다면체
多面體/Polyhedron
1. 개요
기하학에 등장하는 3차원 도형의 일종.
사전적 정의는 '평면 다각형으로 둘러싸인 입체도형'으로 평면위에 있지 않은 도형이다.[1]
현대 수학에서 아직 상식적으로 다면체로 받아들여지는 대상들을 포괄할 수 있는 엄밀한 정의는 존재하지 않는다. 유클리드부터 시작해서 요하네스 케플러, 푸앵소, 코시 등 시도한 수학자들은 많은데 결과는 영 좋지 않았다. 그래서 우리는 다행히도 직관적으로만 이해하면 된다.
다면체는 이들의 구성요소로 이루어진 도형이다.
- 0차원: 꼭짓점은 변이 끝나는 점이다.
- 1차원: 변 또는 모서리는 꼭짓점과 꼭짓점을 연결하는 선이며, 면과 면의 경계선이기도 하다.
- 2차원: 면은 변들로 둘러싸여 있으며, 대체로 다각형이라는 평면 도형의 형태를 취한다.
- 3차원: 포(cell) 혹은 내부(body)는 면들로 둘러싸인 안쪽 부분을 말한다.
반면, 일반적 다면체의 구조는 상상을 초월하도록 다양하게 나올 수 있다. 사면체는 각 면의 다각형의 수를 보았을때 한가지 형태만 있지만 오면체부터는 두 개 이상이 있다. 육면체의 경우 사각형 6개로 이루어진 육면체, 오각뿔, 삼각쌍뿔의 세 종류이다. 이런 방식으로 계속 면의 수를 늘리다 보면 매우 다양한 다면체를 만들 수 있다.
다면체를 임의의 차원으로 확장한 폴리토프(Polytope)는 'n차원 공간 내에 존재하면서 오로지 (n-1)차원 공간의 면으로만 이루어진 도형'으로 생각할 수 있다.
2. 공통 성질
- 유클리드 공간의 경우 곡면이 없다.
- 당연하다면 당연한 거지만 한 변엔 꼭짓점이 두 개고, 한 꼭짓점엔 적어도 변 세 개가 있다. 볼록다면체 한정.
- 오일러 지표 : 볼록다면체 한정으로 꼭지점의 수 - 모서리의 수 + 면의 수 = 2라는 등식이 항상 성립한다.[4] 오목다면체의 경우 2가 아닌 경우가 많다.
- 가향성(Orientability)
- 꼭짓점 도형(Vertex figure) : 한 다면체의 한 꼭짓점과 연결되는 다른 모든 꼭짓점들을 연결해 만든 평면도형. 이 도형이 정다각형일 경우, 이 다면체는 정다면체다.
- 쌍대성(Duality) : 모든 다면체는 원래 다면체와 같은 개수의 모서리를 갖고, 원래 다면체의 꼭짓점 자리에 면이 있으며 같은 오일러 쌍대다면체가 존재한다. 위 사진에서 정육면체의 쌍대는 정팔면체고, 정팔면체의 쌍대는 정육면체다.
3. 용어
- 점추이(Isogonal, Vertex-transitive) : 쉽게 말하자면 한 점에 모인 면들의 개수와 종류가 일정하다는 것. 예를 들어 한 꼭짓점에 정사각형, 정삼각형, 정오각형 각각 한개씩 모이면 다른 꼭짓점에도 똑같은 배치로 한 개씩 모여있다면 점추이.
- 변추이(Isotoxal, Edge-transitive) : 똑같이, 한 변에 모인 면의 크기, 종류와 배치가 일정한 것. 한 변에 삼각형, 오각형이 모여있으면 다른 변에도 같은 배치로 모여있다면 변추이. 여기서 toxal이란 말은 그리스어로 원호라는 뜻.
- 면추이(Isohedral, Face-transitive) : 한 면에서 모이는 면의 순서와 종류, 배치가 같은 것을 면추이라고 한다.
- 쌍대(Dual) : 쉽게 말하자면 면의 중심을 꼭짓점삼아 만든 짝도형. 정육면체-정팔면체가 대표적인 쌍대이다.
3.1. 슐레플리 부호
- 정다면체는 {p, q}로 표시한다. p는 한 면에 있는 변의 개수, q는 한 꼭짓점에 있는 면의 개수를 의미한다. 예로 정사면체는 {3, 3}, 정육면체는 {4,3}이다.
- {p, q}의 쌍대는 묘하게도 {q, p}가 된다.
- 준정다면체는 [image] 로 표시하는데, p와 q 각각 두 쌍대 {p, q}와 {q, p}의 알파벳을 의미한다. 즉 준정다면체는 두 쌍대다면체 한쌍이 합쳐진 꼴.
- 더 자세히 들어가면 q는 다면체의 꼭짓점 도형의 변의 개수. 오목한 다면체에서는 이렇게 정의한다.
- 각기둥은 {n} × { }, 엇각기둥은 { } ⨂ {n}로 표시하는데, 여기서 { } 는 이각형 또는 선분을 의미한다.
4. 다면체의 종류
- 볼록 다면체 : 볼록. 모든 면끼리 교차하지 않는다. 오일러 지표가 2다.
- 오목 다면체 : 오목. 면들이 교차하기도. 오일러 지표가 제멋대로다. 한 꼭짓점에 들어가는 면들의 내각의 합이 360도 이상.
- Regular Polyhedron : 영어로 정다면체를 의미한다. 하지만 한국에서 사용하는 의미의 정다면체랑 약간 다른데, 정다면체라는 건 모든 면이 정다각형이며 합동이고, 한 꼭짓점에 들어오는 면의 개수가 같은 것을 의미하는데 별 정다면체의 경우 역시 한 면이 다른 면과 교차한다고 보는 것. 그리고 다각형 문서에 보면 정다각형에 또 펜타그램같은 도형이 포함되어있다. 그 결과로 이 두가지 볼록하고 오목한 두 다면체 분류가 하나로 나온 것이다. 점추이, 면추이, 변추이다. 재밌는 건 이 다면체의 쌍대는 이중의 다른 다면체라는 것.
- 정다면체(Platonic solids) : 정다면체. 모든 면이 합동이며, 한 꼭짓점에 들어가는 면의 개수가 같다. 그리고 결정적으로 볼록하다. 서양에서는 플라톤 다면체란 말로 별 정다면체와 구분하고 있다. 모든 정다면체의 개수는 5개이다. 유클리드는 각각의 다면체가 하나의 원소를 나타낸다고 생각했다. 다시말해 4원소설.[5]
- 정사면체({3, 3})
- 정육면체({4, 3})
- 정팔면체({3, 4})
- 정십이면체({5, 3})
- 정이십면체({3, 5})
- 케플러-푸앵소 다면체(Kepler-Poinsot Polyhedron) : 정다면체는 정다면체인데, 오목하게 들어가는 정다면체이다. 즉 오일러 지표가 2가 아니다. 총 4가지가 있다. 2개는 요하네스 케플러가, 2개는 푸앵소가 발견.
- 작은 별모양 십이면체
- 큰 십이면체
- 큰 별모양 십이면체
- 큰 이십면체
- 정다면체(Platonic solids) : 정다면체. 모든 면이 합동이며, 한 꼭짓점에 들어가는 면의 개수가 같다. 그리고 결정적으로 볼록하다. 서양에서는 플라톤 다면체란 말로 별 정다면체와 구분하고 있다. 모든 정다면체의 개수는 5개이다. 유클리드는 각각의 다면체가 하나의 원소를 나타낸다고 생각했다. 다시말해 4원소설.[5]
- 준정다면체(Quasiregular Polyhedron) : 변추이인 다면체. 이 정의로 자연스럽게 모든 면이 정다각형이다. 준정다면체는 위에서 알 수 있듯 서로 쌍대인 정다면체 1쌍이 합쳐진 꼴이다.
- 반정다면체(Semiregular Polyhedron) : 점추이지만 변추이와 면추이는 아니고 모든 면이 정다각형인 것들. 이것도 정의가 두가지인데, 어떤 사람들은 변추이와 면추이는 아니라는 사람이 있고, 어떤 사람은 '아닌' 게 아니라는 사람도 있다.
- 아르키메데스 다면체(Archimedean solid) : 기둥들을 뺀 모든 볼록 반정다면체들. 이중 2개는 준정다면체도 겸한다. 여기서 알 수 있듯이 아르키메데스가 연구를 시작했고 르네상스때 재발굴되어서 요하네스 케플러가 연구를 끝냈다.
- 각기둥(Prism)과 엇각기둥(Antiprism) : 위아래가 정다각형이고 옆면이 모두 직사각형인게 각기둥, 위아래가 정다각형이며 뒤틀리게 꼬인 각기둥이 엇각기둥.
- 고른 다면체(Uniform polyhedron) : 정다각형을 면으로 가지며 점추이인 다면체.
- 귀족 다면체(Noble polyhedron) : 점추이이고 면추이이지만 변추이는 아닌 특이한 다면체.
- 단체(Simplex) : 정다면체 중에서 가장 간단한 도형.
- 초입방체(Hypercube) : 정다면체 중 각각의 꼭지점이 직각을 이루는 도형.
- 정축체(Orthoplex) : 정다면체 중 각각의 꼭지점이 좌표축과 평행을 이루는 도형.
5. 확장
다면체가 3차원이라는 것을 보면, 수학적으로 이를 확장할 수도 있다. 즉 다면체를 뭉쳐서 새로운 차원의 도형으로 만들어야 하는 것인데 이를 초(超)다면체 또는 다포체라고 한다.
6. 다면체론과 관련 자료
다면체론은 고대부터 현재까지 정말 많이 연구의 관심이 되었던 분야이며, 유클리드 입체기하학의 주요 주제 중 하나다. 이름 그대로 유클리드부터 플라톤 등 다양한 철학자들의 관심을 받았고 이를 이어받아 근대 유럽에서도 별 정다면체 같은 새로운 정다면체를 찾아내는 등 심도있는 연구가 진행되었다. 게다가, 다른 수학분야보다 접근하기가 비교적 쉽고 친근해 교육청이나 대학교 등에서 하는 초중등 영재교육에 심심하면 등장하는 단골주제. 물론 현대수학에선 거의 모든 연구가 끝나 관심이 없지만 [6], 수학덕후들 사이에서는 알음알음 덕질의 대상이 되곤 한다.
여러 다면체에 대해 보고 싶다면 http://www.georgehart.com 참고. 낱낱의 다면체들에 대한 정보를 알고 싶으면 영어 위키백과를 참고. 간단하게 개요를 알고 싶으면 50쪽 짜리 플라톤과 아르키메데스 입체를 추천한다. 위에 언급된 폴리토프까지 합해 제대로 알고 싶으면 H. S. M. Coxeter의 Regular Polytope 를 추천한다.
7. 관련 문서
[1] 그렇기에 일면체부터 삼면체까지는 3차원 공간에서 존재할 수 없다. 전문 용어로는 축퇴된다(degenerate)고 하기도 한다.[2] 꼭지점에서 만나는 다각형의 수가 다른 경우에는, 예를 들어 정사면체를 두개 붙인 도형 등은, 인정하지 않는다.[3] 정의에 따라 오목한 정다면체 4개가 들어갈 수 있다.[4] 초등학교에서 잠깐 배우고 지나칠 수 있는데, 위상수학에서도 중요한 개념이다.[5] 정사면체는 불, 정육면체는 흙, 정팔면체는 공기, 정이십면체는 물, 그리고 정십이면체는 우주라고 생각했다.[6] 다만 위상수학으로 옮겨가면 아직도 할 말이 많다.