잠자는 숲속의 미녀 문제
1. 개요
Sleeping Beauty Problem
잠자는 미녀(의) 문제, 잠자는 숲속의 공주 문제 등으로도 불린다.
확률론의 사고실험 내지는 역설의 하나. 확률이 1/2이냐 1/3이냐로 갈리는 걸 보면 몬티 홀 문제가 떠오르지만 내막은 오히려 베르트랑 역설(Bertrand paradox)과 비슷한 점이 많다. 즉 이산적인 확률에 대해서도 가능성이 같은 사건이라는 게 애매하기에 생긴 문제로 현재까지도 일관된 합의는 존재하지 않고 논쟁 중에 있다.
2. 내용
미녀가 다음과 같은 실험내용을 확인 한 뒤 그 실험에 자원하기로 한다.
- 실험이 시작되면 동전을 던져 그 결과에 따라 다음과 같이 실험을 진행한다.
- 미녀를 월요일에 깨워 질문을 하고 기억소거제를 이용해 월요일의 기억을 지운다.
- 만약 동전이 뒷면이었다면 미녀를 화요일에 깨워 질문을 하고 역시 기억소거제를 이용해 화요일의 기억을 지운다. 동전이 앞면이었다면 화요일엔 미녀를 깨우지 않는다.
- 수요일이 되면 미녀를 깨우고 실험을 종료한다.
동전은 공정하다고 가정한다.실험 시작시 던진 동전이 앞면이 나왔을 확률은 얼마인가?
3. 해석
3.1. 답은 1/3이다.
애덤 엘가의 주장이다.
질문을 받았을 때 가능한 사건은 (앞면, 월요일), (뒷면, 월요일), (뒷면, 화요일) 세 가지 뿐이다.
뒷면이 나왔을 경우 미녀는 깨어난 기억을 소거당했기 때문에 월요일과 화요일을 구별할 수 없다. 즉 두 가능성은 동등하므로 (뒷면, 월요일)과 (뒷면, 화요일)의 확률은 같아야 한다.
월요일일 경우 공정한 동전이므로 두 가능성은 동등하므로 (뒷면, 월요일)과 (앞면, 월요일)의 확률은 같아야 한다.
세 가지 확률이 같고 이 중 어느 것도 동시에 일어날 수 없으므로 (앞면, 월요일)=(뒷면, 월요일)=(뒷면, 화요일)=1/3이다.
3.2. 답은 1/2이다.
데이비드 루이스의 주장. 동전은 공정하므로 실험에 참가하기 전 같은 질문을 한다면 미녀의 답은 1/2일 것이다. 기억이 소거된 미녀 입장에선 이 확률에 영향을 끼칠 어떤 정보도 추가적으로 주어지지 않으므로 미녀의 답이 1/2에서 바뀌는 것은 불합리하다.
3.3. 두 답은 단지 관점의 차이일 뿐이다.
위 두 주장은 단지 관점의 차이에서 비롯된 것일 뿐이라는 견해가 있다.
닉 보스트롬은 인간원리를 다룬 자신의 저서에서 같은 시계열에서 존재하는 관측자들이 동등한 가능성을 갖는다고 볼 경우 확률은 1/2이 되며 가능한 모든 관측자들이 동등한 가능성을 갖는다고 볼 경우 1/3이 됨을 보였다.
4. 여담
이름이나 실험 내용이나 동화인 잠자는 숲속의 미녀에서 따온 사고실험이지만 정작 해당 동화의 프랑스어 원제에서 잠드는 것은 미녀가 아니라 숲이라는 게 함정.