자기동형수
1. 개요
Automorphic number. 주어진 진법에서 아무리 거듭제곱하여도 끝자리가 유지되는 수를 말한다.
2. 정의
$$b$$진법의 $$k$$자리 자연수 $$n$$이 자기동형수라는 것은 임의의 자연수 $$m$$에 대해 $$n^m \equiv n\left(\text{mod}\,b^k\right)$$가 성립함을 의미한다. 사실 $$m=2$$일 때만 성립해도 모든 자연수에서도 같은 성질이 성립한다.
특히, 0, 1은 모든 진법에서 거듭제곱에 대한 멱등원(idempotent element)이므로 특수하게 다뤄진다.
3. 각 진법에서
3.1. 2진법의 경우
자명한 경우로, 거듭제곱한 횟수에 상관없이 홀수일 경우 끝자리가 반드시 1이며, 짝수일 경우 끝자리가 반드시 0이다.
3.2. 10진법의 경우
각 자리수마다 4개의 자기동형수가 있다. $$a_1=0,1,5,6$$에서 시작해서 $$a_{2n} = 3(a_n)^2-2(a_n)^3$$을 반복한 뒤 잘라내면 원하는 길이의 자기동형수를 얻을 수 있다.
0→00→0000(→000)→00000000(→00000,000000,0000000)→...
1→01→0001(→001)→00000001(→00001,000001,0000001)→...
5→25→0625(→625)→12890625(→90625,890625,2890625)→...
6→76→9376(→376)→87109376(→09376,109376,7109376)→...
4. 용례
[image]
이과 망했으면 시리즈에서 볼 수 있는 해당 현상은 76이 10진법의 두 자리 자기동형수이기 때문에 일어난다.