재배열 부등식
Rearrangement Inequality
1. 개요
한국의 학교 수학에서는 볼 일이 없는 부등식 중 하나. KMO와 같은 경시대회 수학을 준비한다면 꼭 알아놔야 하는 부등식이며, 딱히 경시대회를 준비하지 않는다 해도 배워놔서 나쁠 건 없다. 몇몇 고등학교 수학의 부등식문제를 날로 먹을 수 있기 때문.
2. 욕심쟁이 알고리즘
두 수열 $$\left\{a_n\right\}_{k=1}^n,\left\{b_n\right\}_{k=1}^n$$을 양의 실수의 수열이라 가정하자. 또한 수열 $$\left\{x_n\right\}_{k=1}^n$$은 수열 $$\left\{b_n\right\}_{k=1}^n$$의 순열, 즉 재배열시킨 수열이라고 하자. 그럼 $$n!$$가지의 합 $$S=\sum_{k=1}^na_kx_k=a_1x_1+a_2x_2+\cdots+a_nx_n$$ 중 어느 것이 최대이고 어느 것이 최소일까? 한 예시를 통해 생각해 보자.
세 상자에 각각 천원, 만원, 오만원이 들어있다. 각각의 상자에서 3, 4, 5장의 지폐를 가져갈 수 있을 때, 어느 상자에서 몇 장을 가져가야 이익을 최대, 혹은 최소로 할 수 있을까? 상식적으로 생각하나 아니면 직접 수학적 계산을 통해 확인하나 최대의 이익은 오만원권 5장, 만원권 4장, 천원권 3장이다. 반대로 최소의 이익은 오만원권 3장, 만원권 4장, 천원권 5장이다. 이 알고리즘은 욕심쟁이 알고리즘 (Greedy Algorithm)의 예시이다. 이 예는 단순한 수학적 예시이지만, 수학 이외의 다양한 분야에 적용될 수 있다. 알고리즘을 좀 더 추상화 시켜서 설명하자면, 작은 것은 작은 것끼리, 큰 것은 큰 것끼리 붙여놓을 때 최대, 작은 것을 큰 것이랑, 큰 것을 작은 것이랑 붙여놓을 때 최소가 된다는 것이 핵심.[1]
3. 재배열 부등식
위 욕심쟁이 알고리즘 중에 수학적으로 항상 성립하는 경우. 자세한 내용은 아래와 같다.
증명$$a_1\leq a_2\leq\cdots\leq a_n$$이고, $$b_1\leq b_2\leq\cdots\leq b_n$$인 임의의 $$2n$$개의 실수에 대하여 $$x_1,x_2,\cdots,x_n$$은 $$b_1,b_2,\cdots,b_n$$을 적당히 재배열하여 얻은 실수들이라 하면,
$$a_1b_n+a_2b_{n-1}+\cdots+a_nb_1\leq a_1x_1+a_2x_2+\cdots+a_nx_n\leq a_1b_1+a_2b_2+\cdots+a_nb_n$$이 성립한다. 단, 등호는 $$a_i$$가 모두 같거나 $$b_i$$가 모두 같을 때 성립한다.
[math(r<s)]라 가정하자. 두 합 [math(S=a_1b_1+\cdots+a_rb_r+\cdots+a_sb_s+\cdots+a_nb_n,\,S'=a_1b_1+\cdots+a_rb_s+\cdots+a_sb_r+\cdots+a_nb_n)]의 크기를 비교해 보면, [math(S-S'=a_rb_r+a_sb_s-a_rb_s-a_sb_r=a_r\left(b_r-b_s\right)-a_s\left(b_r-b_s\right)=\left(a_r-a_s\right)\left(b_r-b_s\right))]이다. 여기서 [math(r<s)]이므로, [math(a_r<a_s,\,b_r<b_s)]가 성립하고, 곧 [math(S-S'>0)]이다. 즉, 임의의 두 항을 바꾸면 합은 작아진다. 이를 일반화 시키면 [math(a_1x_1+a_2x_2+\cdots+a_nx_n\leq a_1b_1+a_2b_2+\cdots+a_nb_n)], ([math(\left\{x_n\right\}_{k=1}^n)]은 수열 [math(\left\{b_n\right\}_{k=1}^n)]의 재배열)이 성립한다. [br] 최솟값의 경우에도 같은 방법으로 증명이 가능하다.
4. 체비셰프 합 부등식
러시아의 수학자 파프누티 쳬비셰프가 증명한 부등식 중 하나.[2] 재배열 부등식에서 쉽게 증명할 수 있는 부등식으로, 형태도 비슷하다.
증명$$a_1\leq a_2\leq\cdots\leq a_n$$이고, $$b_1\leq b_2\leq\cdots\leq b_n$$인 임의의 $$2n$$개의 실수에 대하여, $$n\left(a_1b_1+a_2b_2+\cdots+a_nb_n\right)\geq\left(a_1+a_2+\cdots+a_n\right)\left(b_1+b_2+\cdots+b_n\right)\geq n\left(a_1b_n+a_2b_{n-1}+\cdots+a_nb_1\right)$$
재배열 부등식에 의해 아래 [math(n)]개의 부등식이 성립한다. [br] [math(a_1b_1+a_2b_2+\cdots+a_nb_n\geq a_1b_1+a_2b_2+\cdots+a_nb_n\geq a_1b_n+a_2b_{n-1}+\cdots+a_nb_1)] [br] [math(a_1b_1+a_2b_2+\cdots+a_nb_n\geq a_1b_2+a_2b_3+\cdots+a_nb_1\geq a_1b_n+a_2b_{n-1}+\cdots+a_nb_1)] [br] [math(a_1b_1+a_2b_2+\cdots+a_nb_n\geq a_1b_3+a_2b_4+\cdots+a_nb_2\geq a_1b_n+a_2b_{n-1}+\cdots+a_nb_1)] [br] [math(\vdots)] [br] [math(a_1b_1+a_2b_2+\cdots+a_nb_n\geq a_1b_n+a_2b_1+\cdots+a_nb_{n-1}\geq a_1b_n+a_2b_{n-1}+\cdots+a_nb_1)] [br] 위 부등식을 전부 더하면 구하고자 하는 [[부등식]]이 증명된다.
5. 예시
- 양의 실수 $$a,b,c$$에 대해, $$\frac{a+b+c}{abc}\leq\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}$$이 성립한다. 왜냐하면 이 부등식은 $$\frac{1}{a}\cdot\frac{1}{b}+\frac{1}{b}\cdot\frac{1}{c}+\frac{1}{c}\cdot\frac{1}{a}\leq\frac{1}{a}\cdot\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\cdot\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\cdot\frac{1}{c}$$과 동치이고, 재배열 부등식에 의해 성립하기 때문.
2. 양의 실수 $$a,b,c$$에 대해, $$\frac{a^2}{b^2}+\frac{b^2}{c^2}+\frac{c^2}{a^2}\geq\frac{b}{a}+\frac{c}{b}+\frac{a}{c}$$가 성립한다. 이 부등식을 적절히 변형하면 $$\frac{a}{b}\cdot\frac{a}{b}+\frac{b}{c}\cdot\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\cdot\frac{c}{a}\geq\frac{a}{b}\cdot\frac{b}{c}+\frac{b}{c}\cdot\frac{c}{a}+\frac{c}{a}\cdot\frac{a}{b}$$이고, 재배열 부등식에 의해 성립한다.
3. 실수 $$a,b,c$$에 대해, $$\frac{a+b+c}{3}\leq\sqrt{\frac{a^2+b^2+c^2}{3}}$$이 성립한다. 체비셰프 합 부등식에 의해 $$3\left(a^2+b^2+c^2\right)\geq\left(a+b+c\right)\left(a+b+c\right)$$이 성립하고, 양변을 9로 나눈 뒤 제곱근을 씌워주면 된다.
6. 관련 문서
[1] 다만 이 알고리즘이 항상 성립하는 것은 아니다. 세상은 그렇게 만만하지 않다.[2] 일반적으로 쳬비셰프 부등식이라 하면 확률과 통계에서의 그의 부등식을 말한다. 이와 구분하기 위해 체비셰프 '''합''' 부등식이라 따로 부른다.