피타고라스 정리
1. 설명
직각삼각형의 3개의 변을 a,b,c[1]라 하고 c에 대한 각이 직각일 때, $$a^2+b^2=c^2$$으로 됨을 뜻하는 것으로서,[2] 고대 그리스의 피타고라스가 처음으로 증명했다고 하여 '피타고라스 정리'라고 한다.[3] 페르마의 대정리의 함수 표현을 빌려 FLT(2)로 쓰기도 한다.
피타고라스는 이 정리를 발견한 후 기쁨에 가득차 신에게 감사의 제사를 지냈다는 기록[4]까지 존재한다. 그러나 이 때문에 자연수의 비, 즉 분수로는 표현할 수 없는 무리수의 존재가 증명되었다.[5] 그 후 피타고라스학파는 혼란에 빠졌다. 피타고라스 학파가 거의 종교 단체 수준이었기에, 세상은 숫자(유리수)만으로 이루어졌다는 진리에 어긋난다는 이유로 함구하고 '신의 실수'로 만들어졌으며 없는 수로 취급하기로 했다. 하지만 히파수스라는 제자가 세상에 알리려다가 참수당했다느니 수장당했다느니 하는 이야기도 있다.[6]
한국 기준으로 중학교 과정에서 배우는 수학의 진리 중 하나. 본래 3학년 2학기 내용에서 다루었으나 2학년 2학기에서 다루는 것으로 변경되었다.[7] 다만 2학년 과정에서는 아직 무리수를 배우지 않았으므로 자연수 범위 내에서의 피타고라스 수만 다룬다. 이렇게 한 이유는 세계 국가 대부분이 피타고라스 정리를 중2 나이대에 배우는데[8] 유독 한국만 무리수와 묶어서 중3 나이대에 배우니 국제적으로 학력을 비교, 평가할 때 문제가 된다는 이유에서이다. 다만 일본은 아직도 피타고라스 정리가 중3 과정에 있다.
참고로 유클리드 기하학의 평행선 공준과 동치이며, 이와 동치인 명제가 바로 이 정리의 확장인 코사인 법칙이다.
2. 증명
- 액체를 이용한 직관적인 확인
가장 많이 증명된 정리이기도 하다. 피타고라스의 정리의 증명들만 모아놓은 책도 있을 정도.[12] 혹시 다른 증명법이 있으면 학계에 발표해보자. 자신의 이름을 따서 증명법을 만들어줄 것이다. 하지만 이게 말처럼 쉬운 건 아닌 게, 지금까지 피타고라스의 정리를 증명하는 방법으로 '''알려진 것만 400개가 넘어간다'''.# 그리고 이 방법 중에는 제임스 A. 가필드 20대 미국 대통령이 발견한 것도 있다.[13][14]
그뿐만 아니라 정리의 '역'도 성립하는 명제중 하나다. 즉, 삼각형이 직각이라는 것과 저기 위에 식이 성립한다는 것과는 완벽하게 성립한다. 이게 역이 성립한다는 건 피라미드가 세워질 때부터 세계 거의 모든 문화권에서 '''귀납적으로''' 알려져 있었지만 연역적으로 증명하는 건 은근히 어렵다. 당신이 중학교 수학 영재반 이상의 실력이라면 한번 도전해보자.
이 정리 덕에 $$\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$$라는 식을 유도할 수 있다.[15]
피타고라스 정리의 일반화로 제2 코사인 법칙이란 것이 있다. 쉽게 말하자면 '''피타고라스 정리 확장팩'''. 직각삼각형뿐 아니라 모든 삼각형에 대해 성립하는 법칙이다. 위 그림의 기호를 그대로 붙이면 $$c^2=a^2+b^2-2ab$$ $$\cos C$$. $$C=90^{\circ}$$일 때 이 식은 피타고라스 정리가 된다. 제2 코사인 법칙은 2009 개정 교육과정에서 제외되었다가, 2015 개정 교육과정의 수학Ⅰ으로 부활했다.
발전형이 있다. 드 가의 정리라는, 3면이 직각삼각형이고 직각인 꼭짓점이 한 점에 모이는 삼각뿔에서 각각 세 직각삼각형의 넓이의 제곱의 합이 나머지 한 삼각형의 넓이의 제곱이라는 버전.
일반적인 유클리드 공간 $$\mathbb{R}^n$$에서 m(m<n)차원 르베그 가측인 부분집합 $$S$$가 있을 때 $$\mathbb{R}^n$$의 표준기저(standard basis)에서 m개의 원소를 뽑아 만들 수 있는 부분공간 $$W_1, W_2, \cdots, W_x$$에 대하여($$x= _nC_m$$) $$S$$의 $$W_i$$로의 정사영을 $$S_i$$라고 할 때, $$\displaystyle \mu \left(S\right)^2=\sum_{i=1}^{x}\mu \left(S_i\right)^2$$가 성립한다. Donald R. Conant와 William A. Beyer가 증명하였다.
참고로 피타고라스의 정리는 '''유클리드 기하학에서만 성립한다'''. 예를 들어, 구의 표면에 직각삼각형을 그렸을 때에는 피타고라스의 정리는 성립하지 않는다. 유클리드 제5공준의 다른 표현이 피타고라스의 정리란 말도 있는 이상 당연한 결론. 애초에 구면 위에선 '''모든 각이 직각인 삼각형'''도 아무렇지 않게 그릴 수 있다.
피타고라스의 정리에 대한 역사를 다룬 책이 갈릴레오 총서에서 번역되어 나왔다. 제목은 "피타고라스의 정리 4천년 비밀의 역사(원제: The Pythagorean Theorem : A 4,000-Year History)" 관심있으면 구해볼 것.
3. 활용
"증명" 자체는 고대 그리스에서 이루어졌지만, 직각삼각형의 3변 길이 공식 자체는 3800년 전 메소포타미아의 라르사에서 발견된 점토판 Plimton 322(1820–1762 BC)에서 이미 등장했다.# 중국에서는 3000여년 전에 진자란 사람에 의해 '구고현의 정리'로 독자적으로 발견했다. #
$$c^2 = a^2 + b^2$$를 만족하는 세 자연수 $$a, b, c$$를 피타고라스 수(pythagorean triple)[16]라고 한다. 어떤 세 자연수 $$x, y, z$$가 피타고라스 수라면, 그 세 수에 자연수 $$k$$를 각각 곱한 $$kx, ky, kz$$도 피타고라스 수가 된다. 따라서 피타고라스 수 중에서도 세 수가 서로 서로소가 되는 경우가 중요한데, 그 때의 세 수를 원시 피타고라스 수라고 한다. 원시 피타고라스 수는 무한히 존재한다.[17] 하지만 $$c^n = a^n + b^n$$ 에서 자연수 n이 3 이상으로 올라가면 이 방정식을 만족시키는 세 자연수 $$a, b, c$$는 한 쌍도 존재하지 않는다. 이 놀라운 명제를 전세계의 수학자들이 수백년간 증명하려고 했으나 줄줄이 실패하였고, 앤드루 와일스가 최종적으로 증명에 성공하였다. 이 명제를 '''페르마의 마지막 정리'''라고 한다.
피타고라스 수는 이글루스의 덧글 차단 기능과 관련있는 내용이기도 하다(...)
$$\mathsf{Win} = \frac{\mathsf{runs} \ \mathsf{scored}^2}{\mathsf{runs} \ \mathsf{scored}^2 + \mathsf{runs} \ \mathsf{allowed}^2} = \frac{1}{1 + (\mathsf{runs} \ \mathsf{allowed} / \mathsf{runs} \ \mathsf{scored})^2}$$
야구를 원자단위로 분해하는 것을 업으로 하는 세이버메트릭스에서는 팀의 득실점을 가지고 시즌 승률을 예측하는 공식을 개발했는데, 그 공식의 생김새가 피타고라스의 정리와 닮았다 하여 피타고리안 승률이라 부른다. 공식은 위와 같은데 해석을 하자면 '''득점의 제곱/(득점의 제곱+실점의 제곱)'''이다.
한국에서는 천문학자 남병길이 이를 이용한 유씨구고술요도해라는 수학서를 저술했으며, 이 이론을 통해 숭례문, 원각사지 십층석탑, 경복궁 등을 만드는 데도 사용되었다.
행렬에 나오기도 하는데, 단위행렬의 제곱근행렬 중에 피타고라스의 정리를 만족하는 자연수로 이뤄진 행렬이 등장한다.
4. 확장
선형대수학에서는, 내적 공간으로 이 정리를 확장하여 사용한다.
$$\mathbf{u}$$와 $$\mathbf{v}$$가 실벡터로 정의된 내적 공간(real inner product space)에 속하는 직교(orthogonal) 벡터라면, 다음이 성립한다.
$${\left\Vert \mathbf{u} + \mathbf{v} \right\Vert}^2 = {\left\Vert \mathbf{u} \right\Vert}^2 + {\left\Vert \mathbf{v} \right\Vert}^2$$
내적의 값이 0이 되는 직교 벡터의 성질을 활용하면 쉽게 증명할 수 있다. $$\mathbb{R}^{2}$$에서 위 정리를 생각하면 앞서 설명한 2차원 유클리드 공간에서의 피타고라스 정리가 된다.
복소수의 절댓값을 정의할 때에도 쓰인다. 절댓값의 정의가 원점으로부터의 거리이기 때문에 자연스레 나온다.
5. 여담
- 피타고라스 정리가 중학교 3학년에서 중학교 2학년으로 내려간 것에 불만을 가지고 있는 사람이 많다. 기하 문제를 풀이하는 과정에서 피타고라스 정리는 아주 유용한 것 중 하나다. 그런데 공간에서의 피타고라스 정리의 활용 부분이 교육과정에서 제외되고, 평면의 경우에도 제한적으로 사용할 수 있어 관련 심화 문제를 풀이할 때 어려움을 겪는 경우가 많다. 게다가 2020년 코로나19 사태로 인하여 당시 중학교 2학년들은 학교를 안 가서 그 '축소된' 피타고라스 정리도 EBS e학습터로 배운 경우가 매우 많다.
[1] a,b,h라고 쓰기도 한다. h는 빗변('''h'''ypotenuse)을 뜻한다.[2] 이런 꼴의 방정식을 피타고라스 방정식(pythagorean equation)이라고도 한다.[3] 피타고라스가 실제로 이 정리를 증명했는지는 불확실하다. 피타고라스와 동시대 사람들의 기록에는 피타고라스의 수학적 업적에 대한 내용이 없다.[4] 황소 100마리를 바쳤다고.[5] 정확하게 무리수임을 증명한 것으로 기록에 남는것은 유클리드의 증명. 흔히 아는 대표적인 귀류법을 이용한 증명 중 하나이다.[6] 정확히는 신념과 어긋나는 사실을 발견했다는 이유로 비밀을 지키기 위해 살해했다고 한다.[7] 비상에서는 중간고사범위(삼각형의 성질 끝나고), 기타 출판사에서는 기말고사범위(도형의 닮음 끝나고)에서 배운다.[8] 미국은 철저하게 수학을 수준별로 운영해서 수학을 잘 하는 학생들은 8학년 때 기하를 배우지만 수학에 약한 학생은 10학년에 배우는 등 유동적이다.[9] 뭔가 중간에 휙 건너뛴 증명이지만... 삼각형 KAB와 삼각형 CAD의 같음을 이용해서 사각형 ADML와 KACH가 면적이 같음 그리고 같은 원리로 CBFG와 LMEB가 같음을 증명하는 유클리드 증명이다.[10] 어떤 정사각형의 네 변을 a:b의 비율로 나눈 후, 나누어진 네 점을 잇는 한 변의 길이가 c인 새로운 정사각형을 그려서 원래 정사각형을 새로운 정사각형과 4개의 합동인 삼각형으로 구분하고, "원래 정사각형의 넓이 = 새로운 정사각형의 넓이 + 삼각형 4개의 넓이"임을 이용하여 증명하는 방법. 유클리드 증명법과 함께 중학교 수학 피타고라스의 정리 단원에서 다룬다.[11] 강연을 하던 도중 쉬어간다면서 삼각형의 닮음을 이용해 증명했는데, 수학적으로 매우 아름다워서 관중들의 갈채를 받았다고 한다(...).[12] Elisha Scott Loomis가 쓴 ''The Pythagorean Theorem''이란 책이다. 371개의 정리가 수록되어 있다.[13] 이 네임밸류 때문인지 교과서나 참고서에 이 방법이 같이 실려있는 경우가 있다(...)[14] 그런데, 사실 가필드의 증명에 등장하는 사다리꼴을 뒤집어 붙이면 완벽하게 피타고라스의 증명이다.(...)[15] 직각삼각형의 한 각을 $$\theta$$라 하고, $$\theta$$에 대한 밑변의 길이를 $$a$$, 높이를 $$b$$, 빗변을 $$c$$라 하면 $$a^2+b^2=c^2$$가 성립하는데, 여기서 양변을 $$c^2$$로 나누면 $$a^2/c^2+b^2/c^2=1$$, 여기서 $$a/c=\cos \theta$$, $$b/c=\sin \theta$$이니 $$(a/c)^2+(b/c)^2=\cos^2 \theta+\sin^2 \theta=1$$이 된다.[16] '수'라고는 하지만 실제로는 수가 아니다. 피타고라스 정리를 만족하는 수 세 쌍을 묶어놔야 의미를 가지기 때문. 그래서 결과적으로는 이런 묶음(집합)을 원소로 가지는 집합으로 정의되는데 이런 집합을 '''집합족(family of sets)'''이라고 한다.[17] 홀수인 $$a^2$$는 언제나 2n+1의 형태로 나타낼 수 있으며, a와 n은 서로소이다. 따라서, a, n, n+1의 원시 피타고라스 수 묶음의 갯수=홀수의 갯수=무한.