시어핀스키 삼각형

 




1. 개요
2. 상세
4. 관련 문서


1. 개요


Sierpinski triangle ・ Sierpinski
[image]
'''시어핀스키 삼각형의 모습'''
'''시어핀스키 삼각형'''은 폴란드수학자 바츨라프 시어핀스키(Waclaw Sierpinski; 1882-1969)가 창작한 프랙탈 도형이다. 그의 이름을 따 '시어핀스키 삼각형'이라고 하며, '시어핀스키 개스킷'이라고도 한다. 간혹 '시에르핀스키'라고도 표기한다.

2. 상세


[image]
  • 1단계: 한 변의 길이가 1인 정삼각형의 각 중점을 이어 4등분된 정삼각형 중 가운데 1개를 지운다.
  • 2단계: 남은 3등분의 정삼각형에 대하여 1단계와 같이 행한다.
  • 이후의 단계는 전 단계에 남은 정삼각형에 대하여 단계 1과 같이 행한다.

2.1. 성질


아무런 조작을 하지 않은 처음의 정삼각형을 0단계라고 하자. 앞서 말한 조작을 한 번 하는 것을 하나의 '단계'로 하자. 각 단계의 정삼각형들은 모두 합동이므로

(정삼각형의 개수)$$\,\times\,$$(한 정삼각형의 넓이)$$\,=\,$$(정삼각형들의 총 넓이)
가 된다. 곧,
'''단계'''
'''정삼각형의 개수'''
'''한 정삼각형의 넓이'''
'''정삼각형들의 총 넓이'''
[math(0)]
$$1$$
$$\displaystyle\frac{\sqrt{3}}{4}$$
$$\displaystyle\frac{\sqrt{3}}{4}$$
$$1$$
$$3$$
$$\displaystyle\frac{\sqrt{3}}{4}·\frac{1}{4}$$
$$\displaystyle\frac{\sqrt{3}}{4}·\frac{3}{4}$$
$$2$$
$$3^2$$
$$\displaystyle\frac{\sqrt{3}}{4}·\left(\frac{1}{4}\right)^2$$
$$\displaystyle\frac{\sqrt{3}}{4}·\left(\frac{3}{4}\right)^2$$
$$3$$
$$3^3$$
$$\displaystyle\frac{\sqrt{3}}{4}·\left(\frac{1}{4}\right)^3$$
$$\displaystyle\frac{\sqrt{3}}{4}·\left(\frac{3}{4}\right)^3$$
$$\vdots$$
$$n$$
$$3^n$$
$$\displaystyle\frac{\sqrt{3}}{4}·\left(\frac{1}{4}\right)^n$$
$$\displaystyle\frac{\sqrt{3}}{4}·\left(\frac{3}{4}\right)^n$$
따라서 조작을 무한히 거듭한다면, 정삼각형의 개수는 무한히 많아지고, 한 정삼각형의 넓이는 0에 수렴하고, 정삼각형들의 총 넓이는 0에 수렴한다. 이는 무한대로 발산하는 수열과 0으로 수렴하는 수열의 각 항을 곱하여 나온 수열이 0으로 수렴하는 예가 된다. 흔히 말하는, $$\infty×0$$ 꼴의 부정형이 0으로 수렴하는 극한이다.

2.2. 하우스도르프 차원




3. 파스칼의 삼각형과의 관계


특정 규칙에 따라 파스칼의 삼각형의 수를 색칠하면 시어핀스키 삼각형과 유사한 모양이 나온다.#

4. 관련 문서


  • 수학 관련 정보
  • 기하학
  • 프랙탈 이론
  • 시어핀스키 사각형
  • [1]
[1] 1단계 시어핀스키 삼각형과 비슷하게 생겼다. 시어핀스키 삼각형을 보고 이걸 떠올리는 사람도 굉장히 많다.