운동량
1. 개요
'''Momentum · 運動量'''
운동량은 물체의 현재 운동#s-2 상태를 나타내는 벡터량이다.
다만 거시적인 역학에서는 물체의 운동 상태를 의미하지만 미시적으로는 물질의 고유한 상태량이다.
2. 정의
운동량의 종류로는 선운동량과 각운동량이 있지만, 보통 운동량이라고 하면 선운동량을 가리킨다. 각운동량에 대한 내용은 문서 참고.
2.1. 뉴턴 역학에서
뉴턴역학에서 아이작 뉴턴은 운동량을 아래처럼 정의한다.
이 정의를 이용해 뉴턴의 운동법칙 중 제2법칙을 수식으로 표기하면 아래와 같다.
2.2. 해석역학에서
위의 개념이 우리가 살고 있는 평범한 3차원 세계를 기반으로 세워진 것에 반해, 라그랑주 역학에서는 이 개념을 일반화된 좌표계와 라그랑지안을 통해 표현한다.
여기서 $$ \mathscr{L} $$은 라그랑지안, $$ q_{j} $$는 위치의 $$j$$번째 성분이다.
해밀턴 역학에서는 위의 식을 바탕으로, 해밀토니안을 이용해 선운동량의 시간에 따른 변화량을 다룬다. 자세한 내용은 해밀토니안 문서로.
3. 운동량 보존의 법칙
본질적으로는 에너지 보존 법칙과 같다. 하지만 거시적인 역학을 다루는 고등학교 과정에서는 다르게 표현된다. 아래의 서술은 고등학교 과정에서의 이야기다.
물체가 서로 충돌할 때 각 물체의 운동량들의 총합은 충돌 전, 충돌 후 모두 일정하게 보존된다. 이는 '''모든''' 종류의 충돌에 적용된다. 운동량 보존 법칙만 따지자면 가만히 있는 물체 둘이 양 옆으로 튀어나가는 것도 가능하다.[1]
운동하는 물체는 외력의 합이 0이면 운동량이 보존된다. 이것이 운동량 보존 법칙이다. 이 때 주의해야 할 점은, '''외'''력이 0일 때 보존 법칙이 성립하기 때문에 내부에서 힘을 줄 경우에는 어떻게 주든 물체 전체의 운동량은 보존된다는 것이다. 예를 들어 정지해 있던 폭탄이 공중에서 폭발해 폭탄이 여러 조각으로 날아갈 때, 폭탄 개개의 조각의 운동량은 보존되지 않지만[2], 폭탄 전체의 운동량은 0으로 보존된다.[3] 정지한 폭탄을 위로 날아가는 로켓으로 치환해도 마찬가지다.
4. 모멘트(Moment)와의 관계
모멘트에도 종류가 있는데, 운동과 관련된 질량 관성 모멘트에는 연관점이 있다고 볼 수 있지만, 저항하는 정도를 나타내는 모멘트에는 관련이 없다. 공학에서는 이 두 가지를 모두 $$I$$나 $$J$$로 쓰기 때문에 혼란이 올 수도 있다.
'모멘텀'은 운동 상태를 나타내는 척도, '질량 관성 모멘트'는 회전하려는, 직선운동 하는 현재 운동 상태에서 변화에 저항하는 척도이다. 사이클 선수 자전거 바퀴는 디스크를 사용하는 것도 이와 관련 되어있다. 스케이트 선수가 돌 때 팔을 오므리는 것도 관련 되어있다.
반면 '극관성 모멘트'는 돌림힘에 저항하는 정도를, 즉 변형에 저항하는 정도를 나타낸다.
'단면 관성 모멘트' 또한 휨이나 구부림에 저항하는 정도를 나타냄으로 극관성 모멘트와 비슷한 개념이다. 이둘은 운동량과 거의 관계 없다.
5. 양자역학에서
양자역학에서 운동량은 파동함수에 작용하는 연산자로 나타난다. 이러한 연산자는 어떠한 기저로 파동함수를 나타냈는지에 따라 표현 방식이 달라진다. 위치 기저(position basis)에서 운동량 연산자는 다음과 같다.
운동량 기저(momentum basis)에서는 그냥 운동량 자신이다.
5.1. 고유값과 고유함수
운동량을 관측했을 때 항상 $$p$$가 나오는 상태는 다음과 같이 쓸 수 있다.
$$\displaystyle \hat{\mathbf{p}} \left| \psi \right> = \mathbf{p} \left| \psi \right> $$
$$\displaystyle \left| \psi \right> = \frac{1}{\sqrt{2 \pi \hbar}} \exp {\frac{i \mathbf{p} \cdot \mathbf{x}}{\hbar}} $$
5.2. 정준 교환 관계
위치 연산자와 운동량 연산자는 다음 관계를 만족한다.
$$\displaystyle [x, p] = i \hbar $$
$$\displaystyle [r_i, p_j] = i \hbar \delta_{ij} $$