절댓값
Absolute Value
1. 개요
'절대치'라고도 불리는 함수계의 적들 중 하나. 절대값으로 부르던 시절이 있었으나 사이시옷 규정에 맞게 절댓값으로 부르게 되었다. 위상수학적으로 말하면 유클리드 거리공간에서의 노름.
2. 실수의 절댓값
원 개념은 '음수와 양수에 관계없이 수직선에서 원점으로부터의 거리로 나타내보자!'이다. 실제의 거리는 '''절대 음수로 나타낼 수 없으므로.'''[1]
$$|\pm x| = x \, \mathrm{sgn}(x) = |x|\geq 0 $$
실수 $$x$$에 대해
- $$x > 0$$이면 $$x$$는 +가 되므로, $$|x| = x$$
- $$x < 0$$이면 $$x$$는 -가 되므로, 부호를 바꾸어 +로 만들어야 한다. 따라서 $$|x| = -x$$
- $$x＝0$$은 $$x$$가 원점 자신인 자명한 경우로, $$|x| = 0$$[2]
- 매끄럽다. 즉 미분, 적분을 무한번 할 수 있다.[6]
- 도함수는 부호 함수(Signum function, $$\mathrm{sgn}$$), 이계도함수는 디랙 델타 함수의 두 배이다.[3] 삼계도함수 이후부터는 디랙 델타 함수에 따옴표가 하나씩 추가된다.
- 역도함수는 부호함수가 곱해진 이차함수이다.[4] 이후 적분도 일반적인 다항함수 적분에 부호함수를 붙인 꼴이 된다. [5]
- x에 대한 함수 $$f(x)$$가 매끄럽다면, 절댓값을 씌운 $$|f(x)|$$도 매끄럽다.
- $$\dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}|f(x)| = (\mathrm{sgn} \circ f)(x) \cdot f'(x)$$
- $$\dfrac{\mathrm{d}^2}{\mathrm{d}x^2}|f(x)| = (\mathrm{sgn} \circ f'')(x) + 2(\delta \circ f)(x) [ f'(x) ]^2$$
- $$\displaystyle \int | f(x) |\,\mathrm{d}x = (\mathrm{sgn} \circ f)(x) \int f(x) + C$$
- $$\dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}|f(x)| = (\mathrm{sgn} \circ f)(x) \cdot f'(x)$$
중등 수학 1학년 1학기에서 처음 배우는 내용이며 처음 배울 때 왜 -x가 양수가 되는 경우가 존재하는지 이해하지 못하는 학생이 많다. -는 수의 부호를 바꿔주는 의미가 있다는 사실을 숙지하고 있으면, 음수에 -를 붙이면 양수가 된다는 사실을 쉽게 받아들일 수 있다. 마이너스 표시만 있다고 무조건 음수가 되는 게 아니다! 절댓값에 대해 쉽게 설명한 영상.
주로 나오는 유형은
- 함수 전체에 절댓값이 있는경우: 예) $$y=|x^2+5x+6|$$ 그래프를 그려서 y<0인 부분은 y=0(x축)에 대칭이동 시킨다.
- 변수가 절댓값인 경우: 예) $$y=|x|^2+5|x|+6$$에 x를 넣고 x≥0인 부분을 x=0(y축)에 대칭이동 시킨다.
- 각각에 절댓값이 있는 경우 : 예) $$|x|+2|y|=4$$ (마름모) 1사분면 (x,y축의 양의 방향 포함)의 모양을 (x, y)=(0, 0), 즉 원점에 대칭이동 시킨다.
- 절댓값 안이 다른경우: 예) $$y=|x-5|+|x+5|$$ 절댓값 안이 0이 나오는 값(여기선 x=±5)를 경계로 나누어서 푼다. $$x<-5$$ 면 $$-2x, -5
[image]
수능 기출에도 종종 등장하는 등 절댓값은 중요하니 챙겨주자. 또 절댓값의 원리는 루트, 제곱에서도 등장하니 잘 알아두는 게 좋다.
3. 복소수의 절댓값($$|z|$$)
이 '원점으로부터의 거리'라는 절댓값의 정의를 이용하여 복소수에도 절댓값을 도입할 수 있다. $$ z = a+bi $$ ($$ i $$는 허수단위)꼴의 복소수는 복소평면 상의 (a, b)라는 점으로 나타낼 수 있는데, 이 점과 원점 사이의 거리인 $$ \sqrt{ \Re(z)^2 + \Im(z)^2} = \sqrt{ a^2 + b^2} $$ 이 복소수의 절댓값이 되는 것이다. 이 값은 $$\sqrt{z\bar{z}} $$와 같다. $$ \bar{z} $$는 $$ z $$의 켤레복소수(complex conjugate) $$ a-bi $$이다.
단, 실수에서와 다르게 복소수에서의 절댓값 함수는 모든 복소수에서 '''미분가능하지 않다'''.
4. 집합의 절댓값($$|S|$$)
집합의 절댓값은 해당 집합에 딸려 있는 원소의 개수를 뜻하며, '''기수#s-8'''라고도 한다. 무한집합의 경우에도 성립한다.
5. 행렬의 절댓값($$|A|$$)
행렬에도 절댓값을 정의할 수 있는데 이는 행렬식으로 나타낼 수 있다. 자세한 사항은 행렬식 참조.
수의 절댓값이나 기수와는 달리, 행렬식의 값은 음수가 나올 수 있다.
[1] 대표적인 예가 삼각함수의 사분면에 따른 삼각함수의 음수 양수 여부다. 비록 x 좌표값과 y 좌표값은 음수가 될 수 있지만, 그 빗변(다시 말해 분모)은 절대 음수가 될 수 없으므로 사분면에 따른 사인과 코사인의 음,양수가 다양하게 된다.(탄젠트는 x, y 좌표값에만 영향을 받는다.)[2] 그냥 부등호를 $$0≤x$$와 $$0>x$$로 나누는게 계산하기 편하다.[3] $$\dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}|x| = \mathrm{sgn}(x), \dfrac{\mathrm{d}^2}{\mathrm{d}x^2}|x| = \dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\mathrm{sgn}(x) = 2\delta(x)$$[4] $$\displaystyle \int |x| \ \mathrm{d}x = \frac{x^2}{2} \mathrm{sgn} \left( x \right) + C$$[5] n번 적분한 함수는 적분 상수를 0으로 두고 계산하면 $$\dfrac{x^{n}}{(n+1)!}|x|$$ 또는 $$\dfrac{x^{n+1}}{(n+1)!}\mathrm{sgn}(x)$$ 이 된다.[6] 다만 절댓값의 매끄러움을 보이려면 분포(Distribution) 개념이 필요하다. 절댓값의 미분이 왜 디랙 델타 함수로 가는가에 대한 수학적 연결고리를 만들어야 하기 때문. 이 때문인지 고등학교 수학에서는 일절 다뤄지지 않는 성질이고 오히려 미분 불가능이라고 가르치는 경우가 많다. 고등학교 수학에서 절댓값이 미분 불가능하다고 가르치는 것은 중학교 수학에서 복소수를 가르치지 않아 이차방정식 $$x^2 + a = 0 \ (a > 0)$$ 의 근이 없다고 가르치는 것과 비슷하다.