정육백포체

정육백포체

회전하는 정육백포체의 3차원 투영 모습.[1]

1. 개요

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正六百胞體/600-cell, 또는 Regular hexacosichoron(복수는 -chora)
한 개의 모서리에 다섯 개의 정사면체가 만나고, 총 육백 개의 정사면체로 이루어진 정다포체. 볼록한 4차원 정다포체 중에서 가장 많은 수의 입체로 이루어져있다. 정사면체의 이웃한 두 면이 이루는 각이 $$\cos^{-1}\dfrac{1}{3}\approx70.53^\circ$$인데, 정사면체 5개가 한 모서리에 만날 때 약 70.53º×5 = 352.65º로 360º 이하이기 때문에 볼록 정다포체를 만들 수 있으나, 정사면체 6개가 한 모서리에 만난다고 가정하면 70.53º×6 = 423.18º로 360º를 초과하기 때문에 볼록 정다포체를 만들 수 없다. 7개 이상의 정사면체가 한 모서리에 만나는 볼록한 정다포체 또한 한 모서리에 모이는 정다면체의 각의 합이 이보다 크기 때문에 당연히 만들 수 없다. 따라서 정육백포체는 정사면체로 만들 수 있는 4차원 볼록 정다포체들 중 구성 입체의 수가 가장 많다. 이렇게 구성 입체가 많이 필요한 이유는 정사면체 5개가 한 모서리에 모였을 때 남는 틈이 7.35º로 작아서[2] 4차원 방향으로 접었을 때 굴곡이 약간밖에 생기지 않기 때문이다.

2. 정보

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슐레플리 부호	{3,3,5}
꼭짓점(vertex, 0차원)	120개
모서리(edge, 1차원)	720개
면(face, 2차원)	정삼각형 1200개
포(cell, 3차원)	정사면체 600개
쌍대	정백이십포체
이포각	$$\dfrac{\pi}{3} + \cos^{-1}(-\dfrac{1}{4})$$ (약 164.4775˚)
포함 관계 또는 '''다른 이름'''	'''테트라플렉스(tetraplex)''' 또는 '''tetrahedral complex''' '''폴리테트라헤드론(polytetrahedron)''' '''하이퍼이코사헤드론(hypericosahedron)'''[3]

한 변의 길이가 $$a$$인 정육백포체가 있을 때
총 모서리 길이(total edge length) = $$720a$$
총 면적(total surface area) = $$300\sqrt{3}a^2$$
겉부피(surcell volume) = $$50\sqrt{2}a^3$$
초부피(bulk) = $$\dfrac{25}{4}(2+\sqrt{5})a^4$$

[1] 사실 눈에 보이는 것은 2차원 화면이나, 그래픽상 3차원에 투영됐다.

[2] 360º를 100%로 보았을 때 약 2.1% 정도밖에 안된다.

[3] 초(超)정이십면체