절대부등식

 


1. 개요
2. 예시
2.1. 크기 무관 절대부등식
3. 관련 문서


1. 개요

absolute inequality ・ 絶對不等式
'''절대부등식'''은 $$x^2\geq0$$, $$x^2+y^2\geq-2$$와 같이 문자를 포함한 부등식에서 그 문자가 주어진 정의역 안에서(이 경우는 실수) 어떤 값을 갖더라도 항상 성립하는 부등식을 말한다. 즉, 등식에서의 항등식과 대응되는 개념. 이를 뒤집어 말하면, 정의역이 달라지면 더이상 성립하지 않을 수도 있다는 것이다. 산술·기하 평균 부등식을 예로 들면, 문자가 모두 양수여야만 항상 참임을 보장할 수 있다. 혹은 당장 위 예를 봐도, $$x,y$$가 실수가 아니면 일반적으로 성립하지 않는다. 물론 실수가 아니라면 애당초 부등식이 성립될 수 없으므로 부등식을 생각하는 것은 뻘짓이긴 하다.[1]
다만 "절대부등식"이라는 용어는 고교과정 이후 혹은 학술적으로는 쓰이지 않는다. 첫째로 학술적인 증명 과정에서 부등식이 쓰이는 경우, 논의를 전개하는 자는 그게 구체적으로 코시-슈바르츠를 가리키는지, Hoeffding 부등식을 가리키는지, 혹은 (널리 공유되는 이름은 없지만) $$e^x\geq 1+ x$$를 가리키는지와 같이 어느 부등식을 이용하는지 밝혀야 한다. 따라서 절대부등식으로 뭉뚱그려 언급되는 것은 있을 수 없다. 둘째로 부등식이 실수영역 전체에서 성립하는지 여부는 사실 크게 중요하지 않다. 논의의 전개상 필요한 영역에 대해서만 성립한다면, 그리고 그 영역을 저자가 명확하게 밝힌다면 그만이다.
따라서 절대부등식은 사실 어디서 유래했는지 모를 정체불명의 용어. 대한수학회에서 절대부등식의 영어 번역으로 제시되는 "absolute inequality"를 검색해보아도 (i) absolute value inequality, 즉 절댓값의 성질에 의한 부등식[2], 또는 (ii) 경제학 용어인 절대적 불평등(상대적 불평등의 반대 개념)만이 나올 뿐이다. 더군다나 아래 "크기 무관 절대부등식"에서 쓰인 용례와는 달리 수학에서 '부등식 (inequality)'은 대개 $$\neq$$을 의미하지 않는다. 일본어 번역 "絶対不等式"으로 한국과 유사하게 중고교수학 내용이 검색되고 그 영어 번역이 마찬가지로 "absolute inequality"로 제시되는 것을 볼 때, 일본의 교육과정에서 만든 개념이 한국에 넘어온 것이라 추측된다.
고교과정 혹은 수학경시대회의 부등식들은 사실 원칙적으로는 편미분과 라그랑주 승수법 등의 수단을 통해 영역에서의 최대값과 최소값을 찾으면 풀리는 것들이 대다수이다. 경시대회에서는 이들을 미분을 쓰지 않고 식조작을 예술의 경지로 끌어올려서 증명해야 한다는 차이점이 있지만...
물론 네임드 절대부등식들이 단순히 변수 몇개 있는 식 최대/최소 구하려고 등장한 건 절대 아니다. 대학수학 이상의 고등과정에서 이름이 붙여진 절대부등식은 일반적인 함수나 공간 등 더욱 추상적인 대상들에 적용되고, 또한 '''고유한 의미를 갖게 된다.''' 예를 들어서 고교과정에서 변수 4개짜리로만 알았던 코시-슈바르츠 부등식이 일반적인 벡터 꼴이나 함수의 적분 꼴로 나타나며 '내적은 0보다 크다'라는 사실을 의미하는 것처럼. 확률론, 해석학 등에서 나오는 부등식을 본다면 이들의 공식뿐만이 아니라 본질적인 의미도 같이 생각해 보자.

2. 예시

다음은 학교 수학에서의 부등식 문제 해결에 자주 이용되는 절대부등식이다.
$$a,b,c$$ 가 실수일 때,
1. $$a^2\pm ab+b^2\geq0$$ (단, 등호는 $$a=b=0$$일 때 성립)
1. $$a^2\pm2ab+b^2\geq0$$ (단, 등호는 $$a=\mp b$$일 때 성립, 복호동순) [3]
1. $$a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca\geq0$$ (단, 등호는 $$a=b=c$$일 때 성립) [4]
$$a>0,b>0$$일 때,
$$\frac{a+b}{2}\geq\sqrt{ab}\geq\frac{2ab}{a+b}$$ (단, 등호는 $$a=b$$일 때 성립). 이는 산술평균, 기하평균, 조화평균의 관계이다.[5] 자세한 내용은 산술·기하 평균 부등식, 평균 문서 참고.
$$a,b,x,y$$가 실수일 때,
$$\left(a^2+b^2\right)\left(x^2+y^2\right)\geq\left(ax+by\right)^2$$ (단, 등호는 $$\displaystyle \frac{a}{x}=\frac{b}{y}$$일 때 성립)
이는 코시-슈바르츠 부등식의 특수한 경우이다. 일반화된 공식은 해당 문서를 참고.
이 외에도 다른 여러 유명한 절대부등식이 있다.

2.1. 크기 무관 절대부등식

넓은 의미로는 크기에 무관하게 동치관계가 성립하지 않는 식을 뜻하기도 한다. 대표적으로 다음이 있다.
다만 이런 것들은 엄밀하게는 '부등식'이라고 할 수 없으며, 항등식에 대한 수학적 오류라는 표현을 쓴다.

3. 관련 문서


[1] 다만 크기와 상관없이 같지 않다는 의미인 $$\neq$$는 복소수 이상 범위에서도 쓸 수 있다.[2] 이쪽도 사실 영미권의 중고교 수학에서만 쓰인다.[3] $$(a \pm b)^2\geq0$$[4] $$ \displaystyle \frac{1}{2}((a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2)\geq0 $$[5] 줄여서 AM-GM-HM이라 표시한다.

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