1. 개요
Stieltjes Constants스틸체스 상수는
리만 제타 함수 $$\zeta(x)$$를 $$x=1$$을 기준으로 로랑 급수 전개를 했을 때 볼 수 있는 상수로, 다음 식의 $$\gamma_n$$에 해당한다.
$$\displaystyle \zeta(x)=\frac1{x-1}+\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{n!}\gamma_n(x-1)^n $$
스틸체스 상수는 다음과 같이 극한을 이용해 표현된다.
$$\displaystyle \gamma_n=\lim_{m\to\infty}\left\{\sum_{k=1}^{m}\frac{(\ln k)^n}k-\frac{(\ln m)^{n+1}}{n+1}\right\} $$
특히 $$\gamma_0=\gamma\approx0.5772156649$$는
오일러-마스케로니 상수이다.
2. 값
$$n$$
| $$\gamma_n$$의 근삿값
|
[math(0)]
| $$+0.5772156649015328606065120900824024310421593359$$
|
$$1$$
| $$-0.0728158454836767248605863758749013191377363383$$
|
$$2$$
| $$-0.0096903631928723184845303860352125293590658061$$
|
$$3$$
| $$+0.0020538344203033458661600465427533842857158044$$
|
$$4$$
| $$+0.0023253700654673000574681701775260680009044694$$
|
$$5$$
| $$+0.0007933238173010627017533348774444448307315394$$
|
$$6$$
| $$-0.0002387693454301996098724218419080042777837151$$
|
$$7$$
| $$-0.0005272895670577510460740975054788582819962534$$
|
$$8$$
| $$-0.0003521233538030395096020521650012087417291805$$
|
$$9$$
| $$-0.0000343947744180880481779146237982273906207895$$
|
$$10$$
| $$+0.0002053328149090647946837222892370653029598537$$
|
$$100$$
| $$-4.2534015717080269623144385197278358247028931053\times10^{-17}$$
|
$$1000$$
| $$-1.5709538442047449345494023425120825242380299554\times10^{-486}$$
|
$$10000$$
| $$-2.2104970567221060862971082857536501900234397174\times10^{-6883}$$
|
$$100000$$
| $$+1.9919273063125410956582272431568589205211659777\times10^{-83432}$$
|
$$n$$이 커질수록
절댓값이 대체로 작아지는 것을 알 수 있다. (커지는 경우: $$n=3\rightarrow4$$, $$6\rightarrow 7$$, $$9\rightarrow 10$$, $$\cdots$$)
3. 관련 문서