몬티 홀 문제
Monty Hall problem
1. 개요
'몬티 홀'이라는 미국/캐나다 TV 프로그램 사회자가 진행하던 미국 오락 프로그램 《Let's Make a Deal》에서 유래한 확률 문제.Suppose you’re on a game show, and you’re given the choice of three doors. Behind one door is a car, behind the others, goats. You pick a door, say #1, and the host, who knows what’s behind the doors, opens another door, say #3, which has a goat. He says to you, "Do you want to pick door #2?" Is it to your advantage to switch your choice of doors?
당신이 한 게임 쇼에 참여하여 세 문들 중 하나를 고를 기회를 가졌다고 생각해봐라. 한 문 뒤에는 자동차가 있으며, 다른 두 문 뒤에는 염소가 있다. 당신은 1번 문을 고르고, 문 뒤에 무엇이 있는지 아는 사회자는 염소가 있는 3번 문을 연다. 그는 당신에게 "2번 문을 고르고 싶습니까?"라고 묻는다. 당신의 선택을 바꾸는 것은 이득이 되는가?
2. 상세
조건부 확률을 다루는 문제 중에서 가장 유명해서 구글에 몬티 홀이라고 검색해도 사람 대신 문제가 먼저 나올 정도다. 최초로 수학 문제로서 제시된 것은 1975년의 일이고, 메릴린 보스 사반트가 1990년에 《퍼레이드》라는 잡지의 독자의 질문을 해결해주는 칼럼 '사반트에게 물어보세요'에서 이 문제를 다루면서 유명해졌다. 위의 원문은 해당 칼럼에 실린 문제를 그대로 가져온 것이며, 상품의 종류 등의 디테일은 문제에 따라 조금씩 바뀐다.
질문은 간단하나 결과는 상식과 직관을 전면 부정해버리고, 그것이 심지어 사실이라는 것, 50%에서 60%대로 올라가는 살짝 미묘한 확률, 결과에 대한 증명을 좀처럼 쉽게 이해하기 힘들다는 점 때문에 수많은 사람들에게 수학적 충격을 주었다. 수학 좀 한다는 학자들도 반론을 내밀었을 정도.
몬티 홀 문제는 일반적으로 다음의 룰을 통해 진행된다.
- 문 3개가 있는데 한 문 뒤에는 자동차가 있고 나머지 두 문 뒤에는 염소가 있다. 참가자는 이 상황에서 문을 하나 선택하여 그 뒤에 있는 상품을 얻는다.
- 참가자가 어떤 문을 선택하면 사회자는 나머지 두 문 중에 염소가 있는 문 한 개를 열어 참가자에게 그 문에 염소가 있다고 확인시켜준다.
- 그 후 사회자는 참가자에게 선택한 문을 닫혀있는 다른 문으로 선택을 바꿀 기회를 준다.
대부분의 사람들의 직관적인 생각에서는 선택을 바꾸든 바꾸지 않든 확률은 똑같이 1/2일 것이다. 당신이 최초에 한 선택 뒤에 염소가 있든 승용차가 있든, 염소가 있는 문은 한 개 또는 두 개가 남아있을 것이다. 사회자는 그걸 열면 그만이고, 남은 문은 무조건 염소 아니면 승용차일 테니 바꾸나 바꾸지 않으나 똑같을 것이다. 덧붙여 대부분의 사람들은 비슷한 상황에서 그냥 원래 선택을 유지하는 경우가 많다. 심리학적으로 사람은 이득보다 손해에 민감하게 반응하므로, 괜히 바꿨다가 원래 선택한 문에 승용차가 있었으면 정말 억울하기 때문이다.
1/2이 아니라 2/3가 되는 이유에 대해서 직관적으로 이해가 되지 않는다고 좌절하지 말자. 이 문제가 대중적으로 가장 화제가 되었던 1990년도에 기네스 북에 높은 IQ로 등재된 보스 사반트의 칼럼 '사반트에게 물어보세요'에서 사반트가 이 문제에 대한 정답(2/3)을 제시했을 때 약 만 통의 항의 편지를 받았고 그 중 약 천 통은 수학이나 공학에서 박사학위를 가진 사람들이 보낸 것이었다. #
사실 이 문제도 해답을 보기 전까진 대부분의 사람들은 직관적으로 선택을 유지하든 바꾸든 직관적으로 50%의 확률이라고 생각해버린다. 해답을 보고 '논리적으로' 이해는 했음에도 여전히 직관적으로는 왜 50%의 확률이 아닌지 쉽게 납득하지 못하는 경우도 많을 정도로 인간의 직감과 논리가 많이 동떨어져 있다는 걸 보여주는 예시기도 하다.
이처럼 몬티홀 문제는 답이 1/2이냐 2/3이냐에 대한 논쟁으로 대중들에게 많이 알려졌다. 답이 2/3인 것으로 판명이 난 이후에도 악마 몬티(Monty from Hell), 천사 몬티(Angelic Monty), 편견 있는 몬티[4]와 같이 사회자의 마음가짐에 조건을 추가하거나 몬티홀 문제를 게임 이론과 접목시켜 새로운 형태로 만들어내는 등 기존 문제에 대해 다양한 파생 문제들이 만들어지기도 했다. 이에 대해 본 문서에서는 기존의 "고전적인 몬티홀 문제"를 중심으로 다루고 있다. 전문적인 문제의 정의와 풀이, 이를 이용한 변형 문제 등과 관련해서는 이 논문 혹은 영문 위키피디아를 참고바란다.
3. 바꾸는 쪽이 더 높은 이유는?
'''조건부 확률'''이 적용되기 때문이다.
예를 들어 당신이 운전을 하는 도중 목적지에 도착할 때까지의 사고 발생 확률은 당신의 안전을 고려해서 0.000001%라고 가정하자. 그러나 당신의 이동 경로 중 차량 멀리에서 무단횡단자라도 난입하면 당신의 사고 발생 확률은 이미 정해진 확률에서부터 1%대는 당연하듯 순식간에 치솟는다. 기존 당신의 경로에서는 분명히 0.000001%였는데 말이다. 몬티 홀 문제도 마찬가지로, 기존의 닫힌 계 바깥에서 확률에 개입할 사건이 발생하면 기존 선택의 확률이 변화한다. 몬티 홀 문제는 당신이 닫힌 계에서 정해진 확률에 근거해 문을 선택하는 도중 사회자가 개입함으로 인해 발생하는 확률 변화의 정도를 묻는 퀴즈이다.
이 문제의 트릭은 사회자가 염소 문을 하나 열고 당신이 선택한 문을 바꾸는 행위가 사실은 염소 확률과 자동차 확률을 뒤바꾸는 행위 라는 점 이다.
사회자가 문을 열지 않은 처음 선택에서 당신은 염소를 고를 확률이 2/3으로 더 높기 때문에, 몬티 홀 딜레마에서는 바꾸는 것이 더 차를 얻을 확률이 높아진다. 만약 당신이 무조건 결정을 바꾼다고 결심을 하고 처음에 염소를 골랐는데 결심대로 결정을 바꾼다면 당신은 차를 얻는다! 하지만 당신이 처음에 차를 골랐는데 결정을 바꾼다면 당신은 염소를 얻는다. 처음에 염소를 고르고 바꾸면 차를 얻고 차를 고르고 바꾸면 염소를 얻는 것이다. 결정을 바꾼다는 전제하에 2/3 확률로 염소를 고르면 차를 얻으니까 처음 염소를 뽑을 확률이 높은 우리는 무조건 바꿔야한다! 결정을 바꾸지 않는다면 당신은 맨 처음 차를 뽑았을 확률인 1/3을 그대로 들고 가는 것이기 때문에 더 손해를 보게 된다.
몬티 홀 딜레마에서 가장 중요하게 생각해야 하는 것은, 이때의 확률은 '''문을 바꿨을 경우 vs 문을 안 바꿨을 경우'''에 해당한다는 것이다. 애초에 처음부터 하나의 문이 열려 있고, 나머지 두 문 중 하나를 선택해야 하는 것이라면 확률은 50%가 맞다. 즉, 양자택일의 행위가 아닌, 문을 바꾸는 행위(정확히는 내가 하나의 문을 선택하고 있음으로써 사회자가 꽝 문을 열 때 내가 선택했던 문을 열지 못함으로써 변동하는 확률)에서 파생되는 확률이 66.6%이므로 둘은 엄연히 다르다. 이 미묘한 차이를 직관적으로 이해하기가 힘들기 때문에 착오가 벌어지는 것이라고 이해해야 한다. 즉, 확률의 조건이 되는 사건 두 개(첫번째 선택과 두 번째 선택)가 얽히느냐, 얽히지 않느냐에 따라 확률이 변동한다.
직관적으로 이해하기에 양자택일과 문을 바꾸는 행위간에 확률에 차이가 있다는 것이 이해가 쉽지 않다. 다른 것은 놔두고 문을 선택한다는 '사실'만 두고 보면 두 행위는 같은 것이기 때문이다. 때문에 확률도 동일하다고 착각하기가 쉽다.
직관적으로 정리를 하자면,
만약 '''처음에 오답을 골랐다면''' 사회자가 오답인 다른 문을 열었을 때 '''무조건 바꿔야 정답이 나온다.'''
이 경우 처음에 오답을 고를 확률은 두 오답 중 하나를 고르게 되는 확률, '''2/3'''이다.
그러나 '''처음에 정답을 골랐다면''' 사회자가 오답인 다른 문을 열었을 때 '''바꾸면 무조건 오답이다.'''
이 경우 처음에 정답을 고를 확률은 '''1/3'''이다.
그렇기에 바꾸면 2/3, 바꾸지 않으면 원래 확률인 1/3로 정답이 나온다는 것이다. 여러 가지 방법으로 자세한 설명은 하단에 후술.
3.1. 설명 1
직관에 따르면 이렇게 전개된다.
- 맨 처음 자신이 선택한 문이 정답일 확률: 맨 처음 자신이 고른 것은 뭐가 정답이고 뭐가 꽝인지 모르는 문 3개 중에서 1개를 선택했기 때문에, 그것이 정답일 확률은 1/3이다.
- 사회자가 정답이 아닌 문을 공개한 후, 자신이 선택하지 않은 남은 문이 정답일 확률: 하지만 사회자가 정답이 아닌 문 즉 꽝인 문을 1개 공개해버리면, 남은 문은 2개가 된다. 따라서 자신이 선택하지 않은 남은 문은 정답일 확률이 1/2이다.
여기서 사람들이 헷갈려 하는 것이, '사회자가 정답이 아닌 문을 공개한 순간'부터 맨 처음 자신이 선택한 문이 정답일 확률도 똑같이 2분의 1이 된 것이 아니냐고 생각한다. 사람들이 이러한 논리적인 오류를 범하는 이유는 '''자신이 맨 처음 어떤 문을 선택했느냐에 따라 사회자가 공개하는 문이 달라진다'''는 것을 간과하기 때문이다. 정확히는 '''바꾼 문이 정답일 확률'''이 아니라 '''내가 처음에 고른 문이 오답일 확률'''이라고 말하는 게 더 직관적이다.
만약 내가 선택을 한 뒤 사회자가 정답이 아닌 문을 공개하는게 아니라, 맨 처음부터 정답이 아닌 문을 공개하고 문 2개 중 하나를 선택한다면 확률은 완벽하게 1/2이다. 하지만 중요한 점은 '''내가 맨 처음에 골랐을 때 확률이 1/3이었다는 것이다.''' 그럼 내가 고르지 않은 나머지 두 문에 차가 있을 확률은 2/3이다. 그중 하나의 문을 열어도 그 두 문 중에 차가 있을 확률은 여전히 2/3이다.
3.2. 설명 2
[image]
위 사진은 '정답이 아닌 것이 공개된 후 반드시 선택을 바꾼다'는 전제하에 가능한 경우의 수들이다.
그 결과를 보면 알겠지만, '맨 처음 정답을 선택했을 시'(선택1)에는 최종적으로는 꽝을 선택하게 된다. 하지만 '맨 처음 꽝을 선택했을 시'(선택2, 3)에는 최종적으로는 정답을 선택하게 된다. 즉 아이러니하게도 반드시 선택을 바꾼다는 전제하에는, '''처음에 꽝을 골라야만 최종적으로 정답을 선택하게 된다.''' 그리고 이 때 처음에 꽝을 고를 확률은 2/3다.
반대로 선택을 바꾸지 않는 경우엔, 처음부터 정답을 골라야 한다는 걸 알 수 있다. 이 경우의 확률은 계산할 것도 없이 1/3.
결론은 '선택을 무조건 바꾸기로 했을 때는 처음에 꽝을 골라야 하며, 선택을 무조건 바꾸지 않기로 했을 때는 처음에 정답을 골라야 한다. 전자의 확률은 2/3, 후자의 확률은 1/3이니 선택을 무조건 바꾸는 쪽이 더 유리하다.'
3.3. 설명 3
이를 확률론적으로 설명하는 방법으로는 베이즈 정리를 이용하는 방법이 있다.
참가자가 고른 문을 A, 나머지 두 문을 B와 C라고 하고, "사회자가 A 문 제외의 문을 열어주고 염소가 있음을 보여주는 사건"을 D라고 하자.
우리가 구하고자하는 것은 사건 D가 일어난 상태에서 A 문에 자동차가 있는 사건(이하 사건 A)의 조건부 확률, 즉 $$\displaystyle P(A|D)$$이다. 이제 베이즈 정리에 따라 해당 사건의 역사건, 즉 어떤 문 X 안에 자동차가 있을 때 사회자가 C 문을 여는 사건(D|X)을 생각해보자.
'''사회자는 A 문을 열 수 없고''' B, C 중 하나만을 고를 수 있으며, '''염소가 있는 문을 열어줘야 한다는 목적'''이 있는 상태이므로 각각의 확률은 이하와 같다.
- 만약 자동차가 A에 있다면 사회자는 B와 C문 중 하나를 골라 열어줄 것이다. 2가지 선택지 중 하나를 무작위로 고르는 확률이므로 $$\displaystyle P(D|A) = {1 \over 2}$$.
- 만약 자동차가 B에 있다면 사회자는 A, B문을 열 수 없으므로 C문을 열 수밖에 없다. 즉 $$\displaystyle P(D|B) = 1$$.
- 만약 자동차가 C에 있다면 사회자가 C문을 여는 일은 일어날 수 없다. 즉 $$\displaystyle P(D|C) = 0$$.
$$\displaystyle P(A|D) = {P(D|A) \over P(D|A) + P(D|B) + P(D|C)} = {0.5 \over 0.5 + 1 + 0} = {1 \over 3}$$
$$\displaystyle P(B|D) = {P(D|B) \over P(D|A) + P(D|B) + P(D|C)} = {1 \over 0.5 + 1 + 0} = {2 \over 3}$$
가 되어 B에 차가 있을 확률이 2배 더 높다.
3.4. 설명 4
[image]
[5]
사실 위의 설명들은 논리적으로 이해된다 하더라도 사실 많은 사람들이 문이 단 2개만 남겨진 시점에서 어떻게 50% : 50%가 되지 않는지 '논리'론 이해해도 아직 '직감'으로 와닿지 않은 경우가 많다. 이럴 때는 문이 3개가 아니라 '''100개'''라고 비유하면 직관으로 납득하기 더 편하다. 문이 100개가 있으며 정답인 문은 1개 뿐이다. 자신이 맨 처음 100개 중 하나를 선택했을 때 그것이 정답일 확률은 당연히 100분의 1의 확률로 그다지 큰 확률이 아니다. 하지만 사회자가 자신이 선택하지 않은 99개의 문중 총 98개의 문을 열어서 꽝임을 보여주고 1개의 문은 비공개 해두었다. 현재 닫혀있는 문은 총 2개, 자신이 맨 처음 선택한 문과 사회자가 열지 않은 문 1개이다. 아직도 원래 문을 지키고 싶은가? 본능적으로 뭔가 상당히 무모해 보이지 않는가?
문이 몇 개가 되든 몬티홀 문제의 핵심은 바로 단 2개의 문만을 마지막에 남겨둔다는 점이다. 따라서 마지막에 선택을 바꾸는 것은 ''''처음에 정답을 골랐다면 → 꽝''''이고 ''''처음에 꽝을 골랐다면 → 정답''''으로 정오답을 반전시키는 기능을 가진다. 여기가 바로 핵심이다. 즉, '''마지막에 바꿨을 때 '정답'일 확률 = 맨 처음에 '꽝'을 고를 확률'''로 동일하게 만들어 주는 것이 바로 몬티 홀 문제의 정체다. 따라서 '선택을 바꿀 경우에' 정답일 확률이 99%가 된다. 여기서 사회자의 개입을 제외하고 두 개의 문 중 하나를 선택하라고 하는 것으로 사람들이 착각하기에 확률이 동일하다고 느끼는 것이고, 내지는 사회자가 다른 문들을 연 순간 '''자신의 첫 번째 선택이 정답일 확률이 바뀐다는 착각'''에 쉽게 빠진다. 이미 선택을 한 순간 정답일 확률은 1%, 오답일 확률은 99%로 고정되어 있다. 이 상태에서 사회자는 아주 친절하게 오답일 확률을 정답일 확률로 전환 시켜주는 것이다.
여기서 얻은 직감을 고스란히 문 3개짜리 문제로 가져오면 된다. 문이 3개인 몬티홀 문제 역시 맨 처음 꽝을 고를 확률이 2/3므로 마지막에 선택을 바꿨을 때 정답일 확률도 2/3다.
참고로 보스 사반트는 100개의 문보다 스케일이 훨씬 큰 '''100만 개'''의 문으로 설명했다.
3.5. 설명 5
확률 계산은 이해하더라도 사람들이 가장 많이 헷갈려 하는 것 중 하나는 '''왜 이러한 차이가 생겼느냐'''이다. 비유를 통해 이해할 수는 있지만 직관적으로 와닿지 않는 것이다. 이 차이를 명시적으로 설명하자면(본 예시는 문 3개를 기준으로 함):
- 사회자가 문 1개를 열어 남은 문 중 1개를 고를 때: 이 경우에는 2개의 문 중 1개를 고르면 된다. 따라서 이견의 여지가 없이 50%이다.
- 문 1개를 고른 뒤 사회자가 1개를 열어 변경이 가능할 때: 이 때는 사회자가 참가자가 선택한 문을 열 수 없다. 예를 들어 A, B, C 문 중 당신이 C 문을 골랐다면 사회자가 열 수 있는 문은 A, B밖에 없다. 앞서 (1)의 경우에서는 사회자는 선택권을 주기 전 자신 멋대로 정답을 제외한 1개 문을 열어놓고 시작한다. 즉, A, B, C 문 중 아무거나 열 수 있다. 이런 차이가 66.666...%라는 결과로 이어진 것이다.
3.6. 설명 6
몬티 홀 문제를 '''정답인 문을 찾는 게임'''이 아니라, '''꽝인 문을 찾는 게임'''이라고 이해해 보자. 게임 참가자가 '''꽝인 문'''을 찾는다면, 주최자인 몬티 홀은 게임의 규칙 상 당연하게 '''다른 꽝인 문'''을 보여줄 수밖에 없으며, 여기서 게임 참가자는 기계적으로 '바꾼다'를 선택하면 결과는 당첨일 수밖에 없다. 반면 처음에 정답인 문을 찾는다면, 당연히 남은 문들은 꽝인 문일 수밖에 없다.
즉 게임 자체를 '꽝인 문 찾기(+ 그리고 몬티 홀이 바꿀 기회를 줬을 때 무조건 '바꾸기'를 선택하기)'인 게임이라고 이해한다면, 정답이 아닌 문을 고를 확률은 3분의 2, 맞는 문을 찾을 확률은 3분의 1이 된다.
3.7. 기타 다른 설명
또 다른 설명으로는 '문을 바꾸지 않으면 당신은 1/3 확률의 선택을 한 것이고, 문을 바꾸는 순간 당신은 '''두 번 선택을 한 것이므로'''[6] 2/3의 확률을 가지게 된다'는 것도 있다.
이렇게 설명해도 어려우면 한번 확률 계산을 해보자. 만약 오답을 공개하는 행위 없이 2번의 선택을 거친다면 정답을 고를 확률은 어떻게 될까?
- 2번째 선택 때 바꾸지 않을 경우: 문 3개 중에서 하나를 고르는 것이니 확률은 1/3이 된다.
- 2번째 선택 때 바꿀 경우: 첫번째 선택 때 오답을 고르고 두번째 선택에서 남은 두개의 문 중에서 정답을 골라야 된다. 따라서 식으로 표현하면 2/3×1/2=1/3
- 2번째 선택을 하지 않을 경우: 1/3
- 첫번째에서 오답을 고르고 재선택에서 다른 문으로 바꿀 경우 : 2/3×1/1=2/3.
더 쉽게 설명하자면, '''처음에''' 오답을 고를 경우 바꾸면 무조건 정답이다. 처음에 오답을 고를 확률이 2/3이므로 2/3이 맞다.
똑같은 말을 기대값이라는 용어로 설명 할 수도 있다. 당첨이 1, 꽝이 0 인 상황에서 선택을 바꿨을 때 정답일 확률은 당신이 방금 오답을 골랐을 확률이다. 이 경우 계산할 것도 없이 선택을 바꿀 경우의 기대값이 2/3가 된다.
다른 방법으로 처음부터 문을 두 개 선택하고, 그 중 꽝인 문을 열게 하는 방법도 있다.
2개의 문을 선택하면 당첨될 확률은 2/3이다. 그 중 꽝인 문은 반드시 1개 이상 있다.
당신이 당첨인 2/3의 경우 꽝인 문을 연다고 해서 당첨이 취소되지 않는다.
당신이 당첨이 아닌 1/3인 경우 꽝인 문을 연다고 해서 당첨이 되지 않는다.
당신이 선택한 문 중 당첨이 아닌 문을 열었을 때 당신이 당첨될 확률은 얼마인가?
조금 야매스럽긴 하지만 의외로 간단한 방법이 있다. 우선 한 문을 고르고 그것이 자동차일 확률은 1/3이다. 그리고 확률의 총 합은 1인데, 여기서 다른 경우의 수는 오직 '''바꾼다'''라는 경우 밖에 없으므로 1 - 1/3 = 2/3가 나온다(...).
선택을 "묶음"으로 생각할 수도 있다. 예를 들어 일반적인 몬티 홀 문제처럼 3개의 문이 있다고 가정해보자. 본인이 정답일 가능성이 3분의 1 확률인 하나의 문을 고르고 난 다음 진행되는, '''진행자가 염소가 있는 문을 열어 주는 행위'''와 '''내가 선택을 바꾸는 행위'''를 하나의 행위로 보면, 본인은 선택을 바꿈으로써 2개의 문을 동시에 여는 행위가 되니 정답일 확률이 3분의 2로 증가하게 되는 것이다. 이를 4번 설명과 비슷한 방법으로 다시 설명하자면, 100개의 문이 닫혀 있을 때 내 선택이 정답일 확률은 100분의 1이지만 '''진행자가 남은 99개 중 98개의 꽝인 문을 열어주는 행위와 동시에 나의 선택을 바꾸면 나는 99개의 문을 동시에 여는 것이 된다.''' 그러므로 정답일 확률이 1%에서 99%로 증가하게 된다.
그 외에도 매우 많은 종류의 증명이 존재한다. 베이즈 정리를 써서 증명한다. 중심극한정리가 잘 적용되는 사례이기 때문에 수렴 속도도 빠르며, control variate 같은 기법을 사용하면 더더욱 빠르게 답을 구해볼 수 있다.
4. 사람들의 오해
3번에 자동차가 있다고 하면,
- 1번을 골랐을 경우에는 자동차가 없다. 그러므로 사회자가 염소가 있는 문을 연다면 2번 문을 열 것이다. 남은 문이 3번이므로 바꾸면 유리하다.
- 2번을 골랐을 때도 자동차가 없다. 그러므로 사회자가 염소가 있는 문을 연다면 1번 문을 열 것이다. 남은 문이 3번이므로 바꾸면 유리하다.
- 3번 문을 골랐을 때는 사회자가 두 가지 선택을 할 수 있다.
- 1번 문을 열었을 때 남은 문이 2번이므로 바꾸면 불리하다.
- 2번 문을 열었을 때 남은 문이 1번이므로 바꾸면 불리하다.
이 증명이 틀린 이유는, 애초에 경우의 수는 1번 문을 고르느냐, 2번 문을 고르느냐, 3번 문을 고르느냐 세 가지밖에 없기 때문이다. 자동차가 든 문을 골랐을 때 사회자가 어떤 문을 선택하느냐는 사실 고려 대상이 아니다.
이는 확률로 계산해보면 더욱 명확해진다. 위와 같은 경우, 즉 3번 문에 자동차가 들어 있는 상황이라고 할 때,
- 1번 문을 고를 확률이 1/3.
- 2번 문을 고를 확률이 1/3.
- 3번 문을 고를 확률이 1/3인데,
- 사회자가 1번 문을 열어 줄 확률은 3번 문을 고를 확률 × 1번 문을 열어줄 확률(1/3 × 1/2) = 1/6
- 사회자가 2번 문을 열어 줄 확률은 3번 문을 고를 확률 × 2번 문을 열어줄 확률(1/3 × 1/2) = 1/6
그런데 여기서 조건부 확률이란 게 참 기묘한 게, 말 한마디 주어진 상황이 아주 조금만 바뀌어도 상황이 틀어진다. 같은 상황에서 '''몬티 홀이 문을 열 때 오답을 전혀 모르고 있는 상태'''라고 전제조건을 바꾸어 생각해보자. 즉, 몬티홀이 열었을 때 자동차가 나올 수도 있는 상황이었다면, '''사회자가 고른 문 뒤에서 무엇이 나올 것인가가 고려대상이 포함되어 버리기 때문에''' 몬티 홀이 먼저 염소가 있는 문을 열었더라도 '''이 경우만큼은 당첨자 뒤에 포르쉐가 있을 확률은 1/3이 아니라 1/2이 맞다!'''
자동차가 있는 문을 3번 문이라고 할 때
- 1번 문을 고르고 2번 문이 열릴 확률 1/6
- 1번 문을 고르고 3번 문이 열릴 확률 1/6
- 2번 문을 고르고 1번 문이 열릴 확률 1/6
- 2번 문을 고르고 3번 문이 열릴 확률 1/6
- 3번 문을 고르고 1번 문이 열릴 확률 1/6
- 3번 문을 고르고 2번 문이 열릴 확률 1/6
쉽게 적어보면 자동차를 골랐는데 염소를 보여주는 경우가 1/3, 염소를 골랐는데 자동차를 보여주는 경우가 1/3, 염소를 골랐는데 염소를 보여주는 경우가 1/3이 된다. 즉 바꾸는것과 바꾸지 않는 것이 확률상 같게 된다.
그 차이를 알고 있냐 모르고 있냐에 따라 문제가 확확 바뀌기 때문에 명확한 해결이 나온 아직도 이 문제에 대한 의견이 갈리게 된다. 몬티 홀이 오답을 알고 있을 경우에는 상술했듯이 확실히 아니라는 경우의 수 중에 하나는 오답이라고 확실히 인지시켜줌으로써 확률에 변화가 가해지지만, '''모르고 있던 상태에서 염소가 나왔다면 그 경우의 수를 아예 배제하고 확률을 새로 계산해야 하므로 계산 방법 자체가 달라진다.''' 위의 사자왕 동영상 후반부 설명에도 나와있듯이 경찰대학 문제에서 이런 전제조건을 다르게 생각하고 문제를 내서 논란이 된 적이 있었다고 한다.
몬티 홀에서는 몬티 홀이 정답을 알고 있었기 때문에
자동차가 있는 문을 3번 문이라고 할 때
- 1번 문을 고르고 2번 문이 열릴 확률 1/6
- 1번 문을 고르고 3번 문이 열릴 확률 1/6 → 하지만 몬티 홀은 이때 3번에 자동차가 있는 걸 알고 있으므로 2번 문을 연다.
- 2번 문을 고르고 1번 문이 열릴 확률 1/6
- 2번 문을 고르고 3번 문이 열릴 확률 1/6 → 하지만 몬티 홀은 이때 3번에 자동차가 있는걸 알고 있으므로 1번 문을 연다.
- 3번 문을 고르고 1번 문이 열릴 확률 1/6
- 3번 문을 고르고 2번 문이 열릴 확률 1/6
요약하자면 사람들이 흔하게 하는 오류는 이런 것이다.
1번 선택 → 하나의 문이 열림 → 그 상태에서 가능한 경우의 수는 1번 선택 문에 정답이 있거나 오답이 있거나. → 2가지 경우의 수. → 확률의 수학적정의 해당경우/전체경우 → 0.5
대부분의 사람들이 생각한 0.5가 오류인 이유는 고등학교 교과과정에서 정의된 확률의 정의의 가정에 있다. 해당경우/전체경우를 확률로 정의할 때 분명히 앞에 "같은 확률로 일어나는 사건에 대해서"라는 가정이 있었다. (아무도 눈여겨 보진 않겠지만) 즉 2가지 경우 기존 선택이 옳은 경우와 바꾼 선택이 옳은 경우는 동등한 정도로 일어나지 않기 때문에 1/2로 계산하면 당연히 틀린다. 답부터 말하자면 두 경우가 1:2의 가중치를 가진다. 즉 바꾼 선택이 옳은 경우가 기존 선택이 옳은 경우에 비해 2배 더 잘 일어나고 그래서 3의 가중치 중 2의 가중치를 가진 바꾼 선택이 2/3 확률로 유리하게 된다.
왜 이렇게 되는지 살펴보자. 주어진 상황은 오로지 내가 뭔가를 선택했고 남은 두 문 중에 오답 하나가 열렸다는 것이다. 이 상황에서 생각할 수 있는 모든 경우의 수를 생각해보자. 편의상 3번에 정답이 있는 경우에 대해 생각해보면, 지금 일어난 상황은 (내가 선택한 문, 몬티 홀이 열어준 문)의 순서쌍으로 도식화할 수 있다. 즉, (1, 2) (2, 1) (3, 1) (3, 2) 이 4개 중에 하나가 일어났음이 틀림이 없다. 여기서 각 순서쌍의 확률은
- (1, 2): 1/3×1
- (2, 1): 1/3×1
- (3, 1): 1/3×1/2
- (3, 2): 1/3×1/2
이런 식으로 순수하게 사반트가 질문 받았던 대로 몬티 홀 문제를 해석하고자 하는 시도에 대해 좀더 설명하자면 이렇다.
논문에서도 나오는 말이지만, 사반트가 답변해야 했던 것은 어디까지나 '''선택을 유지하는 것보다 바꾸는 것이 좋은가'''이지, '''바꾸는 것에 대한 확률은 어떤가'''에 대한 것이 아니다. 물론 초기에 1/2[9]을 주장하는 이들과의 논쟁 속에서 2/3라는 고전적인 답이 나올 수 있었지만 본래의 문제에서 요구했던 것보다 지나치게 한정되어버린 것이라 볼 수 있다. 이 논문의 저자도 문제에 대해 제대로 된 정의 없이 답을 2/3로 확정지으려는 점을 두고 근본주의적이라고 지적했다.The battle among wikipedia editors could be described as a battle between intuitionists versus formalists, or to use other words, between simplists versus conditionalists. The main question which is endlessly discussed is whether simple arguments for switching, which typically show that the unconditional probability that the switching gets the car is 2/3, may be considered rigorous and complete solutions of MHP. The opposing view is that vos Savant’s question is only properly answered by study of “the” conditional probability that the switching gets the car, given the initial choice of door by the player and door opened by the host. This more sophisticated approach requires making more assumptions, and that leads to the question whether those supplementary conditions are implicitly implied by vos Savant’s words.
편집자들[8] 간에 벌어진 분쟁은 직관론자들과 형식론자들, 달리 말하자면 심플리스트들과 조건론자들간의 다툼으로 묘사될 수 있다. 끊임없이 논의되었던 주제는 선택을 바꾸는데 있어서 무조건 바꾸는 것이 차를 2/3로 가질 수 있다고 말하는 것이 몬티 홀 문제에 대한 절대적인 답이 될 수 있는지의 여부이다. 반대측은 보스 사반트의 질문은 참여자가 문을 처음에 고르고 사회자가 문을 연 상황에서 선택을 바꿨을 때 차를 고르게 되는 조건부 확률에 대한 연구에 의해서만 답변되었다고 말한다. 이 더 정교해진 접근은 더 많은 가정을 만들 것을 요구했고, 이는 보충되는 조건들이 보스 사반트의 답변에서 파악될 수 있는지에 대한 의문으로 이끌었다.
GILL, Richard D. The Monty Hall problem is not a probability puzzle (It's a challenge in mathematical modelling)#
수식 빼고 설명하자면, 예컨대 2번과 3번 문이 모두 염소일 때는 몬티가 2번 문을 더 선호한다고 하자. 만약 1번 문에 자동차가 있어서 2번과 3번이 모두 염소라면 몬티는 2번 문을 더 높은 확률로 열게 될 것이다. 하지만 1번 문이 염소라면 2번과 3번 문 중 하나만 염소이므로 몬티에게는 선택의 여지가 없고, 이 경우 2번 문과 3번 문은 염소가 있을 확률이 같으므로 몬티는 2번과 3번을 같은 1/2의 확률로 열게 될 것이다. 즉 1번에 자동차가 있으면 2번 문을 더 많이 열고 1번에 염소가 있으면 2번과 3번을 같은 확률로 열 것이므로, 몬티가 2번을 여는 경우 1번에 자동차가 있을 확률이 그만큼 높아진다.
그리고 몬티가 2번과 3번 중에서 무조건 2번만을 선택하는 극단적인 경우, 몬티가 2번 문을 열었을 때 1번에 자동차가 있을 확률이 1/2이며 3번을 열었을 때의 확률은 0이다. 따라서 편견 있는 몬티의 경우 1번에 자동차가 있을 확률은 0~1/2이며 선택을 바꿨을 때의 확률은 1/2~1이다.
4.1. 사반트가 받은 질문에 대한 답
확실히 이러한 노력들을 통해 본래의 질문에서 선택을 바꾸었을 때의 확률은 2/3이 아니라 $$\frac{1}{2} \leq p \leq 1$$라는 점이 밝혀졌다. 참여자가 1번 문을 선택하면 다음과 같은 상황들이 나오게 된다.
- 자동차가 1번 문에 들어 있을 경우(1/3),
- 사회자가 2번 문을 연다.{1/3 × (1-q)}
- 사회자가 3번 문을 연다.(1/3 × q)
- 자동차가 2번 문에 들어 있을 경우 사회자는 3번 문을 연다.(1/3)
- 자동차가 3번 문에 들어 있을 경우 사회자는 2번 문을 연다.(1/3)
자동차가 1번 문에 들어 있을 경우에 대한 확률이 1/3×q, 그리고 자동차가 3번 문에 들어 있을 확률이 1/3이며, 이에 따라 사회자가 3번 문을 연 상황에서의 조건부 확률을 계산해보면, 전체 확률은 (1/3 + q/3), 여기서 선택을 바꾸면 1/3, 그리고 선택을 유지하면 q/3, 따라서 선택의 바꿀 경우의 확률은 상술한대로 $$\frac{1/3}{1/3 + q/3}$$이며, 정리하면 $$\frac{1}{1+q}$$이 된다. $$\frac{1}{1+q}$$은 q가 $$0\leq q \leq 1$$이므로 $$\frac{1}{2} \leq \frac{1}{1+q} \leq 1$$다.
그런데 그렇다고 해서 2/3가 잘못된 답이라는 말은 아니다. 몬티가 편견이 있다는 것을 알고 있다면, 즉 q 값에 대해 (정확한 값을 아는 것은 아니더라도) 어느 정도의 정보가 있을 때는 바꿨을 확률이 2/3가 아니라고 말할 수 있다. 하지만 "몬티가 어떤 문을 선호하는가"에 대한 정보가 전혀 없는 경우에는 확률은 그대로 2/3다. 이에 대해 확률이 실제로는 2/3가 아닌데 단지 그것을 모를 뿐이라고 주장하는 경우도 있지만, 바로 그렇게 모르는 정보가 있기 때문에 확률을 계산한다.[10] q의 구체적인 확률분포를 가정하지 않더라도, 몬티가 2를 선호하는 경우와 3을 선호하는 경우 중 한 쪽이 더 확률이 높다고 판단할 이유가 없는 한 확률은 [11] 2/3고, 몬티가 편견이 없다는 조건은 문제에 없었지만 몬티가 2와 3 중에서 한 쪽을 더 선호한다는 조건 또한 없었으므로 문제의 답은 2/3가 맞다.[12] 단지 2/3라는 확률값이 절대적인 답이 아니고 다른 추가적인 정보에 따라 얼마든지 변할 수 있다는 점을 설명한다.[13]
5. 비슷한 문제들
5.1. 야바위 문제
마틴 가드너가 쓴 '''이야기 파라독스'''에서는 몬티홀 문제와 비슷한 다른 문제가 실려있다.
얼핏 생각해보면 컵 하나를 제거한 순간 남은 컵은 둘 뿐이니 돈을 딸 확률이 1/2로 증가하는 게 아닌가 하는 생각이 들기도 한다. 그러나 이 경우에는 몬티홀 문제와는 달리 플레이어에게 '''선택할 컵을 바꿀 기회를 주지 않고 있다.''' 그러니 이 룰을 추가하든 하지 않든 플레이어의 승률은 1/3 그대로 고정되고 확률이 바뀔 리 없다.3개의 컵을 엎어놓고 그중에 동전이 들어있는 컵을 찾는 야바위 놀이에서 행인이 '승률이 1/3밖에 안되니 돈을 걸지 않겠다'고 하니 야바위꾼이 플레이어가 컵을 하나 '''고르면''' 셋 중에 동전이 들어있지 않은 컵을 하나 열어 보여주겠다는 제안을 한다.
그러면 플레이어의 승률은 올라가는가?(물론 속임수는 없다고 가정)
5.2. 아들 딸 문제
직관을 배신하고 이 두 문제의 답이 '''다르다'''는 문제. 문서 참고.1. 자식이 두명이다. 적어도 딸이 하나 있다. 둘 다 딸일 확률은?
2. 자식이 두명이다. 첫째가 딸이다. 나머지가 딸일 확률은?
5.3. 카드 뽑기 문제
몬티 홀처럼 직관적으로 내린 결론이 실제 수학적 답과 다른 또다른 문제. 문제는 다음과 같다.[14]
일반적으로는 처음 카드를 뽑을 때를 기준으로 13/52=1/4이라고 생각하겠지만, 정답은 확인하지 않은 카드 중 다이아를 뽑을 확률과 같은 '''10/49'''이다.조커를 뺀 52장의 트럼프 카드 뭉치에서 카드 한 장을 뽑아 '''확인하지 않고''' 바로 덮어두었다. 그리고 나머지 51장의 카드 중 '''무작위로''' 3장의 카드를 더 뽑았는데, 3장 모두 다이아였다.
이 때 처음 뽑은 카드가 다이아일 확률은?
후행사건의 결과에 의해서 선행사건의 확률이 바뀐다는 것이 일반적인 사고로는 납득되기 어려울 것이다. 이는 이후에 뽑은 3장의 다이아 카드가 '''무작위'''[15]로 뽑은 카드이기 때문으로, 정확한 확률 계산법은 다음과 같다.
(뽑은 총 4장의 카드가 모두 다이아일 확률)/(이후에 뽑은 3장이 모두 다이아일 확률)=$$\displaystyle{ \frac{1}{4}\times\binom{12}{3} \over \frac{1}{4}\times\binom{12}{3} + \frac{3}{4}\times\binom{13}{3}}=\frac{10}{49}$$
문제를 더 간단하게 만들어보자. 원래 문제에서는 사후에 3장을 뽑은 것이 다이아였는데, 숫자를 바꿔서 만약 '''13장'''을 뽑았는데 13장 모두가 다이아였다고 해보자. 그럼 당연히 처음에 뽑은 카드가 다이아일리가 없지 않겠는가? (카드 더미엔 다이아가 13장 밖에 없다.) 후행사건의 결과에 의해서 선행사건의 확률이 바뀔 수 없다는 생각은 착각이라는 것을 쉽게 깨달을 수 있을 것이다.
이렇게 직관적인 결론과 수학적으로 풀이한 결론이 일치하지 않는 이유는 확률 문제는 정보가 주어지지 않은 사건들의 확률은 모두 독립적이고 동일하다고 '가정'을 하는데, 살면서 이런 문제를 너무 많이 풀었기 때문이다. '''이 가정을 너무 철석같이 믿으면 추가적인 정보가 주어진 다음에도 계속 확률이 동일하다고 착각하는데, 여기서 모든 오류가 시작된다.''' 실제로는 한 사건과 관련이 있는 사건의 정보가 주어지면 해당 사건이 일어날 확률은 달라지게 된다. 다이아 카드 문제를 예시로 설명을 하자면, 원래 한 장을 뽑았을 때 다이아 카드를 뽑을 확률이 13/52인 이유는 "각각의 카드를 뽑을 확률은 모두 동일하다"라는 전제를 당연하게 가정하고 있기 때문이다. 그런데 뒤에 카드 3장을 뽑았는데 그 카드가 모두 다이아임으로 인해, "해당하는 3장의 다이아 카드를 뽑았을 확률은 0이다"라는 정보가 추가되어서 각각의 카드를 뽑을 확률이 더 이상 동일하지 않아졌다. 연관이 있는 후행 사건에 의해 선행 사건의 정보가 추가로 주어졌기 때문에 선행 사건의 전제(=각각의 카드를 뽑을 확률은 모두 동일하다.)가 더 이상 맞지 않게 변했다.
5.4. 양자역학
양자역학을 일반 상식으로는 이해할 수 없는 것도 이러한 확률의 변화와 관련이 있다. 한 사건이 일어날 확률을 구함에 있어 확률의 변화가 수반되는 경우 눈에 보이는 사건이라도 혼동되기 마련인데, 눈에 보이지 않는 사건이라면 두말하면 잔소리다. 양자역학에서는 관찰이라는 행위도 관찰하고자 하는 사건과 관련된 하나의 사건으로 취급되므로 관찰하고자 하는 사건의 확률에 영향을 주게 된다. 즉, 관찰 행위(선행 사건)가 관찰하고자 하는 것(후행 사건)에 직접 영향을 주어 사건의 결과를 달라지게 한다는 말이다. 이를 '''파동함수의 붕괴'''라 하는데, 파동함수는 확률밀도 함수의 일종[16]이므로 파동함수가 붕괴한다는 것은 쉽게 말해 '''방정식 자체가 달라진다는 것'''이므로 그 파동함수를 통해 도출되는 결과값이다. 그러니까 관찰하고자 할 사건이 일어날 확률이 당연히 변하게 된다. 이 때문에 양자역학에서는 관찰 행위가 결코 무시될 수 없다.
6. 여담
이렇게 수학자들을 보기좋게 엿먹인 사반트였지만 이후 그녀가 발간한 이 세상에서 제일 유명한 수학 문제'(1993)에서 앤드루 와일스가 증명한 페르마의 마지막 정리의 증명에 의문을 제기하거나[17], 상대성 이론을 까댔기 때문에 유사과학으로 대중을 호도한다는 오해를 살 만 했다. 특히나 FLT에 대해서는 와일스의 첫 증명에서 오류를 발견한 것이 아니라, 수학적 귀납법, 귀류법, 허수에 대해서 제대로 이해하지 못했으며, 수알못적인 모습을 보였기에 더 많이 까였다.
전설적인 수학자 폴 에르되시도 선택을 바꾸든 아니든 확률은 같다고 생각했고, 컴퓨터로 실험해본 뒤에야 바꾸는 것이 유리한 선택임을 인정했다고 한다. 참고로 폴 에르되시는 20세기 최고의 수학자 중 하나로 여겨지는 인물이다.
'왜 월요일은 빨리 돌아오는 걸까'라는 책에 의하면, 정작 이 문제의 어원이 된 오락 프로그램인 몬티 홀에서는 당첨을 선택할 때 사회자가 꽝이 있는 문을 열어서 보여주거나 한 적이 없다고 한다.
비둘기한테도 몬티홀 문제를 풀게 한 사례도 있다. 인간과는 달리 비둘기는 빈 먹이통을 보면 처음 선택한 먹이통에서 선택을 변경하는 것으로 밝혀졌다.출처 논문 제목: '''새들이 수학자보다 머리가 좋은가?'''
7. 대중 매체에서의 등장
- 정글고등학교의 명왕성이 사다리타기를 하다가 위의 이론대로 선택을 바꾸다가 매점에 가서 음료수를 사야 했다. 여기서 이 문서에 대해 잘 모르는 사람들은 명왕성이 불사조의 어설픈 심리전에 낚였다고 생각하기 쉽지만 선택을 바꾸는게 확률이 높아진다는 계산 자체는 맞았다. 단지 이 사다리타기에서는 당첨이 음료수를 사줘야 했을 뿐. 지식은 불사조에 버금가면서 상식적인 방향으로 머리가 안돌아가는 명왕성의 특성이 돋보이는 에피소드다.
- 괭이갈매기 울 적에 Ep8에서 조지와 제시카가 낸 퀴즈로 등장. "새로 알게된 사실에 따라 가지고 있는 진실이 변한다."는 말을 하려고 꺼낸 듯.
- 이야기 시리즈 끝 이야기 상권에서 5년 전 오이쿠라 소다치가 아라라기 코요미에게 이 문제를 본딴 쪽지를 보냈다. 따지고 보면 아라라기가 수학에 관심을 가지게 된 계기가 된 문제.
- 정재승의 과학 콘서트 책에서도 이를 언급했다.
- 도전 골든벨 수학 골든벨 특집 33번 문제에서 출제되었다.
- 도박마의 배틀십 편에서 오후나 가쿠히토가 선택한 행위를 설명하는 데 본 문제가 인용되었다. 위의 문 100개짜리 만화가 해당 장면으로, 그만큼 오후나가 직감을 믿었다고 강조한 것.
- 드림 인베이더 둘째 날 문제에서 출제되었다.
- 문제적 남자 34회에서 장진이 뽑은 미디어 속 뇌풀기 문제로 출제되었다.
- 다음 만화속세상 웹툰 셜록: 여왕폐하의 탐정 53화에서 셜록 홈즈의 덫으로 쓰였다. 그런데 이 작품에서는 몬티홀 문제를 잘못 다루고 있다. 작중에서 셜록 홈즈가 문 하나를 열어보이고 "앗, 여기는 꽝이군요." 라고 말했는데, 이미 꽝이라고 알고 있는 문을 하나 열어보인다는 조건이 아니고 하나를 열어봐서 꽝임을 발견한 경우라면 확률은 1/2이 된다. 단, 55화에서 밝혀진 바로는 염소 카드가 나올 수밖에 없는 속임수였고,꽝인 문을 열어보일 생각이면서 연기를 했다. 그 결과 문제의 수학적인 의의가 퇴색되고 사기극이 되었다.
- 교학사와 미래앤 <확률과 통계> 교과서에 나와 있다.
- 유키 히로시의 수학 교양소설 '수학 걸 4권 - 확률적 알고리즘(Randomized Algorithms)'의 주제가 바로 이 몬티 홀 문제와 NP-완전 문제다.
- 넘버스 제1기 13화에서 주인공인 찰스 앱스 교수가 이에 대해 강의하는 모습이 잠깐 나온다.
- 1990년대에 방영한 MBC 칭찬합시다의 한 코너에서 이 방식을 차용한 적이 있었다.
- 악의 교전의 5권에서도 등장했다.
- 게임 방송 유튜버 우왁굳이 생방송 중 이 문제에 대해 3시간 가량 토론하고 유튜브에도 업로드했다.[18] 영상 또한 VR챗으로 실제 실험을 하기도 했다.
- 마인크래프트 유튜버 마인애플이 명령어로 몬티 홀 실험을 해 확률 증명을 하는 컨텐츠를 진행했다. 실험 10000번을 진행했는데 6633번(66.33%)의 성공 결과가 나왔다고 한다. 영상
8. 관련 문서
[1] 이 전제가 달라지면 문제의 정답이 전혀 달라지게 된다. 일례로 사회자가 자동차가 어디에 있는지 모르고서 문을 열었는데 염소가 나왔다면, 참가자가 선택을 바꿨을 경우의 확률이 1/2가 된다.[2] 실제 게임 룰에서 자연스레 추론되기도 하지만 , 이 문제의 답이 2/3임을 끌어내는데 중요한 역할을 한다.[3] 사회자가 편견을 가지지 않음을 뜻한다.[4] 기존의 논쟁과는 다르게, 몬티홀 문제에서 참여자가 선택을 바꾸면 그 문에 차가 있을 확률이 1/2도 분명 아니지만 2/3도 아님을 지적하고자 하는 문제다. 자세한 내용은 후술.[5] 도박마 28권 303화의 배틀쉽 편 중에서. 직감과 논리가 다른 예를 설명하면서 그 예시로 몬티 홀 문제를 들어 설명하던 와중 나온 그림.[6] 이 경우 처음 내가 선택한 것은 의미가 없으니 버린다. '''사회자가 대신 꽝을 선택해준 것'''이 첫 번째 고른 것이 되고 나머지 두 개 중에서 내가 하나를 고를 때 두 번째 선택이 성립한다. 그냥 사회자가 나에게 문을 한 번 열어보라 하고 그게 꽝이었을 때 나머지 두 개 중에서 한 번 더 선택할 기회를 주는 것과 똑같다.[7] 실제 토론 내용으로 보인다.[8] 논문에서는 Hogbin과 Nijdam이라고 밝혀놨다.[9] 선택을 바꿔도 유리할 것은 없다.[10] 위쪽의 '사람들의 오해' 단락을 다시 읽어보자. "몬티 홀 문제는 규칙을 숨겨 놓고 틀리게 만드는 넌센스 퀴즈가 아니다. 규칙은 문제 안에 다 나와 있다."[11] 부정확하다. q값에 대한 정보가 없는 상태에서 q=1/2로 가정하고 풀이한 것에 불과하기 때문이다. 물론 정보가 없으니 영향을 최소화하겠다는 차원에서 1/2로 가정한다는게 '합리적인' 추론이 될 수는 있다. 그러나 합리적인 추론이 정답으로 직결되는 것은 아니다.[12] 이에 대한 반론: 모르는 정보가 있기 때문에 확률을 계산한다는 말은 결론을 계산하는 것에 관한 것이고 답에 영향을 미치는 q값을 모르기 때문에 q=1/2로 가정하여 풀이해도 된다는 말은 풀이과정에 관한 것이기에 서로 전혀 다른 차원의 이야기이다. 우리가 모르는 어떤 확률이 어떤 요인에 영향을 받는데 그 요인에 대해서는 정확히 알 수 없다고 할 때에 수학이나 과학에서 사용하는게 바로 문자변수이고, 그런 의미에서 q=1/2로 간주하고 풀이해서 내놓는 답이란 수학적인 답이라기보다 단지 주관적인 믿음에 불과하다. 이것은 쉽게 말하면 원주율이 3.14라고 간주하고 풀이하는 것과 원주율을 계산할 수 없어 파이라는 문자를 사용하는 것 사이의 차이만큼이 난다. 풀이과정에서 원주율이 3.14라고 간주하고 풀이해서 나온 답=결론은 그렇게 가정하고 풀이하자는 약속이 없는 한 주관적인 답이 될 뿐, 수학적 결론은 아닌 것이다. 그래봐야 얼마 안 되는 차이가 있을 뿐이라는 말은 수학에서 할 이야기는 못 된다[13] 절대적이지 않고 변할 수 있는 어떤 답을 정확하다거나 정답이라고 일컫지는 않는다.[14] 과거 와세다대학의 입학시험에 나왔던 문제로 알려져 있다.[15] 만약 뽑은 사람이 자기가 뽑을 카드가 다이아일 것을 미리 알았다면, 애시당초 '다이아몬드' 세 장을 첫 장 뒤에 놓았다는 것이 전제가 되므로 선행사건과 후행사건에 대한 착각이 벌어지지 않는다.[16] 한 사건의 확률을 구하는 엄청나게 복잡하게 생긴 방정식이라고 생각하면 된다.[17] 이 당시는 아직 증명의 오류가 밝혀지지 않은 때였다.[18] 다만 몬티 홀 문제가 역설은 아님에도 제목에 '몬티홀의 역설'이라고 적었다.