정백이십포체

정백이십포체


회전하는 정백이십포체의 3차원 투영 모습[1].

1. 개요

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正百二十胞體/120-cell, 또는 Regular hecatonicosachoron(복수는 -chora)
한 개의 모서리에 세 개의 정십이면체가 만나고, 총 백 스무 개의 정십이면체로 이루어진 정다포체.

2. 정보

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슐레플리 부호	{5,3,3}
꼭짓점(vertex, 0차원)	600개
모서리(edge, 1차원)	1200개
면(face, 2차원)	정오각형 720개
포(cell, 3차원)	정십이면체 120개
쌍대	정육백포체
이포각	144˚ ($$\dfrac{4\pi}{5}$$)
포함 관계 또는 '''다른 이름'''	'''도데카플렉스(dodecaplex)''' 또는 '''dodecahedral complex''' '''하이퍼도데카헤드론(hyperdodecahedron)'''[2]

한 변의 길이가 $$a$$인 정백이십포체가 있을 때
총 모서리 길이(total edge length) = $$1200a$$
총 면적(total surface area) = $$30\sqrt{25+10\sqrt{5}}a^2$$
겉부피(surcell volume) = $$30(15+7\sqrt{5})a^3$$
초부피(bulk) = $$\dfrac{15}{4}(105+47\sqrt{5})a^4$$

3. 구조

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120포체의 구조를 설명한 영상

정십이면체 열 개 한 묶음씩 하나의 링이라고 했을 때, 12개의 정십이면체 링[주의사항]이 4차원 공간에서 서로 접혀져 만나는 구조이다.
6개의 링으로 된 전개도 2개가 서로 접혀져 정백이십포체를 이룰 때의 모습을 보면 전체적인 모습을 듀오프리즘처럼 생각할 수 있다는 것을 알 수 있다. [3]

[1] 사실 눈에 보이는 것은 2차원 화면이나, 그래픽상 3차원에 투영된 것이다.

[2] 초(超)정십이면체

[주의사항] 3차원 평면상에 투영시켜 나타내다 보니 정십이면체 링이 마치 '외부'와 '내부'를 이루며 서로 얽혀있는 것처럼 보이나, 실제로는 모두 4차원 초구의 '외부'에 존재하며 겉껍질을 이루는 구조이다.

[3] 정백이십포체는 4차원의 서로 일정 간격으로 벌어진 120개 방향으로 대칭형이므로, 전체적인 모습은 사실 초구처럼 생각할 수도 있다.