1. 개요
Euler–Mascheroni constant오일러-마스케로니 상수는
오일러가 발견하고 마스케로니에 의해 더 자세한 값이 밝혀진 수로,
조화급수와 그 근사 함수인
자연로그의 차의 극한에 해당하며 그 값은 약 $$0.577216$$ 이다. 최초 발견자인 오일러의 이름을 따 오일러 상수(Euler's constant)라 불리는 경우도 있으나,
자연로그의 밑,
오일러 수열 등 비슷한 이름의 다른 수가 워낙 많아 헷갈릴 여지가 있어 마스케로니의 이름까지 같이 붙여주는 게 일반적이다. 대부분의 수학자들에게는
무리수이자
초월수로 추측되지만 무리수인지에 대한 증명조차 이루어지지 않았다. 일반적으로 $$\gamma$$로 표기된다.
초월수(정확히는 초월수로 강하게 예측되는 수) 중에서는 가장 정의가 단순한 편이며, 스티븐 R. 핀치는 그의 저서 '수학 상수(Mathematical Constants)'에서 이 상수를
원주율,
자연로그의 밑 다음으로 중요한 상수라고 언급했다. $$\gamma$$의 자연지수값인 $$e^\gamma$$ 또한
정수론 분야에서 자주 등장한다.
파인만 포인트와 비슷한 지점이 꽤 있다.
2. 역사
오일러는 <조화급수에 대한 관찰>(De Progressionibus harmonicis observationes, 1734)이라는 논문에서 조화급수의 발산 양상이 자연로그의 발산 양상과 유사함을 증명하고 그 차를 $$C$$로 나타냈으며 값은 $$0.\mathbf{57721}8$$ 정도임을 보였다.
[1] 뒤이어 이탈리아의 수학자 로렌초 마스케로니는 <오일러의 적분 계산에 대한 주석>(Adnotationes ad calculum integralem Euleri, 1790)이라는 논문에서 $$A$$라는 기호로 나타냈고 그 값이 $$0.\mathbf{5772156649015328606}181\mathbf{12090082}39$$라 계산
[2] 20~22번째, 31~32번째 자리는 틀린 값이다.
하였다. 여기까지 보면 알겠지만 '''둘 다 $$\gamma$$라는 기호를 쓴 적이 없음'''을 알 수 있다. 1835년이 되어서야 독일의 수학자 카를 안톤 브레치나이더(Carl Anton Bretschneider)에 의해
감마함수와의 밀접한 관계가 밝혀지면서 $$\gamma$$라는 기호가 부여되었다.
3. 정의
[math(\displaystyle \begin{aligned} \gamma &= \lim_{n \to \infty} \left( \sum_{k=1}^n \frac 1k - \ln n \right) \\
&= \lim_{n \to \infty} \left( \sum_{k=1}^n \frac 1k - \int_1^n \frac{\mathrm{d}k}k \right) \\
&= \sum_{n=1}^\infty \left\{ \frac 1n - \ln \left( 1+ \frac 1n \right) \right\} \\
&= \int_1^\infty \left( \frac 1{\lfloor x \rfloor} - \frac 1x \right) \mathrm{d}x \\
&= \iint_{(0,1)^2} \frac{1-t^x}{1-t} \,\mathrm{d}t \,\mathrm{d}x \\
&= \iint_{(0,1)^2} -\frac{1-t}{(1-tx)\ln(tx)} \,\mathrm{d}t \,\mathrm{d}x \\
&= 0.57721566490153286060 \cdots \end{aligned})]
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어떻게 저 값이 상수가 되는지는
여기를 참고. 첫 번째 식이 가장 널리 알려진 표현이며 두 번째 식은 자연로그를 적분식으로 바꿔준 꼴인데 본 상수가 $$\dfrac 1x$$의 이산적 합과 연속적 합의 차임을 알 수 있다. 세 번째, 네 번째 식은 극한을 생략한 표기로써 두 번째 식을 다르게 표현한 것에 불과하다. 다섯 번째, 여섯 번째 식은
조화수의 적분 정의식에서 유도되는 관계이다.
[3] 여섯 번째 식은 따로 하지코스타스 정리라는 이름이 붙어 있다.
참고로 $$\lfloor \cdot \rfloor$$는
바닥함수를 나타내는 기호이다.
전술한대로 이 상수는
감마함수와 밀접한 관련이 있다. 감마함수의 단순항꼴의 양변에 자연로그를 씌우고 미분해주면 다음과 같은 식을 얻는다.
[math(\displaystyle \begin{aligned} \Gamma(z) &= \lim_{n \to \infty} \frac{n!\cdot n^z}{\displaystyle \prod_{k=0}^n (z+k)} \\
\ln \Gamma(z) &= \ln \lim_{n \to \infty} \frac{n!\cdot n^z}{\displaystyle \prod_{k=0}^n(z+k)} = \lim_{n \to \infty} \ln \frac{n!\cdot n^z}{\displaystyle \prod_{k=0}^n(z+k)} = \lim_{n \to \infty} \left\{\ln(n!) + z \ln n - \sum_{k=0}^n \ln(z+k) \right\} \\
\therefore \frac{\Gamma'(z)}{\Gamma(z)} &= \lim_{n \to \infty} \left\{\ln n - \sum_{k=0}^n \frac 1{z+k} \right\} \end{aligned})]
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여기서 $$z=1$$을 대입하면 $$\Gamma(1) = (1-1)! = 0! = 1$$이므로 다음의 결과를 얻는다.
$$\displaystyle \begin{aligned} \Gamma'(1) &= \lim_{n \to \infty} \left\{\ln n - \sum_{k=0}^n \frac 1{1+k} \right\} = \lim_{n \to \infty} \left\{\ln n - \sum_{k=1}^{n+1} \frac 1k \right\} = \lim_{n \to \infty} \left\{\ln n - \sum_{k=1}^n \frac 1k - \frac 1{n+1} \right\} \\ &= -\gamma \end{aligned}$$
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즉, $$\gamma = -\Gamma'(1)$$이 된다.
한편,
감마함수의 적분꼴은 다음과 같으며 $$-\Gamma'(1)$$을 계산해주면 다음과 같은 형태의 적분꼴을 얻는다.
[math(\displaystyle \begin{aligned} \Gamma(z) &= \int_0^\infty x^{z-1} e^{-x} \,\mathrm{d}x = \int_0^\infty e^{\ln x^{z-1}} e^{-x} \,\mathrm{d}x = \int_0^\infty e^{(z-1) \ln x} e^{-x} \,\mathrm{d}x \\
\Gamma'(z) &= \int_0^\infty {(z-1) \ln x}' e^{(z-1) \ln x} e^{-x} \,\mathrm{d}x = \int_0^\infty(\ln x) e^{(z-1) \ln x} e^{-x} \,\mathrm{d}x = \int_0^\infty x^{z-1} e^{-x} \ln x \,\mathrm{d}x \\
\therefore \gamma &= -\Gamma'(1) = -\int_0^\infty e^{-x} \ln x \,\mathrm{d}x \end{aligned})]
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치환 적분을 이용하면 다음과 같은 다른 형태의 적분꼴들도 유도할 수 있다.
- $$u = e^{-x} $$로 두면 $$\mathrm{d}u = -e^{-x} \,\mathrm{d}x $$이고, $$x \to 0$$, $$x \to \infty$$일 때 각각 $$u \to 1$$, $$u \to 0$$이므로
$$\displaystyle \gamma = -\int_0^\infty e^{-x} \ln x \,\mathrm{d}x = \int_1^0 \ln( -\ln u)\mathrm{d}u = -\int_0^1 \ln \left( \ln \frac 1u \right)\mathrm{d}u$$
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- $$t = \ln x $$로 두면 $$e^t = x$$에서 $$e^t \,\mathrm{d}t=\mathrm{d}x$$이고, $$x \to 0$$, $$x \to \infty$$일 때 각각 $$t \to -\infty$$, $$t \to \infty$$이므로
$$\displaystyle \gamma = -\int_0^\infty e^{-x} \ln x \,\mathrm{d}x = -\int_{-\infty}^\infty te^{t-e^t} \,\mathrm{d}t$$
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4. 이 수는 유리수인가 무리수인가
1986년 이 수가
유리수인지
무리수인지에 대한 질문이 제기되었고, 이는 현재까지 풀리지 않은 난제이다. 다만 수학자들은 이 상수가
초월수[4] 정수계수 대수다항식의 해가 될 수 없는 수. 초월수이면 절대 유리수가 될 수 없다.
일 것으로 예상하고 있다.
2003년에
연분수 분석법을 이용하여, 오일러-마스케로니 상수가
유리수일 경우 그 분모는 $$10^{242080}$$이 넘는다는 것을 밝혔다. '''그리고 나서 감감 무소식.'''
여튼 이런지라 현 시점에서는
디리클레 함수[5]를 취한 $$\bold{1}_{\mathbb{Q}}(\gamma)$$ 의 값은 '''부정'''이다.
5. 값
- 소수점 이하 10000자리 [접기 · 펼치기]
0.5772156649 0153286060 6512090082 4024310421 5933593992 3598805767 2348848677 2677766467 0936947063 2917467495
1463144724 9807082480 9605040144 8654283622 4173997644 9235362535 0033374293 7337737673 9427925952 5824709491
6008735203 9481656708 5323315177 6611528621 1995015079 8479374508 5705740029 9213547861 4669402960 4325421519
0587755352 6733139925 4012967420 5137541395 4911168510 2807984234 8775872050 3843109399 7361372553 0608893312
6760017247 9537836759 2713515772 2610273492 9139407984 3010341777 1778088154 9570661075 0101619166 3340152278
9358679654 9725203621 2879226555 9536696281 7638879272 6801324310 1047650596 3703947394 9576389065 7296792960
1009015125 1959509222 4350140934 9871228247 9497471956 4697631850 6676129063 8110518241 9744486783 6380861749
4551698927 9230187739 1072945781 5543160050 0218284409 6053772434 2032854783 6701517739 4398700302 3703395183
2869000155 8193988042 7074115422 2781971652 3011073565 8339673487 1765049194 1812300040 6546931429 9929777956
9303100503 0863034185 6980323108 3691640025 8929708909 8548682577 7364288253 9549258736 2959613329 8574739302
3734388470 7037028441 2920166417 8502487333 7908056275 4998434590 7616431671 0314671072 2370021810 7450444186
6475913480 3669025532 4586254422 2534518138 7912434573 5013612977 8227828814 8945909863 8460062931 6947188714
9587525492 3664935204 7324364109 7268276160 8775950880 9512620840 4544477992 2991572482 9251625127 8427659657
0832146102 9821461795 1957959095 9227042089 8962797125 5363217948 8737642106 6060706598 2561990102 8807561251
9913751167 8217643619 0570584407 8357350158 0056077457 9342131449 8850078641 5171615194 5657061704 3245075008
1687052307 8909370461 4306684817 9164968425 4915049672 4312183783 8753564894 9508684541 0234060162 2508515583
8672349441 8788044094 0770106883 7951113078 7202342639 5226920971 6088569083 8251137871 2836820491 1789259447
8486199118 5293910293 0990592552 6691727446 8920443869 7111471745 7157457320 3935209122 3160850868 2755889010
9451681181 0168749754 7096936667 1210206304 8271658950 4932731486 0874940207 0067425909 1824875962 1373842311
4426531350 2923031751 7225722162 8324883811 2458957438 6239870375 7662855130 3314392999 5401853134 1415862127
8864807611 0030152119 6578006811 7773763501 6818389733 8966398689 5793299145 6388644310 3706080781 7448995795
8324579418 9620260498 4104392250 7860460362 5277260229 1968299586 0988339013 7871714226 9178838195 2984456079
1605197279 7360475910 2510995779 1335157917 7225150254 9293246325 0287476779 4842158405 0759929040 1855764599
0186269267 7643726605 7117681336 5590881554 8107470000 6233637252 8894955463 6971433012 0079130855 5263959549
7823023144 0391497404 9474682594 7320846185 2460587766 9488287953 0104063491 7229218580 0870677069 0427926743
2844469685 1497182567 8095841654 4918514575 3319640633 1199373821 5734508749 8832556088 8873528019 0191550896
8855468259 2454445277 2817305730 1080606177 0113637731 8246292466 0081277162 1018677446 8495951428 1790145111
9489342288 3448253075 3118701860 9761224623 1767497755 6412461983 8564014841 2358717724 9554224820 1615176579
9408062968 3424289057 2594739269 6386338387 4380547131 9676429268 3724907608 7507378528 3702304686 5034905120
3422721743 6689792848 6297290889 2678977703 2624623912 2618887653 0057786274 3606094443 6039280977 0813383693
4235508583 9411267092 1873441451 2187803276 1505094780 5546630058 6845563152 4546053151 1325281889 1079231491
3110323443 0245093345 0003076558 6487422297 1770033178 4539150566 9401599884 9291609114 0029486902 0884853816
9700955156 6347055445 2217640358 6293982865 8131238701 3253588006 2568662692 6997767737 7306832269 0091608510
4515002261 0718025546 5928493894 9277595897 5407615599 3378264824 1979506418 6814378817 1850885408 0367996314
2395400919 6438875007 8900000627 9979428098 8637299259 1977765040 4099220379 4042761681 7837156686 5306693983
0916524322 7059553041 7667366401 1679295901 2930537449 7183080042 7584863508 3808042466 7350935598 3232411696
9214860649 8927636244 3295885487 3789701489 7133435384 4800289046 6650902845 3768962239 8304881406 2730540879
5911896705 7493854432 4786914808 5337702640 6775808127 5458731117 6364787874 3073920664 2011251352 7274996175
4505308558 2356683068 3229176766 7704103523 1535032510 1246563861 5670644984 7132695969 3301678661 3833333344
1657900605 8674971036 4689517456 9597181553 7640783776 5018427834 5991842015 9954314490 4772555230 6147670165
9934163906 6091205400 5322158902 0913408027 8225153385 2899511665 4522458691 8599367122 0132150144 8014242309
8625460448 8672569343 1488704915 9304464018 9164502022 4054953862 9184758629 3077889350 6437715966 0690960468
1243702305 4657031606 7999258716 6675247219 4097779801 8636262563 3582526279 4223932548 6013269353 0701388937
4369238428 7893851276 4740856548 6502815630 6774044220 3064403756 8263091029 1751457223 4441050369 3177114521
7088890744 6416048688 7010838623 1142612844 1425960956 3704006192 0057933503 4155242624 0262064656 9354306125
8526583452 1921214977 7187806958 6608516334 9221048367 3799459259 4340379560 0021927854 1837941776 0203365594
6730788798 3808481631 4678241492 3546491488 7668336840 7492893865 2818630485 8982035481 8624383848 1759976358
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|
6. 사용
특수함수 중 하나인
지수 적분 함수 $$\mathrm{Ei}(x)$$와
로그함수의
라플라스 변환,
감마함수,
제타함수,
쌍곡 코사인 적분,
스틸체스 상수 등에서 접할 수 있다.
7. 관련 문서