1. 개요
Fundamental group · 基本群'''기본군'''은
위상공간의 대수적 구조로, 공간에 존재하는 모든
회로들의 집합에
연속변형 동치류를 준 뒤
군의 구조를 부여한 것이다.
2. 정의
기본군을 정의하기 전에, 먼저 필요한 개념들을 정리하자. 아래에서 $$X$$는 모두 고정된 위상공간이다.
$$X$$의 두
경로 $$f, g: I \to X$$가 주어져 있을 때, 만일 $$f$$의 끝점과 $$g$$의 시작점이 일치한다면
[2] 두 경로를 이어서 하나의 경로를 만들 수 있을 것이다. 이를 두 경로의 '''곱(product)'''이라고 부르며, 다음과 같이 정의한다.
$$h(t) = \begin{cases} f(2t), & \mathsf{if} \ 0 \leq t \leq \dfrac 12 \\ g(2t - 1), & \mathsf{if} \ \dfrac 12 \leq t \leq 1 \end{cases}$$
붙임 보조정리를 사용하면 $$h: I \to X$$가 연속인 것은 쉽게 알 수 있고, 따라서 $$h$$도 $$X$$의 경로가 된다. 두 경로의 곱 $$h$$를 $$f \cdot g$$라 표기하기도 한다.
또한 $$x_0 \in X$$에 대하여, 항상 $$f(t) = x_0$$인 함수를 생각할 수도 있다. 이 함수가 연속임은 자명하고, 이는 시작점과 끝점이 같으므로 회로가 된다. 이 회로 $$f: I \to X$$에는 '''자명 회로(trivial loop)'''라는 이름이 있으며, 시작점이 $$x_0 \in X$$인 자명 회로를 $$c_{x_0}$$라 표시하기도 한다. 마지막으로 경로 $$f: I \to X$$가 있다고 할 때, 이 경로를 역방향으로 따라가는 것 또한 경로가 될 것이다. 이를 '''역경로(inverse path)'''라고 하며, $$g(t) = f(1 - t)$$로 정의한다. 이 $$g: I \to X$$가 연속함수(즉, 경로)인 것은 당연하다.
이제 기본군을 정의할 준비가 다 되었다. 군에는 연산이 필요한데, 위에서 정의한 회로의 곱을 그 연산으로 하려고 한다. 그런데 단순히 두 경로의 곱을 연산으로 놓으면, 군의 구조는 커녕
항등원에 해당하는 원소도 존재하지 않음을 알 수 있다. 그래서 경로보다는 조금 더 좁은 범위인 '''회로'''로 생각을 제한하고, 거기에서도 적절한 동치관계를 부여하여야 한다. 이를 위해서는
연속변형류와
군에 관한 이해가 필요하다.
'''[ 정의 ]''' 기본군(Fundamental group)
주어진 경로연결 위상공간 $$X$$와 한 점 $$x_0 \in X$$에 대하여, 시작점과 끝점이 모두 $$x_0$$인 회로의 집합 $$\mathcal F$$를 생각하고 여기에 연속변형 동치관계 $$\sim$$ 를 주자. 이제 상집합 $$\mathcal F / \sim$$ 에 다음과 같은 연산$$\ \cdot \ $$을 정의할 수 있다.
* $$[f] \cdot [g] = [f \cdot g] \in \mathcal F / \sim$$.
위와 같은 연산이 정의된 $$(\mathcal F / \sim, \ \cdot \ )$$는 군의 구조를 이룬다는 사실을 확인할 수 있다. 이를 위상공간 $$X$$의 '''기본군(Fundamental group)'''라고 하며 기호로는 $$\pi_1(X, x_0)$$라고 표시한다.
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이렇게 정의된 $$\pi_1(X, x_0)$$이 실제로 군의 구조를 갖는지 확인해 보자. $$[f], [g], [h] \in \pi_1(X, x_0)$$를 고정하고, 자명 회로 $$c_{x_0}$$와 역회로 $$\bar f$$를 생각하자. 이 자명 회로와 역회로는 각각 연산 $$\ \cdot \ $$의
항등원,
역원이 될 예정이다.
- 결합 법칙(Associativity): $$([f] \cdot [g]) \cdot [h] = [f] \cdot ([g] \cdot [h])$$가 성립.
이를 보이기 위해서는
연속변형 $$H: I \times I \to X$$를 다음과 같이 정의하면 충분하다. 여기서 $$t_1, t_2$$는 각각 $$t_1 = \dfrac 14 + \dfrac 14 t, t_2 = \dfrac 12 + \dfrac 14 t$$로 정의된 값이다.
- 항등원의 존재(existence of idnetity): $$[f] \cdot [c_{x_0}] = [f] = [c_{x_0}] \cdot [f]$$가 성립.
첫 번째 등식을 보이기 위해서는 연속변형 $$H: I \times I \to X$$를 다음과 같이 정의하면 충분하다.
[3] 여기서 $$t_1$$은 $$t_1 = \dfrac 12 - \dfrac 12 t$$로 정의된 값이다.
- 역원의 존재(existence of inverse): $$[f] \cdot [\bar f] = [c_{x_0}] = [\bar f] \cdot [f]$$가 성립.
첫 번째 등식을 보이기 위해서는 연속변형 $$H: I \times I \to X$$를 다음과 같이 정의하면 충분하다.
[4] 여기서 $$t_1, t_2$$는 각각 $$t_1 = \dfrac 12 - \dfrac 12 t, t_2 = \dfrac 12 + \dfrac 12 t$$로 정의된 값이다.
즉, 위 사실들을 종합하면 $$\pi_1(X, x_0)$$는 해당 연산에 대한 군의 구조를 가진다.
3. 성질
기본군의 정의를 생각해 보면, 기본군은 위상공간 $$X$$뿐만 아니라 기준점이 될 $$x_0 \in X$$에도 의존함을 알 수 있다. 그렇기 때문에 단순히 $$\pi_1(X)$$가 아닌 $$\pi_1(X, x_0)$$의 표현을 써야 하는데, 이는 상당히 거추장스럽다. 다행스럽게도, 다음 명제에 의해 경로연결공간 한정으로 이를 무시할 수가 있다.
[ 명제 ] 주어진 경로연결 위상공간 $$X$$와 두 점 $$x_0, x_1 \in X$$을 생각하자. $$X$$가 경로연결이므로, 적당한 경로 $$h: I \to X$$에 가 존재하여 $$h(0) = x_0$$, $$h(1) = x_1$$이 성립한다. 이제 시작점을 $$x_1$$로 하는 회로 $$f$$에 대해 경로의 곱 $$h \cdot f \cdot \bar h$$를 생각할 수 있고, 이는 시작점이 $$x_0$$인 회로가 된다. 즉, 다음과 같은 함수 $$\beta_h: \pi_1(X, x_1) \to \pi_1(X, x_0)$$를 생각할 수 있다. $$\beta_h([f]) = [h \cdot f \cdot \bar h]$$이 때, $$\beta_h$$는 두 기본군 $$\pi_1(X, x_1)$$, $$\pi_1(X, x_0)$$사이의 동형사상이다. - [ 증명 ]
- $$\beta_h$$는 두 군 $$\pi_1(X, x_1)$$, $$\pi_1(X, x_0)$$사이의 준동형사상이다.
실제로, $$[f], [g] \in \pi_1(X, x_1)$$일 때, 이므로 $$\beta_h: \pi_1(X, x_1) \to \pi_1(X, x_0)$$는 준동형사상이 된다. 임의의 $$[f] \in \pi_1(X, x_0)$$에 대하여, $$[\bar h \cdot f \cdot h] \in \pi_1(X, x_1)$$이고 이므로 $$\beta_h: \pi_1(X, x_1) \to \pi_1(X, x_0)$$는 전사함수이다. 두 $$[f], [g] \in \pi_1(X, x_0)$$가 $$\beta_h([f]) = \beta_h([g])$$를 만족한다면 $$[h \cdot f \cdot \bar h] = [h \cdot g \cdot \bar h]$$이고, 이므로 $$\beta_h: \pi_1(X, x_1) \to \pi_1(X, x_0)$$는 단사함수가 된다.□
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이 명제로부터, 경로연결 위상공간 $$X$$의 기본군은 시작점을 정하지 않아도 up to isomorphism 유일함을 알 수 있다. 따라서 굳이 기본군의 시작점을 표시할 필요가 없거나, 언급하지 않아도 당연한 경우 $$\pi_1(X, x_0)$$대신 $$\pi_1(X)$$의 표현도 사용한다.
한편 회로 자체가 연속함수이므로, 연속함수와 회로의 합성을 떠올리는 것은 자연스럽다. 그런데 이 연속함수는 (그 자연스러운 합성에 의해) 기본군에 작용하는데, 다음 정의는 그 작용이 기본군 사이의 준동형사상(homomorphism)이 됨을 알려준다.
[ 정의 ] 유도 준동형사상(Induced homomorphism) 두 위상공간 $$X$$, $$Y$$ 사이에 정의된 연속함수이면서, $$y_0 = \varphi(x_0)$$인 $$\varphi: (X, x_0) \to (Y, y_0)$$를 생각하자. 이 $$\varphi$$로부터 기본군 사이의 준동형사상 $$\varphi_*: \pi_1(X, x_0) \to \pi_1(Y, y_0)$$가 다음과 같이 자연스럽게 유도된다.
$$\varphi_*([f]) = [\varphi \circ f] = [\varphi f]$$이 $$\varphi_*$$를 두 기본군 $$\pi_1(X, x_0)$$, $$\pi_1(Y, y_0)$$사이의 유도 준동형사상(Induced homomorphism)이라고 정의한다.
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우선 우리가 정의한 사상 $$\varphi_*$$의 Well-definedness를 확인해 주어야 한다.
- $$f: I \to X$$가 $$f(0) = f(1) = x_0$$인 회로라면, $$\varphi f: I \to Y$$ 역시 회로로서 $$\varphi f(0) = \varphi f(1) = y_0$$이 성립함은 거의 당연하다.
- $$[f] = [g]$$이면 두 회로 $$f$$와 $$g$$사이의 연속변형 $$H_t: I \to X$$이 존재함을 의미한다. 이 때 $$\varphi H_t: I \to Y$$는 $$Y$$의 두 회로 $$\varphi f$$와 $$\varphi g$$사이의 연속변형이므로, $$[\varphi f] = [\varphi g]$$.
이렇게 $$\varphi_*$$가 잘 정의됨을 확인했고, $$f_1, f_2: I \to X$$가 $$X$$의 두 회로라면
$$\begin{aligned} \varphi_*([f_1] \cdot [f_2]) & = [\varphi (f_1 \cdot f_2) ] \\ & = [\varphi f_1 \cdot \varphi f_2] \\ & = [\varphi f_1] \cdot [\varphi f_2] \\ & = \varphi_*([f_1]) \cdot \varphi_*([f_2]) \end{aligned}$$
이므로 $$\varphi_*$$가 준동형사상임을 확인할 수 있다.
'''[ 명제 ]''' $$(X, x_0) \xrightarrow{\psi} (Y, y_0) \xrightarrow{\varphi} (Z, z_0)$$일 때,
* $$\pi_1(X, x_0) \xrightarrow{\psi_*} \pi_1(Y, y_0) \xrightarrow{\varphi_*} \pi_1(Z, z_0)$$로서 $$(\varphi \psi)_* = \varphi_* \psi_*$$.
* $$(\text{id}_X)_* = \text{id}_{\pi_1(X, x_0)}$$.
- [ 증명 ]
두 명제 모두 정의로부터 바로 도출된다. 그래도 적어보자면,
$$[(\varphi \psi )f] = [\varphi (\psi f) ]$$
으로부터 첫 번째 명제가,
$$[\text{id}_X f] = [f] = \text{id}_{\pi_1(X, x_0)}([f])$$
에서 두 번째 명제가 증명된다.□
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4. 기본군의 계산
4.1. 기본군이 자명군[5]인 경우
'''[ 정의 ]''' 단순연결공간(Simply connected space)
경로연결 위상공간 $$X$$가 $$\pi_1(X) \cong 0$$[6]을 만족할 때, $$X$$를 '''단순연결공간(Simply connected space)'''라고 한다.
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'''[ 명제 ]''' 유클리드 공간 $$\mathbb R^n$$에 매장(Embedding)된 볼록공간 $$X$$와, 임의의 점 $$x_0 \in X$$에 대하여 $$\pi_1(X, x_0) \cong 0$$이다.
- [ 증명 ]
임의의 회로 $$f: I \to X$$에 대하여, $$f$$와 자명 회로 $$c_{x_0}$$ 사이의 연속변형 $$H: I \times I \to X$$를 다음과 같이 정의하자.
$$H(s, t) = (1 - t)f(s) + tx_0$$
공간 $$X$$가 볼록공간이므로, 위 연속변형은 잘 정의된다. 따라서 임의의 동치류 $$[f]$$는 항등원 $$[c_{x_0}]$$와 같고, 이는 $$\pi_1(X, x_0) = \left\{ [c_{x_0}] \right\} \cong 0$$임을 설명한다.□
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[ 명제 ] $$n \geq 3$$일 때, $$n$$차원 구 $$S^{n - 1} = \left\{ (x_1, x_2, \cdots x_n) \in \mathbb R^n \ \biggl| \biggr. \ \displaystyle \sum _{i = 1}^n x_i ^2 = 1 \right\}$$에 대하여 $$\pi_1(S^{n - 1}) \cong 0$$이다. - [ 증명 ]
$$f: I \to S^{n - 1}$$을 시작점이 $$x_0$$인 $$S^{n - 1}$$의 회로라고 하자. 본 증명의 목표는 항상 $$[f] = [c_{x_0}]$$가 성립함을 보이는 것이다. - $$f$$가 함수로서 전사함수가 아니라면, $$x \notin f(I)$$인 $$x \in S^{n - 1}$$를 택할 수 있다. 그런데
이고, 유클리드 공간 $$\mathbb R^{n - 1}$$은 단순연결공간이므로 $$[f] = [c_{x_0}]$$이다. - 이제 $$f$$가 전사함수라고 가정하자. $$x_0 \neq x$$인 $$x \in S^{n - 1}$$와 $$x$$의 열린근방 $$B = B(x, \delta) \subset S^{n - 1}$$을 생각하자.[8]
\delta > 0은 충분히 작게 잡아줘야 한다.
이번에는 집합 $$f^{-1}(x)$$를 생각하는데, $$f$$가 연속이므로 $$f^{-1}(x) \subset I$$는 닫힌집합이다. 하이네-보렐 정리에 의해 실수 집합 $$\mathbb R$$의 유계닫힌집합 $$f^{-1}(x)$$는 옹골집합임을 알 수 있다. 그런데 $$\left\{(a_i, b_i)\right\}_{i \in \mathbb N}$$는 $$f^{-1}(x)$$의 열린덮개가 되므로, 유한 부분덮개 $$\left\{(a_i, b_i)\right\}_{1 \leq i \leq k}$$가 존재함을 안다. 함수 $$f$$를 구간 $$[a_i, b_i]$$에 한정시키면, 상 $$f([a_i, b_i])$$는 열린 공 $$B = B(x, \delta)$$의 폐포 $$\bar B = \bar B(x, \delta)$$의 부분집합이 된다. 이 때, $$f(a_i), f(b_i) \in \partial \bar B$$. $$\delta > 0$$을 충분히 작게 잡았으므로, $$\bar B \cap S^{n - 1}$$이 단순연결공간이라 가정할 수 있고, 따라서 $$\bar B$$의 경로 $$f \rvert_{[a_i, b_i]}$$를 적절히 $$\partial \bar B$$의 경로 $$g_i: [a_i, b_i] \to \partial \bar B$$로 연속변형 시킬 수 있다. 이 연속변형을 $$\bar H_i: [a_i, b_i] \times I \to \bar B$$라 할 때, 함수 $$H_i: I \times I \to S^{n - 1}$$을 로 정의하면 이 역시 연속변형이 된다. 모든 $$1 \leq i \leq k$$에 대해 연속변형 $$H_i$$를 합성한 연속변형 $$H: I \times I \to S^{n - 1}$$을 생각할 수 있다. $$h: I \to S^{n - 1}$$을 $$h(s) = H(s, 1)$$로 정의하면, 정의에 의해 $$[f] = [h]$$이고 를 얻는다. $$x \notin \partial \bar B$$이고 $$f^{-1}(x) \subset \displaystyle \bigcup_{1 \leq i \leq k} [a_i, b_i]$$이므로, $$h(s) = x$$인 $$s \in I$$가 존재하지 않음을 알 수 있다. 즉 $$h: I \to S^{n - 1}$$은 전사함수가 아니며, 위에서 보인 바와 같이 $$[h] = [c_{x_0}]$$이 된다. $$\ \ \therefore [f] = [h] = [c_{x_0}]$$.□
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4.2. 기본군이 자명군이 아닌 경우
[ 명제 ] 2차원 평면 $$\mathbb R^2$$위의 단위원 $$S^1 = \{ (x, y) \ | \ x^2 + y^2 = 1 \}$$을 생각하자. 이 때 $$\pi_1(X, (1, 0)) \cong (\mathbb Z, +)$$이며, 두 군 사이의 동형사상 $$\phi: \pi_1(X) \to \mathbb Z$$는 다음과 같다. $$\phi([\omega_n]) = n$$여기서 회로 $$\omega_n: I \to S^1$$은 $$\omega_n(t) = (\cos 2n\pi t, \sin 2n\pi t)$$ [7] 단위원 S^1을 시계방향으로 n바퀴 따라 돌아가는 회로. 이다. |
이 사실과
자이페르트-반 캠펀 정리를 이용하면, 기초
대수적 위상수학에서 접할 수 있는 거의 모든 대상의 기본군들을 계산해 낼 수 있다.
5. 관련 정리들
'''[ 명제 ]'''
* $$A$$가 $$X$$의 수축이면, 포함함수 $$\imath: A \xhookrightarrow{} X$$로부터 유도된 준동형사상 $$\imath_*: \pi_1(A) \to \pi_1(X)$$는 단사함수이다.
* 만약 $$A$$가 $$X$$의 변형수축이라면, $$\imath_*$$는 동형사상이다.
- [ 증명 ]
- $$r: X \to A$$가 수축이라면, $$r \imath = \text{id}$$이므로 $$r_* \imath_* = \text{id}$$. 따라서 $$\imath_*$$는 단사 동형사상이다.
- $$r_t: X \to X$$가 변형수축이라고 하자. $$X$$의 임의의 회로 $$f$$는 연속변형 $$r_tf: X \to X$$에 의해 $$A$$의 회로 $$r_1f$$로 옮겨지므로,
따라서 $$\imath_*$$는 전사 동형사상이다.□
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즉, 서로 변형수축 관계인 두 공간은 동형인 기본군을 가진다. 이는 기본군의 계산에 상당히 요긴하게 사용되는 명제이며, 역으로 이 명제를 이용해 수축/변형수축이 존재하지 않음을 보일 수도 있다.
'''[ 명제 ]''' $$\varphi: X \to Y$$가 연속변형 동치이면, 이 $$\varphi$$로부터 유도된 준동형사상 $$\varphi_*: \pi_1(X, x_0) \to \pi_1(Y, \varphi(x_0))$$는 동형사상이다.
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[ 정리 ] 자이페르트-반 캠펀 정리(Seifert-van Kampen theorem) 위상공간 $$X$$와 점 $$x_0 \in X$$가 주어져 있고, $$X$$의 부분공간 $$\left\{ A_\alpha \right\}_{\alpha \in I}$$들이 $$X = \displaystyle \bigcup _{\alpha \in I} A_\alpha$$를 만족한다고 하자. 이 때, 포함함수 $$\imath_\alpha: A_\alpha \xhookrightarrow{} X$$로부터 유도되는 준동형사상 $$\imath_{\alpha *}: \pi_1(A_\alpha) \to \pi_1(X_\alpha)$$을 생각할 수 있다. 자유군의 보편 성질에 의해, 다음을 만족하는 준동형사상 $$\Phi: {\large *}_{\alpha \in I} \pi_1(A_\alpha) \to \pi_1(X)$$가 유일하게 존재한다. $$\Phi([f]) = \imath_{\alpha *}([f]) \ \ \ \forall \alpha \in I, \forall [f] \in \pi_1(A_\alpha)$$이제 $$\left\{ A_\alpha \right\}_{\alpha \in I}$$가 다음 조건들을 만족한다면, 위 준동형사상 $$\Phi$$는 전사함수이다. * 임의의 $$\alpha \in I$$에 대하여, $$A_\alpha$$는 점 $$x_0$$를 포함하는 경로연결 열린공간. * 임의의 $$\alpha, \beta \in I$$에 대하여, $$A_\alpha \cap A_\beta$$는 경로연결공간.추가로, 다음 조건이 주어져 있는 경우를 생각할 수 있다. * 임의의 $$\alpha, \beta, \gamma \in I$$에 대하여, $$A_\alpha \cap A_\beta \cap A_\gamma$$는 경로연결공간.여기서 포함함수 $$A_\alpha \cap A_\beta \xhookrightarrow{} A_\alpha$$에 의해 유도되는 준동형사상을 $$\imath_{\alpha \beta}: \pi_1(A_\alpha \cap A_\beta) \to \pi_1(A_\alpha)$$라 놓자. 이 때 준동형사상 $$\Phi$$의 핵 $$N = \text{ker } \Phi$$은 자유군 $${\large *}_{\alpha \in I} \pi_1(A_\alpha)$$의 $$\imath_{\alpha \beta}(\omega)\imath_{\beta \alpha}(\omega)^{-1} \ \ \ \forall \omega \in \pi_1(A_\alpha \cap A_\beta)$$와 같은 단어(word)들로 생성되는 정규부분군이다. 즉,
$$\pi_1(X) \cong {\large *}_{\alpha \in I} \pi_1(A_\alpha) \Bigl/ \Bigr. \left\langle \imath_{\alpha \beta}(\omega)\imath_{\beta \alpha}(\omega)^{-1} \right\rangle$$이 성립한다.(제1 동형사상 정리.)
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사실, 위 함수들의 구성에 의해 $$\imath_{\alpha *} \circ \imath_{\alpha \beta} \equiv \imath_{\beta *} \circ \imath_{\beta \alpha}$$임을 알 수 있고 이는 포함함수 $$A_\alpha \cap A_\beta \xhookrightarrow{} X$$로부터 유도된다. 그렇기 때문에, 각 원소 $$\omega \in \pi_1(A_\alpha \cap A_\beta)$$에 대하여 단어 $$\imath_{\alpha \beta}(\omega)\imath_{\beta \alpha}(\omega)^{-1}$$는 $$\pi_1(X)$$의 자명한 원소를 가리켜야'''만''' 하고 이로부터 핵 $$N = \text{ker } \Phi$$은 군 $$\left\langle \imath_{\alpha \beta}(\omega)\imath_{\beta \alpha}(\omega)^{-1} \right\rangle$$에 포함되어야'''만''' 한다. 자이페르트-반 캠펀 정리는 정확히 이 군과 핵 $$N$$이 같음을 주장하고 있다. 이 정리를 이용하면 굉장히 많은 종류의 공간들의 기본군을 간단히 계산해 낼 수 있다!
아래 정리들은 따름정리들이다.
[ 따름정리 ] 위상공간 $$X$$와 점 $$x_0 \in X$$가 주어져 있고, $$X$$의 부분공간 $$\left\{ A_\alpha \right\}_{\alpha \in I}$$들이 다음 조건들을 만족한다고 하자. * $$X = \displaystyle \bigcup _{\alpha \in I} A_\alpha$$. * 임의의 $$\alpha \in I$$에 대하여, $$A_\alpha$$는 점 $$x_0$$를 포함하는 경로연결 열린공간. * 임의의 $$\alpha, \beta \in I$$에 대하여, $$A_\alpha \cap A_\beta$$는 단순연결공간. * 임의의 $$\alpha, \beta, \gamma \in I$$에 대하여, $$A_\alpha \cap A_\beta \cap A_\gamma$$는 경로연결공간.이 때, 기본군 $$\pi_1(X)$$와 $$\pi_1(A_\alpha)$$ 사이에
$$\pi_1(X) \cong {\large *}_{\alpha \in I} \pi_1(A_\alpha)$$이 성립한다.
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자이페르트-반 캠펀 정리의 자명한 응용. $$A_\alpha \cap A_\beta$$의 단순연결성에 의해, 해당 정리에 나오는 핵 $$N$$을 구성하는 모든 단어들은 자명한 단어 뿐이다. 즉 $$N \cong 0$$이므로 결론이 바로 얻어진다.
[ 따름정리 ] 경로연결공간 $$X$$과 2-세포(2-cell) $$e_\alpha^2 (\alpha \in I)$$들이 주어져 있을 때, 이 2-세포들을 부착사상(Attaching map) $$\varphi_\alpha: S^1 \to X$$를 이용하여 붙인 위상공간을 $$Y$$라 하자. 이제 이 2-세포들이 붙어있는 경계 $$\varphi_\alpha (S^1)$$은 $$X$$의 회로로 볼 수 있다. 한편 $$X$$가 경로연결공간이므로 $$x_0$$와 $$\varphi_\alpha (S^1)$$의 시점 $$x_\alpha$$를 잇는 경로 $$\gamma_\alpha$$가 존재한다. 이 때 $$\xi_\alpha = \gamma_\alpha \cdot \varphi_\alpha (S^1) \cdot \bar \gamma_\alpha$$는 시작점이 $$x_0$$인 $$X$$의 회로이다.여기서, 기본군 $$\pi_1(Y)$$와 $$\pi_1(X)$$ 사이에
$$\pi_1(Y, x_0) \cong \pi_1(X, x_0) \bigl/ \bigr. \left\langle \xi_\alpha \ \rvert \ \alpha \in I \right\rangle$$가 성립한다.
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'''[ 따름정리 ]''' 위 따름정리에서 2-세포 대신 $$n \geq 3$$인 $$n$$-세포 $$e_\alpha^n$$들을 붙였다면, $$\pi_1(Y, x_0) \cong \pi_1(X, x_0)$$이다.
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위 두 따름정리들은
CW 복합체의 기본군 계산을 편하게 해 준다. 특히, 아래 정리로부터 임의의 CW 복합체 $$X$$의 기본군 $$\pi_1(X)$$은 그 2-뼈대(2-skeleton) $$X^2$$의 기본군 $$\pi_1(X^2)$$와 같음을 알 수 있다.