이차양자화
second quantization
1. 개요
정준 교환 관계(canonical commutation relation)를 만족시키는 생성소멸 연산자로 장을 양자화하는 과정이다. 용어에 혼동의 여지가 있는데 장을 두 번 양자화 하는 것이 아니며 오직 한 번만 양자화하는 것이다. 즉, 양자화의 두 번째 버전이라는 뜻으로 이해하는 것이 옳다.
일차양자화는 물리량을 연산자로 취급하여 방정식을 구성한 것을 의미하며, 이에 대한 대표적인 방정식이 슈뢰딩거 방정식(또는 클라인-고든 방정식)이다. 슈뢰딩거 방정식의 기본골자는 해밀턴 역학을 정준교환관계(Canonical commutation relation)에 따라 연산자들을 택해 집어 넣은 방정식이다.
이차양자화는 라그랑지안을 구성하는 정준위치와 그에 대응하는 정준 운동량을 다시 정의한 것인데[1], 실은 최소작용 원리를 만족시키는 라그랑지안의 정준 위치와 정준 운동량이 굳이 우리가 다루는 위치와 운동량일 필요가 없다. 일정한 간격으로 x,y,z 방향으로 배치되어 있는 철구가 있다 하자. x,y,z방향으로 용수철들이 철구들을 연결하고 있다고 할 때, 해당 덩어리들이 가지는 운동에너지와 위치에너지는 입자의 위치를 나타내는 x,y,z가 아니라 철구자체가 진동할때 발생하는 진폭 A(x,y,z)로 표현된다. 결국 조화진동자 내에서 진폭의 크기가 용수철의 위치에너지를 의미하고, 시간에 따라 진폭의 크기가 얼마나 변하는가가 바로 운동에너지를 나타낸다.
해당 좌표계에서 운동량과 실제 저장한 위치에너지를 나타내는 값은 다름이 아니라 A(x,y,z)라는 것을 뜻하며, 양자화할때에는 x,y,z가 아닌 A(x,y,z)를 가지고 양자화를 해야할 것이다.
앞서 언급한 예제에서는 진폭이 길이단위를 가진 측정가능한 물리량이지만, 라그랑지언에서 정준 위치는 굳이 우리가 다루는 위치가 아니어도 수식이 가지는 특징만 성립하면 무엇을 써도 좋다. 만약 오일러-라그랑주 방정식을 클라인-고든 방정식이나 슈뢰딩거 방정식으로 선택할 경우, 파동함수 자체가 정준위치 좌표역할을 하게 된다는 것을 알 수 있다.
그래서 파동함수를 정준위치좌표로, 라그랑지안으로부터 결정되는 정준 운동량의 관계(물론 파동함수로 표현되어 있다)를 1차양자화에서 한 것과 마찬가지로 정준교환관계가 만족하도록 설정하면, 파동함수 자체를 연산자로 치부할 수 있다. 이것이 이차양자화이다. 이차양자화 과정을 통해 몇몇 특수한 성질이 등장하게 되는데,
첫째로, 장[2] 자체를 연산자로 채택한 결과로, 장의 진폭이 생성-소멸연산자로 작동한다.
두번째로, 라그랑지안을 이차양자화된 장으로 기술하여, 적절한 한도를 설정하면 시간에 대해 불변한 양을 얻는다. 이 불변량은 관점과 시각에 따라 여러가지의 물리량으로 등장하게 된다. 만약 시간의 병진 변환(time translation transformation)에 대해서 시간에 대한 불변량을 찾아보면 총 에너지량을 얻을 수 있다. 위치의 병진 변환(position translation transformation)에 대해서 시간에 대한 불변량을 찾아보면 총 운동량에 대한 값을 얻을 수 있다. 마찬가지로 회전 변환에 대해서 시간에 대한 불변량을 찾아보면 총 각운동량에 대한 값을 얻을 수 있다. 마지막으로 무차원 값이 되도록 조정하여 시간에 대한 불변량을 찾아보면 (입자갯수 - 반입자) 갯수에 대한 값을 얻을 수 있으며, 여기에 입자의 전하량을 곱하여 총 전하량을 구할 수 있다.
세번째로, 두번째 사실과 연결하여 입자가 존재하지 않는다는 상황으로 끌고갔을 때, 총 운동량은 0이되지만 절대 제거되지 않는 에너지가 존재함을 알 수 있다. 이를 통해 입자가 없는 진공자체가 에너지를 가지고 있다는 것으로(에너지를 가지는 상태라는 것을 역으로 적용해) 진공 자체가 정적인 것이 아니라 파동과 같이 역동적인 상태라는 것을 알수 있었다.
물론, 양자역학에서 익히 다뤄온 푸리에 변환을 통해 각각의 운동량 상태와 에너지 상태를 표현한다는 것을 알고 있다. 임의의 모든 종류와 상황의 파동함수들에 대해 기술하기 위해 푸리에 변환을 통해 일반적인 꼴을 결정한다.
입자 물리학에서는 양자역학 외에도 특수상대성이론까지 합쳐서 생각하게 되는데, 특수상대성이론에서 에너지와 운동량, 그리고 질량의 관계 때문에, 입자가 (수학적으로) 음의 에너지를 가졌을때를 상정한 생성-소멸 연산자도 고려해야한다는 결론을 얻는다. 그런데 음의 에너지를 가지는 상태는 다름이 아니라 반입자를 나타낸다는 점을 통해, 음의 에너지 상태는 반드시 고려되어야 한다는 것을 알았다.
2. 상세
2.1. 스칼라장
이차양자화에 의해 일반적인 스칼라장은
$$\displaystyle \phi \left ( \vec{x} \right ) = \int \frac{d^3 p}{(2\pi)^3} \frac{1}{\sqrt{2\omega_{\vec p}}}\left ( a_{\vec p}e^{i\vec p \cdot \vec x}+a^\dagger_{\vec p}e^{-i\vec p \cdot \vec x} \right ) $$
로 표현된다. 여기서 $$\left ( a, a^\dagger \right )$$는 생성소멸 연산자 이다. 클라인 고든 장의 해밀토니안은
$$\displaystyle \mathcal{H}_0=\int \frac{d^3 p}{(2\pi)^3}\omega_{\vec{p}} \left ( a^\dagger_{\vec p} a_{\vec p}+\frac{1}{2}\right )$$
로 표현되고 운동량 연산자는
$$\displaystyle \vec P=\int \frac{d^3 p}{(2\pi)^3} \vec{p} a^\dagger_{\vec p} a_{\vec p}$$
로 표현된다. 해밀토니안에 들어있는 1/2은 진공 에너지로 생각할 수 있다.
2.2. 복소 스칼라장
$$\left ( a, a^\dagger \right )$$와 $$\left ( b, b^\dagger \right )$$가 각각 정준교환관계를 만족시킨다고 하자. 그러면 복소 스칼라장은
$$\displaystyle \phi \left ( \vec{x} \right ) = \int \frac{d^3 p}{(2\pi)^3} \frac{1}{\sqrt{2\omega_{\vec p}}}\left ( a_{\vec p}e^{i\vec p \cdot \vec x}+b^\dagger_{\vec p}e^{-i\vec p \cdot \vec x} \right ) $$
로 표현된다. 스칼라장에서의 $$a^\dagger$$대신 $$b^\dagger$$가 사용된 것은 스칼라장을 복소수로 일반화시키기 위해서이다. 복소 스칼라장을 전하 켤레 $$\displaystyle \phi^\dagger\left ( \vec{x} \right ) $$와 비교해 보았을 때 생성 연산자 $$b^\dagger$$로 생성된 입자는 $$a^\dagger$$로 생성된 입자와 질량은 같고 전하가 반대이다. 이들은 서로의 반입자에 해당한다.
2.3. 디랙 장
반교환자(anticommutator)관계를 만족시키는 생성소멸연산자를 사용하여 양자화한다.
[1] 라그랑지안의 변환에 대해서 불변하다는 성질로 인해, 오일러-라그랑주 방정식은 변환에 대해서 불변하다는 성질을 보장받는다. 이를 활용하여 오일러-라그랑주 방정식을 우리가 알고 있는 물리법칙이나 물리법칙에 준하는 방정식들로 쓸 수 있는데, 이를 활용하여 라그랑지안을 찾고, 그에 대응하는 정준운동량을 찾는다.오일러-라그랑주 방정식에서 추정하는 라그랑지안은 유일하지 않다는 것이 문제처럼 보이나, 라그랑지안에 담겨있는 장의 물리량에 대한 정보는 모두 같기 때문에, 실상 문제는 되지 않는다.[2] 장(field)이라는 말에 혼동이 올지 모르겠으나, 이것은 양자역학을 공부하면 첫번째로 배우는 그 파동함수이다. 질량이 같고 운동량이나 에너지가 다른 상태들의 파동함수들을 하나의 파동함수로 묶어서 쓰기 때문에, 양자역학에서 다뤄왔던 파동함수의 유리한 특징들을 사용하지 못한다. 그리고 이차양자화를 거친 후에는 불변량도 아니기 때문에, 물리계의 정보를 모두 내포하고 불변하다는 파동함수의 특징또한 없어진다. 이를 명확하게 나누기 위해서, 이차양자화에서는 장, 일차양자화에서는 파동함수라고 구분하여 명명한다.