시어핀스키 삼각형

1. 개요

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Sierpinski triangle ・ Sierpinski 三角形

'''시어핀스키 삼각형의 모습'''

'''시어핀스키 삼각형'''은 폴란드의 수학자 바츨라프 시어핀스키(Waclaw Sierpinski; 1882-1969)가 창작한 프랙탈 도형이다. 그의 이름을 따 '시어핀스키 삼각형'이라고 하며, '시어핀스키 개스킷'이라고도 한다. 간혹 '시에르핀스키'라고도 표기한다.

2. 상세

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• 1단계: 한 변의 길이가 1인 정삼각형의 각 중점을 이어 4등분된 정삼각형 중 가운데 1개를 지운다.
• 2단계: 남은 3등분의 정삼각형에 대하여 1단계와 같이 행한다.
• 이후의 단계는 전 단계에 남은 정삼각형에 대하여 단계 1과 같이 행한다.

2.1. 성질

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아무런 조작을 하지 않은 처음의 정삼각형을 0단계라고 하자. 앞서 말한 조작을 한 번 하는 것을 하나의 '단계'로 하자. 각 단계의 정삼각형들은 모두 합동이므로

(정삼각형의 개수)$$\,\times\,$$(한 정삼각형의 넓이)$$\,=\,$$(정삼각형들의 총 넓이)

가 된다. 곧,

'''단계'''	'''정삼각형의 개수'''	'''한 정삼각형의 넓이'''	'''정삼각형들의 총 넓이'''
[math(0)]	$$1$$	$$\displaystyle\frac{\sqrt{3}}{4}$$	$$\displaystyle\frac{\sqrt{3}}{4}$$
$$1$$	$$3$$	$$\displaystyle\frac{\sqrt{3}}{4}·\frac{1}{4}$$	$$\displaystyle\frac{\sqrt{3}}{4}·\frac{3}{4}$$
$$2$$	$$3^2$$	$$\displaystyle\frac{\sqrt{3}}{4}·\left(\frac{1}{4}\right)^2$$	$$\displaystyle\frac{\sqrt{3}}{4}·\left(\frac{3}{4}\right)^2$$
$$3$$	$$3^3$$	$$\displaystyle\frac{\sqrt{3}}{4}·\left(\frac{1}{4}\right)^3$$	$$\displaystyle\frac{\sqrt{3}}{4}·\left(\frac{3}{4}\right)^3$$
$$\vdots$$
$$n$$	$$3^n$$	$$\displaystyle\frac{\sqrt{3}}{4}·\left(\frac{1}{4}\right)^n$$	$$\displaystyle\frac{\sqrt{3}}{4}·\left(\frac{3}{4}\right)^n$$

따라서 조작을 무한히 거듭한다면, 정삼각형의 개수는 무한히 많아지고, 한 정삼각형의 넓이는 0에 수렴하고, 정삼각형들의 총 넓이는 0에 수렴한다. 이는 무한대로 발산하는 수열과 0으로 수렴하는 수열의 각 항을 곱하여 나온 수열이 0으로 수렴하는 예가 된다. 흔히 말하는, $$\infty×0$$ 꼴의 부정형이 0으로 수렴하는 극한이다.

2.2. 하우스도르프 차원

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• 시어핀스키 삼각형의 하우스도르프 차원은 다음과 같다.

3. 파스칼의 삼각형과의 관계

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특정 규칙에 따라 파스칼의 삼각형의 수를 색칠하면 시어핀스키 삼각형과 유사한 모양이 나온다.#

4. 관련 문서

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• 수학 관련 정보
• 기하학
• 프랙탈 이론
• 시어핀스키 사각형
• [1]

[1] 1단계 시어핀스키 삼각형과 비슷하게 생겼다. 시어핀스키 삼각형을 보고 이걸 떠올리는 사람도 굉장히 많다.