자기 퍼텐셜/자기 벡터 퍼텐셜/관련 예제
1. 예제 1
| '''[문제]''' - 진공에서 축이 $$z$$축, 중심이 원점이고, 전하 $$Q$$로 균일하게 표면이 대전된 반지름 $$R$$인 구가 $$\boldsymbol{\omega}=\omega_{0} \hat{\mathbf{z}}$$의 각속도로 축을 중심으로 회전할 때, 구 내부의 자기 벡터 퍼텐셜을 구하시오. |
[풀이 보기] - -
이 상황에서 구는 표면 전하 밀도 $$\sigma=Q/(4 \pi R^{2}) $$으로 대전되었으므로, 표면 전류 밀도는이다. 따라서 구하는 벡터 퍼텐셜은
$$ \displaystyle \mathbf{K}=\sigma \mathbf{v}=\frac{Q \omega_{0}}{4 \pi R}\sin{\theta} \hat\boldsymbol{\phi} $$이다. 이때, $$\mathbf{r'}=R \hat \mathbf{r}$$이고, 구면 좌표계에서 다중극 전개를 이용하자. 또한, 이 영역에서는 $$r'>r$$이므로
$$ \displaystyle \mathbf{A(r)}=\frac{\mu_{0}}{4 \pi} \int \frac{\mathbf{K(r')}}{\left| \mathbf{r-r'} \right|}\,da ' $$으로 전개할 수 있다. $$Y_{l}^{m}(\theta,\, \phi)$$는 구면조화함수(Spherical harmonics)이다. 따라서 적분은
$$ \displaystyle \frac{1}{\left| \mathbf{r-r'} \right|}=\sum_{l=0}^{\infty}\sum_{m=-l}^{l} \frac{4\pi}{2l+1} \frac{r^{l}}{R^{l+1}}Y_{l}^{m}(\theta,\, \phi)Y_{l}^{m \ast}(\theta ',\, \phi ') $$으로 바뀐다. 또한,
$$\displaystyle \begin{aligned} \mathbf{A(r)}&=\frac{\mu_{0}}{4 \pi} \int \frac{\mathbf{K(r')}}{\left| \mathbf{r-r'} \right|}\,da ' \\ &=\frac{\mu_{0}}{4 \pi} \int \mathbf{K(r')} \sum_{l=0}^{\infty}\sum_{m=-l}^{l} \frac{4\pi}{2l+1} \frac{r^{l}}{R^{l+1}}Y_{l}^{m}(\theta,\, \phi)Y_{l}^{m \ast}(\theta ',\, \phi ') \,da ' \\ &=\frac{\mu_{0}}{4 \pi} \sum_{l=0}^{\infty}\sum_{m=-l}^{l} \frac{4\pi}{2l+1} \frac{r^{l}}{R^{l+1}}Y_{l}^{m}(\theta,\, \phi) \int \mathbf{K(r')} Y_{l}^{m \ast}(\theta ',\, \phi ') \,da ' \end{aligned} $$를 이용하면, 표면 전류 밀도
$$\displaystyle \begin{aligned} Y_{1}^{-1}(\theta,\,\phi)&=\frac{1}{2}\sqrt{ \frac{3}{2 \pi} } \sin{\theta}(\cos{\phi}-i\sin{\phi}) \\ Y_{1}^{1}(\theta,\,\phi)&=-\frac{1}{2}\sqrt{ \frac{3}{2 \pi} } \sin{\theta}(\cos{\phi}+i\sin{\phi})\end{aligned} $$으로 구면조화함수의 합으로 전개할 수 있다. 따라서
$$\displaystyle \begin{aligned} \mathbf{K(r')}&=\sigma \sin{\theta '}(-\sin{\phi '} \hat{\mathbf{x}}+\cos{\phi '} \hat{\mathbf{y}}) \\ &=\frac{\sigma}{i} \sqrt{\frac{2\pi}{3}} \left[ Y_{1}^{-1}(\theta ',\, \phi ')+Y_{1}^{1}(\theta ',\, \phi ') \right] \hat{\mathbf{x}}+\sigma \sqrt{\frac{2\pi}{3}} \left[ Y_{1}^{-1}(\theta ',\, \phi ')-Y_{1}^{1}(\theta ',\, \phi ') \right] \hat{\mathbf{y}} \end{aligned} $$이 된다. $$\Omega'$$는 원천 점(Source point)의 입체각(Solid angle)이며, $$d {\Omega}'=\sin{\theta'} \,d\theta' d \phi'$$이다. 이때, 구면조화함수의 규격화 조건에 의해
$$ \displaystyle A_{x}(\mathbf{r})=\frac{\mu_{0} \sigma R^{2}}{4 \pi} \frac{1}{i} \sqrt{\frac{2\pi}{3}} \sum_{l=0}^{\infty}\sum_{m=-l}^{l} \frac{4\pi}{2l+1} \frac{r^{l}}{R^{l+1}}Y_{l}^{m}(\theta,\, \phi) \int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{\pi} \left[ Y_{1}^{-1}(\theta ',\, \phi ')+Y_{1}^{1}(\theta ',\, \phi ') \right] Y_{l}^{m \ast}(\theta ',\, \phi ') \,d {\Omega} ' $$를 만족한다. 위에서 $$\delta_{ij}$$는 크로네커 델타이다. 따라서 이것을 이용하면, 위 적분의 결과는
$$ \displaystyle \int_{0}^{2 \pi} \int_{0}^{\pi} Y_{l}^{m}(\theta',\, \phi')Y_{t}^{s \ast}(\theta ',\, \phi ')\,d \Omega '=\delta_{l t}\delta_{m s} $$로 구할 수 있고, 동일한 방법으로,
$$\displaystyle \begin{aligned} A_{x}(\mathbf{r})&=\frac{\mu_{0} \sigma R^{2}}{4 \pi} \frac{1}{i} \sqrt{\frac{2\pi}{3}} \sum_{l=0}^{\infty} \sum_{m=-l}^{l}\frac{4\pi}{2l+1} \frac{r^{l}}{R^{l+1}} [\delta_{1l}\delta_{-1m}+\delta_{1l}\delta_{1m}] Y_{l}^{m}(\theta,\, \phi) \\ &=\frac{\mu_{0} \sigma R^{2}}{4 \pi} \frac{4\pi}{3} \frac{r}{R^{2}} \left[ \frac{1}{i} \sqrt{\frac{2\pi}{3}} [ Y_{1}^{-1}(\theta ,\, \phi )+Y_{1}^{1}(\theta ,\, \phi ) ] \right] \\ &=\frac{\mu_{0} \sigma }{3} {r} (-\sin{\theta} \sin{\phi}) \end{aligned} $$이상에서 구하는 자기 벡터 퍼텐셜은 아래와 같이 결정된다.
$$ \displaystyle A_{y}(\mathbf{r})=\frac{\mu_{0} \sigma }{3} \frac{r}{R^{2}} (\sin{\theta} \cos{\phi}) $$
$$ \displaystyle \mathbf{A(r)} =\left[ \frac{ \mu_{0} Q }{12 \pi R^{2}} {r} \sin{\theta} \right] \hat{\boldsymbol{\phi}}\qquad (r<R) $$
| '''[추가 문제]''' - 예제 1에서 구 외부의 자기 벡터 퍼텐셜을 구하시오. |
[풀이 보기] - -
구의 외부도 같은 방법으로 구할 수 있으며, 이때는 $$r'<r$$이므로 다중극 전개한 항 중로 바뀌면서
$$ \displaystyle \frac{r^{l}}{R^{l+1}} \rightarrow \frac{R^{l}}{r^{l+1}} $$이 된다.
$$ \displaystyle \mathbf{A(r)} =\left[ \frac{ \mu_{0} Q }{12 \pi} \frac{R}{r^{2}} \sin{\theta} \right] \hat{\boldsymbol{\phi}}\qquad (r>R) $$
2. 예제 2
| '''[문제]''' - 진공에서 $$z$$축으로 놓인 무한한 도선에 전류 $$I$$가 $$\hat{\mathbf{z}}$$ 방향으로 흐르고 있을 때, 자기 벡터 퍼텐셜을 구하시오. |
[풀이 보기] - -
이 경우에 $$z$$축을 제외하곤 전류 밀도는 0임을 이용한다. 또한, 전류 밀도의 방향이 $$\hat{\mathbf{z}}$$ 방향이므로 자기 벡터 퍼텐셜은 $$\hat{\mathbf{z}}$$ 방향이다. 또한, $$\rho$$를 제외하곤 모두 대칭성을 이루므로 자기 벡터 퍼텐셜은으로 주어질 것이다. 따라서
$$ \displaystyle \mathbf{A}= A_{z}(\rho) \,\hat{\mathbf{z}} $$을 만족하고, 이 방정식의 해는
$$ \displaystyle \nabla^{2}A_{z}(\rho)=\frac{1}{\rho}\frac{\partial}{\partial \rho} \left( \frac{\partial A_{z}(\rho)}{\partial \rho} \right)=0 $$로 주어짐을 쉽게 확인할 수 있다. $$C$$는 상수이다. 상수항은 퍼텐셜 특성 상 무시할 수 있으므로 무시했다. 이때, 자기장 $$ \displaystyle \mathbf{B}=\boldsymbol{\nabla} \times \mathbf{A} $$이므로
$$ \displaystyle A_{z}(\rho)=C\ln{\rho} $$이고, 반지름이 $$\rho$$인 원에서 앙페르 법칙을 적용하면
$$ \displaystyle \mathbf{B}=-\frac{C}{\rho} \hat{\boldsymbol{\phi}} $$이상에서 구하는 자기 벡터 퍼텐셜은
$$ \displaystyle \oint \mathbf{B} \cdot d \mathbf{l}=I \, \rightarrow \, -\frac{C}{\rho}\cdot 2 \pi \rho=\mu_{0}I \, \rightarrow \, C=-\frac{\mu_{0}I}{2 \pi} $$가 된다.
$$ \displaystyle \mathbf{A}=\left[ -\frac{\mu_{0}I}{2 \pi}\ln{\rho} \right]\hat{\mathbf{z}} $$
3. 예제 3
| '''[문제]''' - 진공에서 단위 길이당 $$N$$번 감긴 $$z$$축으로 놓이고 반지름의 길이가 $$\rho_{0}$$인 무한한 길이의 솔레노이드에 전류 $$I$$가 반시계 방향으로 흐르고 있을 때, 자기 벡터 퍼텐셜을 구하시오. |
[풀이 보기] - -
이 상황에서 솔레노이드 내부에 형성되는 자기장은임을 이용하자.
$$ \displaystyle \mathbf{B}=\mu_{0} NI \hat{\mathbf{z}} $$
'''(ⅰ) 솔레노이드 내부의 퍼텐셜 '''
중심이 $$z$$축 위에 있고 반지름 $$\rho \,(\rho<\rho_{0})$$인 원을 통과하는 자기 선속은이고,
$$\displaystyle F=\int \mathbf{B} \cdot d \mathbf{a}=\mu_{0} \pi \rho^{2} NI $$를 이용하면
$$ \displaystyle F=\oint_{C} \mathbf{A} \cdot d \mathbf{l} $$가 되므로 자기 벡터 퍼텐셜은
$$ \displaystyle A_{\phi} \cdot 2\pi \rho=\mu_{0} \pi \rho^{2} NI $$이 된다.
$$ \displaystyle \mathbf{A}=\frac{\mu_{0}NI}{2} \rho \hat{\boldsymbol{\phi}} \qquad (\rho<\rho_{0}) $$
'''(ⅱ) 솔레노이드 외부의 퍼텐셜 '''
중심이 $$z$$축 위에 있고, 반지름 $$\rho \,(\rho>\rho_{0})$$인 원을 통과하는 자기 선속은위에서 했던 것과 마찬가지로
$$\displaystyle F=\int \mathbf{B} \cdot d \mathbf{a}=\mu_{0} \pi \rho_{0}^{2} NI $$가 되므로 자기 벡터 퍼텐셜은
$$ \displaystyle A_{\phi} \cdot 2\pi \rho=\mu_{0} \pi \rho_{0}^{2} NI $$가 된다.
$$ \displaystyle \mathbf{A}=\frac{\mu_{0}NI}{2} \frac{\rho_{0}^{2}}{\rho} \hat{\boldsymbol{\phi}} \quad (\rho>\rho_{0}) $$
이때, $$\rho \rightarrow \rho_{0}$$일 때, 내·외부의 자기 벡터 퍼텐셜은 연속이 되므로 상수항을 추가할 필요는 없으므로 구하는 자기 벡터 퍼텐셜은이 된다.
$$ \displaystyle \mathbf{A}=\left\{ \begin{array}{l} \displaystyle \left[ \frac{\mu_{0}NI}{2} \rho \right] \hat{\boldsymbol{\phi}} &\quad (\rho<\rho_{0})\\ \\ \displaystyle \left[ \frac{\mu_{0}NI}{2} \frac{\rho_{0}^{2}}{\rho} \right] \hat{\boldsymbol{\phi}} &\quad (\rho>\rho_{0})\end{array}\right. $$
[각주]