정사각형
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1. 정의
네 변#s-3의 길이와 네 각이 모두 같은 사각형. 따라서 정사각형은 볼록다각형이다.
2. 성질
- 두 쌍의 대변#s-5이 각각 평행
- 두 대각선이 중점에서 교차
- 두 대각선의 길이가 같음
- 두 대각선이 서로를 이등분
- 두 대각선이 수직
- 한 대각선이 도형을 이등분, 이등분된 도형들은 합동인 직각삼각형
- 두 대각선이 도형을 사등분, 사등분된 도형들은 합동인 직각삼각형
- 합동인 두 도형으로 등분하는 방법이 무수히 많음
- 내접원과 외접원이 모두 존재
- 두 원의 중심은 모두 정사각형의 두 대각선의 교점
- 모든 정사각형은 서로 닮음
- 쌍대는 닮음 관계의 자기 자신
- 2차원 이상의 도형 중 유일하게 초입방체이자 정축체[1]
3. 다른 도형과의 관계
3.1. 사각형
정사각형은 네 각이 모두 같으므로 직사각형이다. 두 쌍의 대변이 각각 평행하므로 사다리꼴이며, 평행사변형이다. 또한 대각선의 길이까지 같으므로 등변 사다리꼴이며, 네 변의 길이가 모두 같으므로 마름모이다. 정사각형만이 직사각형인 동시에 마름모이다.
3.2. 정팔각형
정사각형의 네 꼭짓점으로부터 직각삼각형을 적당히 깎아내면 정팔각형을 만들 수 있다.
4. 공식
- $$\textsf{\footnotesize{(넓이)}}=\textsf{\footnotesize{(한 변)}}^2$$
- $$\textsf{\footnotesize{(둘레)}}=\textsf{\footnotesize{(한 변)}}\times 4$$
- 모든 각이 직각이므로 피타고라스 정리에 의하여 $$\textsf{\footnotesize{(대각선)}}=\sqrt{\textsf{\footnotesize{(한 변)}}^2\times 2}=\textsf{\footnotesize{(한 변)}}\times\sqrt 2$$
5. 복소평면
1의 네제곱근인 1, -1, $$i$$, [math(-i)]를 선으로 이으면 한 변의 길이가 $$\sqrt2$$인 정사각형이 된다.
6. 행렬
행의 개수와 열의 개수가 같아서 정사각형 모양으로 나타나는 행렬을 '''정사각행렬''' 또는 '''정방행렬'''이라고 한다.
7. 프랙탈 이론
시어핀스키 사각형은 정사각형에서 출발하는 프랙탈 도형이다.
8. 언어별 명칭
- 한국어: 정사각형(正四角形), 정방형(正方形), 바른네모(꼴)
- 중국어: 正四边形[zhèngsìbiānxíng], 正方形[zhèngfāngxíng]
- 일본어: 正四角形(せいしかくけい), 正方形(せいほうけい)
- 영어: square
영어에서는 그저 square라고 한다. 정사각형의 넓이는 한 변의 제곱이라는 점에서, square에는 '제곱', '제곱하다'라는 뜻도 있다.