시어핀스키 사각형

 




1. 개요
2. 상세
2.1. 성질
3. 관련 문서


1. 개요

Sierpinski carpet ・ Sierpinski 四角形
[image]
'''시어핀스키 사각형의 모습'''
'''시어핀스키 사각형'''은 폴란드의 수학자 바츨라프 시어핀스키(Waclaw Sierpinski, 1882~1969)가 창작한 프랙탈 도형이며, 그의 이름을 따 시어핀스키 사각형('시어핀스키 카펫'이라고도 한다.)이라고 한다.
멩거 스펀지의 2차원 버전이라고 할 수 있다. 멩거 스펀지의 한 면은 정확히 시어핀스키 사각형이다.

2. 상세

[image]
  • 1단계: 한 변의 길이가 1인 정사각형을 가로, 세로를 3등분하여, 9등분하고, 가운데 한 등분을 지운다.
  • 2단계: 남은 8등분의 정사각형에 대하여 1단계와 같이 행한다.
  • 이후의 단계는 전 단계에 남은 정사각형에 대하여 1단계와 같이 행하면 된다.

2.1. 성질

아무런 조작을 하지 않은 처음의 정사각형을 0단계이라고 하자. 앞서 말한 조작을 한 번 하는 것을 하나의 '단계'로 하자. 그러면 다음과 같이 된다.
'''단계'''
'''해당 단계에서 제거되는 정사각형'''
'''해당 단계까지 제거되는'''
'''총 넓이'''
'''한 개의 넓이'''
'''총 개수'''
[math(0)]
[math(0)]
[math(0)]
$$1$$
$$1$$
$$\displaystyle\frac{1}{9}$$
$$1$$
$$\displaystyle{1-\frac{8}{9}}$$
$$2$$
$$\displaystyle\left(\frac{1}{9}\right)^2$$
$$8$$
$$\displaystyle{1-\left(\frac{8}{9}\right)^2}$$
$$3$$
$$\displaystyle\left(\frac{1}{9}\right)^3$$
$$8^2$$
$$\displaystyle{1-\left(\frac{8}{9}\right)^3}$$
$$\vdots$$
$$n$$
$$\displaystyle\left(\frac{1}{9}\right)^n$$
$$8^{n-1}$$
$$\displaystyle{1-\left(\frac{8}{9}\right)^n}$$
각 단계에서 제거되는 정사각형들은 모두 합동이므로, 정사각형 한 개의 넓이와 총 개수를 곱하면 총 넓이가 된다. 따라서, $$n$$단계에서 제거되는 총 넓이는

$$ \displaystyle \left(\frac{1}{9}\right)^{n}·8^{n-1}=\left(\frac{8}{9}\right)^{n}·\frac{1}{8}$$

분류

이다. 이에 따라, '''처음부터 $$\boldsymbol{n}$$단계까지''' 제거되는 총 넓이 $$\Delta S_{n}$$를 구할 수 있다. 이는

$$ \displaystyle \begin{aligned} \Delta S_{n}&=\sum_{k=1}^n\left[\left(\frac{8}{9}\right)^{k}·\frac{1}{8}\right] \\&=\frac{1}{8}·\frac{8}{9}·{\cfrac{1-\left( \dfrac{8}{9} \right)^{n}​}{1-\dfrac{8}{9} }} \\& =1-\left(\frac{8}{9}\right)^n \end{aligned}$$

분류

따라서 0단계의 총 넓이 1에서 $$\Delta S_{n}$$를 빼면, 단계 $$n$$의 총 넓이

$$ \displaystyle \begin{aligned} S_{n}&=1-\Delta S_{n}\\&=\left(\frac{8}{9}\right)^n \end{aligned} $$

분류

해당 단계를 무한히 반복하면,

$$ \displaystyle \lim_{n \to \infty}S_{n}=0 $$

분류

이므로, 결국 시어핀스키의 사각형은 조작을 무한히 거듭한다면 넓이가 0에 수렴한다.

2.2. 하우스도르프 차원

분류



3. 관련 문서

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