지수(수학)
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1. 개요
지수는 어떤 수나 문자의 오른쪽 위에 덧붙여 쓰여 그 거듭제곱을 한 횟수를 나타내는 문자나 숫자를 말한다. 밑과 지수를 싸잡아 이를 때는 따로 멱수(冪數)라고 하기도 한다. 컴퓨터 상에서는 문서 편집기를 쓰지 않는 이상 위첨자를 쓰기 힘든 경우가 많기 때문에 ^[1] 기호를 써서 '밑^지수'와 같은 식으로 쓰이기도 한다.[2] 때문에 지수가 들어가는 수식을 컴퓨터 텍스트로 보는 경우 은근히 가독성이 떨어지는 경우가 종종 생긴다. 나무위키에서는 위첨자 기능을 제공하므로 위키 내에서는 첨자로 나타내도록 하자. 혹은
[math(...)]대한민국에서는 중학교 1학년부터 배운다.[3] 어떤 수 $$x$$를 $$n$$번 곱했을 때 $$x^n$$으로 쓰고, $$x$$의 $$n$$제곱이라고 읽는다. 이 때 지수는 주로 자연수를 범위로 해서 배운다.
2. 지수법칙
$$a$$가 [math(0)] 또는 양의 실수, $$b$$, $$c$$가 자연수일 때
- $$a^b \times a^c = a^{b+c} $$ (지수의 덧셈)
- $$a^b \div a^c = a^{b-c} $$ (지수의 뺄셈)
- $$ (a^b)^c = a^{bc} $$ (지수의 곱셈)
2.1. 지수의 확장
대학교 수준에서는
- 모든 자연수 $$n$$에 대하여 $$ a^{n+1} = a^n \cdot a $$
- $$ a^1 = a $$
그래서 이러한 지수들에는 새로운 정의가 필요하다. 기존에 자연수 지수의 성질을 그대로 유지하면서 정수, 유리수, 실수, 복소수로 확장해 나가는 것이다. 이렇게 확장시키는 것을 '''일반화'''라 한다.
00은 정의하지 않지만, 수학적 편의를 위해 00=1로 놓고 사용하는 경우가 많다.[4]
2.2. 고등학교 교과 과정에서의 정의
2.2.1. 정수로의 확장
먼저 지수 법칙을 적용해 [math(0)]에 대해서 확인하면 $$a^{n+0} = a^n \cdot a^0 = a^n$$이다. 따라서 $$a^0 = 1$$로 정의를 내리는 것이 자연스럽다.
또한, $$a^n \cdot a^{-n} = a^0 = 1$$로부터 $$\displaystyle a^{-n} = \frac1{a^n}$$임을 알 수 있다.
예시를 들어서 설명하면, $$a^{-2}\cdot a^2=a^{2-2}=a^0=1$$이므로
$$a^{-2}$$를 어떤 수라고 한다면 어떤 수에 $$a^2$$를 곱했을 때 $$1$$이 나오는 수는 $$\dfrac1{a^2}$$이므로 $$a^{-2}=\dfrac1{a^2}$$이다.
-
고등학교에서 등장하진 않지만 위의 개념을 수열을 이용해서도 정의할 수 있다.
아래와 같은 수열 $$\{a^n\}$$을 부분적으로 나열한 부분수열이 있다고 하자.
$$\{a^{-2},\,a^{-1},\,a^0,\,a^1,\,a^2\}$$
이 수열은 수열 안에 있는 어떤 한 숫자에 $$a$$를 곱하면 바로 오른쪽 있는 수가 되는 성질이 있다.
그리고 반대로 수열 안의 어떤 한 숫자에서 $$a$$를 나누면, 즉 $$\dfrac1a$$를 곱하면 바로 왼쪽에 있는 수가 되는 성질이 있다.
따라서 $$a^0\cdot a=a^1=a$$이므로, $$a^0$$을 어떤 수라고 한다면, 어떤 수에 $$a$$를 곱했을 때 $$a$$가 되는 수는 $$1$$이므로 $$a^{0}=1$$이다.
또, 같은 방법으로 $$a^{-1}\cdot a=1$$이므로 $$a^{-1}=\dfrac1a$$이다. $$a^{-2}\cdot a=\dfrac1a$$이므로 $$a^{-2}=\dfrac1{a^2}$$이다.
이렇게 귀납법으로 일반화하면 $$a^{-n}=\dfrac1{a^n}$$이 된다.
2.2.2. 유리수로의 확장
$$ a^{n\cdot\frac1n} = a $$
그리고 모든 유리수 $$n$$에 대해 지수의 곱셈법칙이 성립한다면
$$ a^{n\cdot\frac1n} = (a^{\frac1n})^n $$
따라서,
$$ a = (a^{\frac1n})^n $$
로 정의를 내리는 것이 자연스럽다.
$$ a^{\frac1n} $$의 값을 하나로 결정해야 하므로[5], 주 거듭제곱근(principal n-th root)을 사용하여 $$ a^{\frac1n} = \sqrt[n]a $$와 같이 정의한다.
추가로
$$ a^{\frac mn}=a^{m\cdot\frac1n} $$ 이고
$$ (a^{m\cdot\frac1n})^n $$지수에 $$n$$을 곱해주면
$$a^m$$이 된다
따라서 $$a^{\frac mn}$$은 지수에 $$n$$을 곱해주면 $$a^m$$이 되는 수이며,
$$a^m$$을 다르게 표현하면 $$a^m=(\sqrt[n]{a^m})^n$$
따라서 $$a^{m}$$의 $$n$$제곱근이 $$a^{{m \over n}}$$의 값이 되는 것이다.
$$a^{\frac mn}=\sqrt[n]{a^m}$$
위와 같이 정의하면 지수법칙을 잘 만족함이 알려져 있다. 고등학교에서는 정의 상 허수가 나올 수 없지만, 대학교에서는 정의에 따라 얼마든지 나올 수 있다. 예를 들어, $$ (-2)^{\frac13} $$을 Wolfram Alpha에서 계산해 보면 $$ (-2)^{\frac13} \approx 0.62996 + 1.0911 i $$임을 알 수 있다.
2.2.3. 실수로의 확장
실수의 성질 중에 조밀성(dense)이라는 성질은 무리수로 수렴하는 유리수 수열을 정의할 수 있다는 것이다. 예를 들자면 원주율 $$\pi$$에 대해 $$3,\,3.1,\,3.14,\,3.141,\,3.1415,\,\cdots$$이 된다. 이것을 이용해 정의하면 일반적으로 $$a^r$$은 $$p=\lim r_n$$인 유리수열 $$\{r_n\}$$을 이용하여 극한 $$a^p:=\lim a^{r_n}$$으로 정의한다.[6] 이 극한값이 존재함은 실수의 완비성으로부터 쉽게 보일 수 있다. 이렇게 하면 $$2^{\pi}$$는 $$2^{3},\,2^{3.1},\,2^{3.14},\,\cdots$$인 수열의 극한으로 정의된다.
오메가 상수라는 특수한 실수가 있는데, 자연로그의 밑에 곱하고 지수를 취하면 1이 되는 수이다.
2.2.4. 복소수로의 확장
복소수로의 확장을 위해서는 엄밀한 증명이 필요하지만, 결론만 이야기하면 확장이 가능하다.
먼저 $$ a^x = e^{x \ln a} $$로부터 $$ x^z = x^{a+bi} = e^{(a+bi) \ln x } $$ 가 튀어나온다. 그리고, 오일러의 공식 $$e^{ix} = \cos x + i\sin x$$를 조합하면 지수함수, 로그함수, 삼각함수가 하나로 통합되어 버린다.
복소수까지 확장되면 지수함수, 로그함수는 함수값을 여러 개 가지는 '다가함수'로 바뀌어 버린다. 그래서, 편각의 범위를 제한(=주치를 선택)하거나, 리만 곡면으로 확장하여 고려해야 한다.
이와 같은 방법을 통해 $$i^i$$와 같은 수도 정의할 수 있다. $$i^i = e^{i \ln i} = e^{i\cdot i\pi \left(2n+\frac12\right)} = e^{-\pi \left(2n+\frac12\right)} $$가 되고, 주치를 택하게 되면 $$i^i = e^{-\frac{\pi}2} $$가 된다. 즉, 허수에 허수 제곱을 하면 특이하게도 실수가 나오는 경우이다.[7] 참고로 여기서는 하나의 값(주치)만 언급했지만, $$i^i$$는 다가함수이기에 여러 개의 값을 가진다.
2.3. 그 외
사실 위에 있는 지수 법칙도 전부 $$e$$에 대해 성립함을 보여서 먼저 정의한 다음 자연로그를 통해 $$ a^x = e^{x \ln a} $$를 이용해 일반적인 지수로 정의한다. 그럼 여기서 또 갑자기 튀어나온 로그 때문에 당황하게 된다. 고등학교 교육과정에서는 지수가 정의된 후 지수함수의 역함수가 로그함수라고 배우지만, 대학교에서는 로그함수를 먼저 정의한 뒤 로그함수의 역함수를 지수함수라 정의하는 등 다양한 정의가 있으며, 그 정의는 서로 동등하다. (역사적으로도 로그함수가 먼저 출현했다.)
2.3.1. 정적분을 이용한 정의
먼저 자연로그함수 $$\ln x$$를 다음과 같이 정의한다.
$$\displaystyle \int_1^x \frac 1t \,\mathrm{d}t = 1$$
그 다음 $$\ln x$$의 역함수를 정의한다.
$$\ln^{-1}x = \exp x$$
이렇게 정의하면 $$\exp x$$가 바로 우리가 알고 있는 자연지수함수 $$e^x$$이고, 나머지 일반지수함수를 $$ a^x = e^{x \ln a} $$로 정의할 수 있게 되어 매끄럽게 설명이 가능하다.
2.3.2. 멱급수를 이용한 정의
$$\displaystyle \exp(x) := \sum_{n=0}^{\infty} {x^n \over n!}$$
$$\displaystyle \operatorname{cis}(x) := \sum_{n=0}^{\infty} {(ix)^n \over n!} = \sum_{n=0}^\infty \frac{\left(-1\right)^n x^{2n}}{(2n)!} + i \sum_{n=0}^\infty \frac{\left(-1\right)^n x^{2n+1}}{(2n+1)!}$$
테일러 급수를 이용해서 위와 같이 정의할 수 있다. $$\exp(x)$$는 exponential x의 준말로, 자연지수함수이다. 따라서 $$e^x$$와 같다. $$\operatorname{cis}(x)$$는 오일러 공식을 구성하는 요소의 이름자[8]에서 하나씩 따왔으며, 이는 허수지수함수를 삼각함수의 합으로 나타낼 수 있다는 이야기이다.
얼핏 보면 지수함수를 지수로 정의하기 때문에 순환논법처럼 보일 수 있으나, 좌변의 지수 x는 실수 및 복소수인 반면 우변의 지수는 모두 자연수다. 즉 자연수 지수를 실수, 복소수 지수로 확장하는 것이다.
3. 함수의 지수
함수에 지수가 있는 때가 있는데, 동일 함수의 합성 형태인 $$ f^2(x) = (f \circ f)(x) $$의 축약형이다. 여기서 지수는 함수가 몇 번 합성됐느냐를 나타내며, 이는 미분방정식의 도함수($$\mathrm{d}$$), 편도함수($$\partial$$)에도 적용된다. 이것을 이용해서 함수의 제곱근을 구할 수도 있다.
단, 함수에 붙은 지수가 함숫값의 거듭제곱을 나타내는 경우도 많이 있는데, 삼각함수, 로그함수 및 대다수의 특수함수들[9]이 여기에 속한다. 즉, $$ f^2(x) = (f(x))^2 $$이다.
역함수는 보통 $$f^{-1}(x)$$이라고 쓰며, 역삼각함수도 삼각함수 앞에 arc-나 a-를 붙이는 방법 외의 다른 방법으로 삼각함수에 지수 -1을 붙인다. 예를 들면, 역사인함수의 경우 $$\arcsin x, \mathrm{asin}\, x, \sin^{-1} x$$의 표기가 혼용된다.
한편 함수를 이루는 항이 특정 수의 지수로만 존재하는 경우를 멱함수, 이를 이용한 급수를 멱급수라고 한다. 다항함수의 경우, 미지수의 지수가 가장 큰 항의 지수를 차수#s-2(degree)라고 한다.
4. 집합의 지수
집합에 거듭제곱이 있으면 집합을 그 거듭제곱의 수효만큼 '''순서쌍'''으로 묶어놓은 것을 집합의 원소로 삼는 집합[10]으로 정의한다.
예) $$\{1,2,3\}^2 \Rightarrow \{\{1,1\}, \{1,2\}, \{1,3\}, \{2,1\}, \{2,2\}, \{2,3\}, \{3,1\}, \{3,2\}, \{3,3\}\}$$
보통 중적분에서 [math(\mathbb{R}^n)] 등으로 지겹게 접하게 된다.
더 나아가, 집합 그 자체를 지수로 삼을 수도 있는데, 이를 멱집합이라고 한다.
5. 관련 문서
[1] 캐럿으로 읽는다. 사실 하도 캐럿이 이모티콘으로 쓰이는 빈도가 압도적으로 많고 지수 표시를 위해서 쓰일 때는 '$$A$$의 $$B$$제곱' 같은 식으로 읽기에 캐럿을 읽는 경우는 거의 없다보니 캐럿이 무슨 기호이고 어떻게 읽는지 모르는 사람들이 대다수다. 자세한 것은 해당 문서 참조.[2] 만약 plain text에서 ^ 기호를 사용해 지수를 표기하는데 지수 안에 + 등 다른 부호가 들어갈 경우, 2^(x+3)과 같이 지수 전체를 괄호로 씌워 주는 게 좋다. 괄호를 씌우지 않으면 어디까지가 지수인지 알 수 없기 때문이다. 그냥 2^x+3이라고만 쓰면 x만 지수인 것으로 받아들이는 경우가 많다.[3] 6차 교육과정까지는 초등학교 6학년부터 배웠다.[4] 실제로 몇몇 핸드폰 계산기는 00을 계산하면 '1' 또는 '없음'이라고 계산한다. 공학용 계산기는 에러코드를 띄운다.[5] 복소수의 범위에서, $$n$$이 양의 정수일 때 $$n$$개 있다.[6] $$p=\lim r'_n$$이면, $$\lim a^{r_n}=\lim a^{r'_n}$$이다.[7] 사실, 무리수의 무리수지수가 정수가 나오는 경우도 있다. 잘 알려진 건 $$e^{\ln{a}}=a$$. $$a$$가 $$1$$이 아닌 양의 유리수라면, $$\ln a$$는 항상 무리수가 되는 건 증명되어 있다.[8] '''c'''osine, '''i'''maginary unit, '''s'''ine[9] 감마 함수, 지수 적분 함수, 폴리로그함수 등[10] 집합족(Family of sets)이라고 한다.