정언 논리
- 관련 정보: 정언적 삼단논법
1. 개요
Categorical Logic
아리스토텔레스가 처음 개발한 논리 체계. 19세기 말에 수리 논리학이 도래하기 전까지 줄곧 연역논증 그 자체로 여겨졌던 유서깊은 논리 체계.
2. 정언명제의 4가지 표준형식
정언명제는 포함과 배제의 방식에 따라 4가지 형식 (전칭긍정명제, 전칭부정명제, 특칭긍정명제, 특칭부정명제)으로 구분이 된다. 전칭긍정명제와 특칭긍정명제는 라틴어의 긍정을 뜻하는 ‘affirmo’에서 각각 A와 I를, 전칭부정명제와 특칭부정명제는 부정을 뜻하는 라틴어 ‘nego’에서 각각 E와 O를 취하여 A, E, I, O 유형으로 구분한다.
그런데 우리가 일상적으로 쓰는 명제들은 이런 표준형식으로 되어있지 않으므로 명제들을 정언논리체계로 다루려면 우선 표준형식으로 바꿔야 한다. 그렇지 않으면 타당성을 검사하는 작업을 제대로 할 수 없다.
2.1. 전칭긍정명제(A명제)
모든 S는 P이다 의 형식이 대표적인 표현이다. 예를들어 철학자를 S로 진리를 탐구하는 사람을 P로 두면 “모든 철학자는 진리를 탐구하는 사람이다”라는 전칭긍정명제가 된다.
전칭긍정명제로의 환원
사람은 양심이 있다. → 모든 사람은 양심을 가진 존재이다.
철은 전류가 흐른다. → 모든 철제품은 전기가 흐르는 것이다.
2.2. 전칭부정명제(E명제)
모든 S는 P가 아니다 라는 형식이 표준형이지만 이 표현은 다의적이기 때문에 어느(어떤) S도 P가 아니다는 형식으로 바꾸는게 좋다. 가령 “모든 서울사람은 경상도 출신이 아니다”와 “모든 여학생은 남자가 아니다”라는 두 명제를 비교하면 둘다 같은 형식이지만 전자의 경우 해석은 사람마다 다를 수 있다. “모든 서울사람은 경상도 출신이 아니다”는 서울사람 중에 경상도 출신이 한 명도 없다고 해석할 수가 있지만, 서울사람 중 적어도 한 명 이상이(어떤 사람이) 경상도 출신이 아니라는 해석도 가능하다. “모든 여학생은 남자가 아니다”라는 표현은 여학생에는 남자가 하나도 없다 라는 뜻으로 해석된다. 따라서 오해가 없도록 명확하게 표현하려면 “어느(어떤) 여학생도 남자가 아니다”라고 해야하며 마찬가지로 “어느(어떤) 서울 사람도 경상도 출신이 아니다”라고 표현해야 정확한 전칭부정명제의 형식이다.
전칭부정명제로의 환원
쓴 맛이 나는 소금은 없다. → 어떤 소금도 쓴 맛이 나는 것이 아니다.
거짓말하는 목사는 없다. → 어느 목사도 거짓말 하는 사람이 아니다.
2.3. 특칭긍정명제(I명제)
어떤 S는 P이다 의 형식이 표준형이다. 예를 들면 “어떤 교수는 무신론자이다”와 같은 명제가 특칭긍정명제이다.
특칭긍정명제로의 환원
의사는 친절하다. → 어떤 의사는 친절한 의사이다.
몇몇 사람을 제외하고는 모두가 그를 탄핵했다. → 어떤 사람은 그를 탄핵한 사람이다.
2.4. 특칭부정명제(O명제)
어떤 S는 P가 아니다 가 표준형이다. 전칭부정명제에서 언급한것처럼 '모든 서울 사람은 경상도 출신이 아니다'에서 '아니다'라는 서술어가 '모든'을 부정한다고 본다면, 이는 '서울사람 중 경상도 출신인 사람은 없다'라는 것을 부정하는 것이므로 '어떤 서울사람은 경상도 출신이다'라고 해석할 수 있고 다시 반대로 '어떤 서울사람은 경상도 출신이 아니다.'로도 해석이 가능하므로 이런 경우에 '모든 서울 사람은 경상도 출신이 아니다'는 특칭부정명제로 볼 수도 있다.
특칭부정명제로의 환원
도덕적이지 않은 정치인들도 있다. → 어떤 정치인들은 도덕적인 인간이 아니다.
반짝인다고 모두 금은 아니다. → 어떤 반짝이는 것은 금이 아니다.
3. 정언 논증(삼단논법)
일반적으로 연역논증이라 하면 대부분 삼단논법을 먼저 생각할 정도로 삼단논법은 가장 기본적인 추론 형식이다. 삼단논법은 두 개의 전제와 하나의 결론으로 구성된, 즉 세 개의 기본적인 명제를 가진 연역 추리이다. 삼단이라고 하는 것은 두 개의 명제(전제)로부터 세번째의 명제(결론)을 이끌어 내기 때문이다. 삼단논법에는 여러 가지 종류가 있지만, 앞서 설명한 A, E, I, O 형식으로 표현되는 정언명제들로만 이루어진 삼단논법을 정언적 삼단논법이라 한다. 이 정언적 삼단논법은 세 개의 명제를 가져야만 하고, 세 가지 명사만을 가져야 한다.
이 예에서는 세 개의 명사 – ‘음악가’, ‘예술가’, ‘가수’ – 가 사용되었고 세개의 명제 – “모든 음악가는 예술가이다.”, “모든 가수는 음악가이다.”, “모든 가수는 예술가이다.” – 로 구성되어 있다.
4. 직접추론
삼단논법처럼 두 개 이상의 전제를 갖는 논증을 간접추론(mediate inference)이라고 한다. 이러한 논증에서는 명제가 다른 명제의 매개를 통해 결론에 이른다. 반면 하나의 명제로부터 곧바로 다른 명제를 도출하는 추론을 직접추론(immediate inference)이라고 한다. 직접추론에는 대당관계(opposition), 환위(conversion), 환질(obversion), 이환(contraposition)이 있다.
4.1. 대당
대당관계란 주어개념과 술어개념은 같으나 양이나 질이 다른 정언명제 사이의 관계를 말한다. 모순대당(contradictories), 반대대당(contraries), 소반대대당(subcontraries), 대소대당(subalternation)이 있다.
4.1.1. 모순대당
양과 질이 모두 다른 명제 사이의 관계를 모순대당이라고 한다. 모순대당에 있는 '''두 명제는 동시에 참이거나 거짓일 수 없다.''' 한 명제가 거짓이라면, 다른 명제는 반드시 참이다. A와 O, I와 E 간의 관계가 이에 해당한다.
모든 사람은 동물이다 - 어떤 사람은 동물이 아니다.
이 모순대당관계에서 볼 수 있듯이, 모든 사람이 동물이라는 명제가 참이라면, 어떤 사람은 동물이 아니라는 두 번째 명제는 반드시 거짓이다. 모든 사람이 동물임과 동시에, 어떤 사람은 동물이 아닐 수 없다.
4.1.2. 반대대당
양은 같지만 질이 다른 명제 사이의 관계로, A와 E의 관계가 있다. 이러한 관계의 '''두 명제는 동시에 참일 수는 없지만 동시에 거짓일 수는 있다.'''
모든 사람은 동물이다. - 모든 사람은 동물이 아니다.
이 두 반대대당관계의 명제는 한 쪽이 참이면 한 쪽이 거짓이다. 동시에 참일 수는 없다.
모든 사람은 꼴통이다. - 모든 사람은 꼴통이 아니다.
이 두 반대대당관계의 명제는, 모든 사람은 꼴통이라는 명제가 거짓이라고 할 때, 모든 사람이 꼴통이 아니라는 명제는 참일 수도 있고 거짓일 수도 있다.
4.1.3. 소반대대당
반대대당과 마찬가지로 양은 같지만 질이 다른 명제 간의 관계인데, 반대대당은 전칭명제에 적용된다면, 소반대대당은 특칭명제에 적용된다. 즉 I와 O 사이의 관계이다. 이 '''둘은 동시에 참일 수는 있지만, 동시에 거짓이 될 수는 없다.'''
어떤 사람은 정치가다. - 어떤 사람은 정치가가 아니다.
어떤 사람이 정치가일 때, 어떤 사람은 정치가일 수도 있고 아닐 수도 있다.
어떤 사람은 동물이 아니다. - 어떤 사람은 동물이다.
어떤 사람이 동물이 아니라는 명제는 거짓이지만, 어떤 사람은 동물이라는 명제는 참이다.
4.1.4. 대소대당
대소대당이란 전칭명제의 참이 특칭명제의 참을 함축함을 말한다. 예컨대 '''참인 A는 참인 I를 함축한다.''' 하지만 역은 성립하지 않는다. 즉 I가 참이라고 가정하더라도, 이것만으로는 A의 참을 도출할 수 없다. 또한 거짓인 A가 거짓인 I를 함축하지도 않는다. 특칭명제를 함축하는 전칭명제를 대명제(superaltern), 대명제에 의해 함축되는 특칭명제를 소명제(subaltern)이라고 부른다. A와 이에 의해 함축되는 I 사이의 관계를 양축소대당이라고 부르며, E와 이에 의해 함축되는 O의 관계는 양확장대당이라고 한다.
모든 총은 무기이다. - 어떤 총은 무기이다.
이와 같이 첫 번째 명제가 참일 때, 두 번째 명제 또한 참이다. A와 I의 관계일 때.
모든 한국인은 한국어에 능통하다. - 어떤 한국인은 한국어에 능통하다.
첫 번째 명제가 참이 아니고, 두 번째 명제의 참 거짓 여부는 알 수 없다.
어떤 한국인이 한국어에 능통하다. - 모든 한국인은 한국어에 능통하다.
첫 번째 명제가 참이라 하더라도, 두 번째 명제의 참 거짓 여부는 알 수 없다.
4.1.5. 기타
반대대당과 소반대대당을 추론에 직접 적용할 때는 우연명제에만 적용하도록 해야 한다. 반대대당인 두 명제는 동시에 참일 수 없다. 항진명제라 함은, 반드시 참인 명제를 가리키는데, 적용할 수 없다. 마찬가지로, 언제나 거짓인 항위명제에는 소반대대당을 적용할 수 없다.
위의 대당관계를 이용한다면 타당한 직접추론을 할 수 있다. 예를 들어 A인 어떤 명제가 주어졌다면, 이로부터 E와 O는 거짓, I는 참임을 추론할 수 있다.
전칭명제는 존재함축과 무관하게 진리치를 가질 수 있다고 보는 부울의 해석을 따라, 현대 논리학에서는, 위의 대당관계 중 모순대당만을 받아들인다. 또한, 대소대당이 인정되지 않음에 따라, 아래에 나올 직접추론의 형식 중 제한환위와 제한이환 역시 부당한 추론이 된다.
4.2. 환위
환위란 정언명제의 주어개념과 술어개념의 위치를 서로 바꾸는 것을 말한다. 예를 들어 '어떤 대통령도 대머리가 아니다.'의 환위는 '어떤 대머리도 대통령이 아니다.'가 된다. 전자를 원래명제, 후자를 환위명제라고 부른다. 원래명제와 환위명제가 동치인 경우는 A와 I, E이다. A의 경우, 타당한 환위를 하려면 양 또한 바꿔야 하는데, 이를 제한환위라고 한다. 이에 따라, I와 E의 환위명제는 원래명제와 동일한 형식을 갖지만, A의 환위명제는 I가 된다.
수학에서의 '역'에 해당한다.
4.3. 환질
환질이란 술어개념을 모순개념(여집합)으로 바꾸고, 질을 바꾸는 것이다. 명제를 부정하는 게 아니라, 단순히 질만 바꾸는 것이다. 정언명제의 부정은 양과 질 모두 바꾸어야 한다. 이는 곧 모순대당에 있는 명제가 원래 명제의 부정임을 뜻한다. 단, 의미상으로만 따졌을 땐 이중부정이랑 별 차이가 없다. 환질의 원초적인 발상은 술어 $$ \rm P \it $$에 대하여 $$\lnot \left ( \lnot \rm P \it \right )$$인 것과 다름없다.
모순개념으로 바꿀 때는 비(非)나 non을 붙여 표현하고는 한다. 예를 들어 '모든 논리학자는 수학자이다.'의 환질명제는 '모든 논리학자는 비-수학자가 아니다.'이다. 비-수학자가 아니라는 것은 수학자가 아닌 게 아니라는 것이니, 결국 수학자라는 말이다. 사실상 환질이란 원래 명제의 질을 두 번 바꾸는 것인 셈이다. 마치 모순개념의 모순개념, 여집합의 여집합처럼 말이다. 그렇기에 환질명제는 언제나, 형식과 무관하게, 원래명제와 동치이다. 환질은 질을 바꾸기에, A는 E가, E는 A가 되며, I는 O가, O는 I가 된다.
수학에서의 '이'에 해당한다.
4.4. 이환
이환이란 주어개념과 술어개념의 위치를 바꾸고, 둘을 모순개념으로 대체하는 것이다. '어떤 위키유저는 네티즌이다.'의 이환명제는 '어떤 비-네티즌은 비-위키유저이다.'이다. 이환과정은 환위와 환질로 환원된다. 즉 한 명제를 환질-환위-환질하면, 그게 곧 이환이다. 예를 들어 다음과 같은 식이다.
1) 어떤 군인은 네티즌이다. (원래명제)
2) 어떤 군인은 비-네티즌이 아니다. (1의 환질)
3) 어떤 비-네티즌은 군인이 아니다. (2의 환위)
4) 어떤 비-네티즌은 비-군인이다. (3의 환질, 1의 이환)
1)에서 4)까지의 과정은 원래명제가 환질-환위-환질을 통해 이환명제에 이르는 단계를 보여준다. 그렇기에 이환추론의 타당성은 환질과 환위를 통한 추론의 타당성에 의존한다고 볼 수 있다. 앞서 항목에서 보았듯이 환질명제는 원래명제와 언제나 동치이므로, 환질에 의한 추론은 항상 타당하다. 그렇기에 문제가 되는 것은 환위의 단계이다. 만약 어떤 명제의 환질명제의 환위명제가 타당하다면, 그 이환 또한 타당하다. 위의 예시를 살펴보자면 다음과 같다. 2)는 1)의 환질이니 타당한 추론이다. 하지만 3), 즉 2)의 환위는, O의 환위로서 부당한 추론방식이다. 따라서 1)의 이환은 부당하다.[2] 나머지 형식인 A, E, O에 대해서는 타당하다. 다만 A에 대해서는 제한환위만이 가능한 것처럼, E에 대해서는 제한이환이 적용된다. 예를 들어 '어떤 학생도 위키러가 아니다.'의 타당한 이환은 '어떤 비-위키러는 비-학생이 아니다.'가 된다.
수학에서의 '대우'에 해당된다.
[1] '모든 S는 P가 아니다'는 전칭 부정 명제가 아니다. 이것은 한국어의 특수성으로 인해 중의적인 해석을 낳기 때문이다. 다시 말해, '모든 S는 P가 아니다'라는 것은, (1) '어떤 S도 P가 아니다'를 함축할 수 있지만, 반면 (2) 'S가운데 일부분만 P이고 다른 일부분은 P가 아니다'를 함축할 수도 있다. 따라서 전칭 부정 명제는, 한국어로는 반드시 '''어떤 S도 P가 아니다'''로 표현해야 한다.[2] 즉 1)로부터 4)를 타당하게 추론할 수는 없다는 말이다. 1)과 4) 모두 현실적으로는 맞는 말인 것처럼 보이기에 왜 부당하다는 것인지 이해하지 못할 수도 있는데, 여기서 중요한 것은 1)로부터 4)를 도출해낼 수 있는가,즉 1)을 전제로 하고 4)를 결론으로 갖는 타당한 논증을 구성할 수 있는가 하는 문제이다. 1)이 참이라고 해도 4)가 거짓인 경우는 가능하므로, 그러한 논증은 타당하지 않다.