연속변형성

1. 개요

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▲ '''연속변형'''의 일종인 '''경로 연속변형'''. 출처

Homotopy · 連續變形(性)
'''연속변형성''' 혹은 '''연속변형'''은 대수적 위상수학의 연구 주제 중 하나로 특정 위상공간에 주어진 두 연속함수 사이의 연속적인 변화를 주는 함수, 혹은 그 성질을 지칭하는 용어이다.

2. 정의

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'''[ 정의 ]''' 연속변형성(Homotopy) 위상 공간 $$X, Y$$와 연속함수 $$f, g: X \rightarrow Y$$가 주어져 있다고 하자. 이 때 함수 $$H: X \times [0, 1] \rightarrow Y$$가 존재하여 다음 성질들을 만족한다면, 두 연속함수 $$f, g$$가 '''$$H$$에 의해 연속변형적(homotopic by $$H$$)'''이라 정의한다. * 함수 $$H$$는 연속함수이다. * $$\forall x \in X, \ \ H(x, t) = \begin{cases} f(x), & \mathsf{if} \ t = 0 \\ g(x), & \mathsf{if} \ t = 1 \end{cases}$$ 이 때, 연속함수 $$H: X \times [0, 1] \rightarrow Y$$를 함수 $$f, g$$ 사이의 '''연속변형(Homotopy)'''이라 하고, $$f \simeq_H g$$[1]라 쓴다.

구간 $$I = [0, 1]$$의 원소를 시간으로 보면, $$t \in I$$가 흐름에 따라 함수 $$h_t: x \mapsto H(x, t)$$가 결정된다고 볼 수 있다. 연속변형이라는 것은 이 함수의 모임 $$\left\{ h_t \right\} _{t \in I}$$가 $$f = h_0$$부터 $$g = h_1$$까지 연속성을 유지하면서 옮겨가는 것이라고 이해할 수 있다.[2]

3. 성질

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3.1. 연속변형류(Homotopy class)

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'''[ 명제 ]''' 위상 공간 $$X, Y$$ 사이의 연속함수들의 집합 $$\mathcal C(X, Y)$$에 관계 $$\sim$$를 * $$f \sim g \ \ \Leftrightarrow \ \ f, g$$ 가 연속변형적 $$\ \ \Leftrightarrow \ \ f \simeq g$$ 으로 주면, $$\sim$$은 $$\mathcal C(X, Y)$$ 위의 동치관계. [ 증명 ] $$f, g, h \in \mathcal C(X, Y)$$라 하자. $$f \sim f$$ : $$H(x, t) = f(x)$$라 정의하면 된다.[7] $$f \simeq_H g \ \Rightarrow \ g \sim f$$ : $$H'(x, t) = H(x, 1 - t)$$라 정의하면 된다.[8] $$f \simeq_{H_1} g, g \simeq_{H_2} h \ \Rightarrow \ f \sim g$$ : $$H_3(x, t) = \begin{cases} H_1(x, 2t), & \mathsf{if} \ 0 \leq t \leq \dfrac 12 \\ H_2(x, 2t - 1), & \mathsf{if} \ \dfrac 12 \leq t \leq 1 \end{cases}$$라 정의하면 된다.[9]□

'''[ 정의 ]''' 연속변형류(Homotopy class) 위 사실로부터 얻어지는 상집합 $$\mathcal C(X, Y) / \sim$$에 대하여, 각 함수 $$f \in \mathcal C(X, Y)$$는 동치류 $$[f] \in \mathcal C(X, Y) / \sim$$ 를 가진다. 이 $$[f]$$를 $$f$$의 '''연속변형류(Homotopy class)'''라고 정의한다.

정의에 따르면, $$[f] = [g] \Leftrightarrow f \simeq g$$ 이다.

3.2. 연속변형 유형(Homotopy type)

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'''[ 정의 ]''' 위상 공간 $$X, Y$$ 사이의 연속함수 $$f: x \to Y$$에 대하여, 다음을 만족하는 연속함수 $$g: Y \to X$$가 존재할 때 $$f$$를 '''연속변형 동치(Homotopy equivalence)''', $$g$$를 $$f$$의 '''연속변형 역원(Homotopy inverse)'''라 한다. * $$[fg] = [\text{id}_Y], [gf] = [\text{id}_X]$$ 이 때, 두 공간 $$X, Y$$는 서로 '''연속변형 동치(Homotopy equivalent)'''라 부른다.[3] 서로 같은 '''연속변형 유형(Homotopy type)'''을 가진다고 표현하기도 한다.

4. 관련 개념들

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4.1. 경로 연속변형(Path homotopy)

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'''[ 정의 ]''' 경로 연속변형(Path homotopy) 위상 공간 $$X$$와 경로 $$f, g: [0, 1] \rightarrow X$$가 주어져 있다고 하자. 이 때 함수 $$H: [0, 1] \times [0, 1] \rightarrow X$$가 존재하여 다음 성질들을 만족한다면, $$H: [0, 1] \times [0, 1] \rightarrow Y$$를 경로 $$f, g$$ 사이의 '''경로 연속변형(Path homotopy)'''이라 부른다.[4] * 함수 $$H$$는 연속함수이다. * $$\forall s \in [0, 1], \ \ H(s, t) = \begin{cases} f(s), & \mathsf{if} \ t = 0 \\ g(s), & \mathsf{if} \ t = 1 \end{cases}$$

위에서 정의한 연속변형의 경로 버전. 함수의 정의역이 일반 공간이 아닌 구간 $$[0, 1]$$로 바뀐 것으로, 당연히 연속변형의 일종이다. 따로 정의할 필요가 있을까 싶겠지만, 대수적 위상수학의 기본군(Fundamental group)을 다룰 때는 경로 연속변형만을 취급하는 일이 많다.

4.2. 부분공간을 고정한 연속변형(Homotopy relative to subspace)

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'''[ 정의 ]''' $$A$$를 고정한 연속변형(Homotopy relative to $$A$$) 위상 공간 $$X, Y$$, 부분 공간 $$A \subset X$$와 연속함수 $$f, g: X \rightarrow Y$$, 연속변형 $$H: X \times [0, 1] \rightarrow Y$$가 주어져 있다고 하자. 만일 $$H$$가 다음 조건을 만족하면, 연속변형 $$H$$를 '''$$A$$를 고정한 연속변형(Homotopy relative to $$A$$)'''이라 한다. * $$\forall x \in A, \ \ H(x, t) = f(x) = g(x)$$[5] 이 때 $$f \simeq_H g \ \ \mathsf{rel} \ A$$나 $$f \simeq g \ \ \mathsf{rel} \ A$$로 나타낸다.

4.3. 변형수축(Deformation retract)

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'''[ 정의 ]''' 변형수축(Deformation retract) 위상 공간 $$X$$와 부분 공간 $$A \subset X$$, 연속함수 $$H: X \times [0, 1] \rightarrow X$$가 주어져 있다고 하자. 만일 $$H$$가 다음 조건을 만족하면, $$A$$를 '''$$X$$의 변형수축(Deformation retract of $$X$$)'''라 한다. * $$\forall x \in X, \ \ H(x, 0) = x = \text{id}_X(x)$$ * $$\forall x \in X, \ \ H(x, 1) \in A$$ * $$\forall a \in A \ \forall t \in [0, 1], \ \ H(a, t) = a = \text{id}_A(a)$$

어떤 위상 공간이 그 부분공간으로 연속적 수축이 됨을 나타내는 용어. 단, 교재별로 세 번째 조건을 $$H(a, t) \in A$$로 약화시킨 것을 정의로 삼기도 한다.[6] 이렇게 두 공간 사이의 변형수축이 존재하면, 두 공간의 기본군이 같아지며 이를 이용하여 기본군을 계산하는 경우가 많다.

4.4. 동위(Isotopy)

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'''[ 정의 ]''' 동위(Isotopy) 위상 공간 $$X, Y$$와 매장(Embedding) $$f, g: X \rightarrow Y$$, 연속변형 $$H: X \times [0, 1] \rightarrow Y$$가 주어져 있다고 하자. 만일 $$H$$가 다음 조건을 만족하면, 연속변형 $$H$$를 '''동위(Isotopy)'''라고 한다. * $$\forall t \in [0, 1], \ \ h_t(x) = H(x, t)$$로 정의된 $$h_t: X \rightarrow Y$$도 매장이다.

[1] 혼란의 여지가 없다면, $$f \simeq g$$의 표현도 사용한다.

[2] 그렇기 때문에 연속변형을 간단하게 $$h_t: X \to Y(t \in I)$$라고 표기하기도 한다. 단, 이 표기는 $$t$$에 의한 연속성이 명시적으로 표현되지 않아 혼란을 초래할 수 있으므로 주의가 필요하다.

[3] $$f$$의 이름도 연속변형 동치이지만, 함수와 공간의 차이가 있으므로 구별이 된다.

[4] 두 경로 $$f, g$$는 $$H$$에 의해 연속변형적(homotopic by $$H$$)인 것은 위 정의에 의해 명백. $$f \simeq_H g$$나 $$f \simeq g$$의 표현도 공유한다.

[5] 물론 이것이 성립하려면, $$f \rvert_A \equiv g \rvert_A$$이어야 한다.

[6] 이렇게 정의할 경우, 본 문단에서 정의하는 것을 '''강한 변형수축(Strong deformation retract)'''라고 부른다.