정십이면체

정다면체중 하나인 정십이면체의 모습.

1. 개요

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正十二面體, Regular dodecahedron[1]
한 개의 꼭짓점에 세 개의 면이 만나고, 총 열두 개의 정오각형 면으로 이루어진 다면체.
정이십면체 120개를 한 모서리에 3개씩 만나게 만드는 방식으로 이어 붙여 4차원 도형인 정백이십포체를 만들 수 있다. 물론 4차원 방향으로 접어야하므로 현실에서는 불가능하다.

2. 정십이면체에 대한 정보

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단위/특성	개수	비고
슐레플리 부호		{5,3}
꼭지점(vertex, 0차원)	20
모서리(edge), 1차원)	30
면(face, 2차원)	12	정오각형
쌍대		정이십면체 {3,5}
포함 관계 또는 '''다른 이름'''

한 변의 길이가 $$a$$인 정십이면체가 있을 때
외접구의 반지름 =$$\displaystyle\frac{\sqrt{3}+\sqrt{15}}{4}a=\frac{\sqrt{3}}{2}\varphi a$$[2]
내접구의 반지름 = $$\displaystyle\frac{\sqrt{250+110\sqrt{5}}}{20}a=\frac{\varphi^2}{2 \sqrt{3-\varphi}}a$$
총 모서리 길이(total edge length) = $$30a$$
겉넓이(surface area) = $$3\sqrt{25+10\sqrt{5}}a^2$$
부피(volume) = $$\displaystyle\frac{15+7\sqrt{5}}{4}a^3$$

2.1. 다른 정다면체들과의 관계

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• 정십이면체는 정이십면체와 쌍대(Dual)[3] 도형이다.[4]
• 정십이면체의 20개 꼭지점들 중 서로 이웃하지 않은 8개의 꼭지점을 골라 이으면 정육면체가 된다.

3. 현실에서의 예시

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• 황철석[5]
• 정십이면체 주사위[6]
• 메가밍크스

4. 기타

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플라톤은 다섯 개의 정다면체를 사원소설에 대입하려 하였는데, 이들 중 정십이면체는 우주를 상징한다고 하였다. 이에 대해 정십이면체가 천상세계를 이루는 제 5원소인 에테르를 상징한다고 해석하기도 하였다.

[1] 복수는 regular dodecahedra

[2] 여기에서 φ는 황금비이다. $$\displaystyle(\varphi=\frac{1+\sqrt{5}}{2})$$

[3] 어떤 다면체의 꼭지점을 면으로, 면을 꼭지점으로 대체한 다면체를 쌍대 다면체라고 한다.

[4] 정십이면체는 한 꼭지점에 세 개의 정오각형이 만나기 때문에 {5, 3} 한 꼭지점에서 정삼각형이 다섯 개 만나는 도형인 정이십면체{3, 5}와 쌍대 도형이다.

[5] 정십이면체형 결정은 정육면체형 결정이 적당히 성장하면 만들어지므로, 자연의 황철석에서 가끔 발견할 수 있다.

[6] 도라에몽에도 나온적이 있다.