에르미트 행렬
1. 개요
복소수체 위의 행렬#s-2 $$A$$에 대해 $$A$$의 각 원소에 켤레를 취한 행렬을 '$$A$$의 켤레 행렬(conjugate of $$A$$)'이라 하고 $$\bar{A}$$로 표기한다. 또 $$A$$의 전치행렬을 $$A^{T}$$로 표기한다. 이 때 $$\overline{A^{T}}$$=$$\bar{A}^{T}$$[1]를 $$A^{\dagger}$$[2]라 표기하고 '$$A$$의 켤레 전치 행렬(conjugate transpose of $$A$$)' 혹은 에르미트 전치 행렬(Hermitian transpose)이라고 한다.
이제 복소수체 위의 행렬 $$H$$가 $$H=H^{\dagger}$$을 만족할 때 $$H$$를 '''에르미트 행렬'''(Hermitian Matrix)이라고 부른다.
에르미트 행렬은 다음 두 가지 성질을 만족하는데, 스펙트럼 정리의 일부분이다.
1. 고윳값들은 항상 실수이다.
2. 고유벡터들은 항상 직교한다.
2. 기타
- 수반 연산자 문서에서 Hermitian에 대한 전반적인 성질과 재해석을 다룬다.
- 철자가 비슷한 Hamiltonian($$\mathcal{H}$$)과 헷갈리기 쉽다. 게다가 에르미트 행렬은 해밀토니안과 상당히 가까운 관계이기까지 하다.[3]
[1] 물론 항상 성립한다.[2] 분야에 따라 표기가 다른데 순수수학에서는 별표($$\ast$$)를 쓰고, 물리학에서는 칼표($$\dag$$)를 쓴다.[3] 물론 수학적으로는 전혀 비슷하진 않다. 에르미트 행렬은 따지고 보면 그냥 선형사상에 불과하지만 해밀토니안은 범함수이기 때문이다.