서 고교 교육과정에서 가장 많이 보게 될 다각형은 바로 삼각형이다.[4] 단, 그 각이 직각이라는 사실을 알고 있다는 것을 전제로 한다.[5] 아니면 그냥 임의의 각을 이등분하는 방법으로 60˚를 이등분하거나 다른 쪽에 똑같이 정삼각형을 작도해도 된다.[6] 다만 공식을 외우는건 복잡하므로, 사인 법칙과 코사인 법칙을 이용해서 적당하게 유도하는 게 편하다.[7] 과거 인쇄소에서는 역삼각형 기호를 이렇게 불렀다고 한다.