'''Square root matrix'''
1. 개요
수의
제곱근처럼, 행렬도 제곱근을 정의할 수 있다. 그런데 행렬의 특성상 '''제곱근이 되는 행렬이 엄청나게 많다'''
[1] A^{2} = B라면 A와 상사인 임의의 행렬 C에 대해 C^{2} = B이다. 물론 {\begin{bmatrix} 0 \quad 1 \\ 0 \quad 0 \end{bmatrix}} 같이 제곱근행렬이 존재하지 않는 행렬도 있다.
. 2×2 단위행렬만 해도 아래와 같이 제곱근행렬이 10가지 경우로 매우 많다. 다만 원래 행렬이 양의 준정부호 행렬이라면 제곱근 중 양의 준정부호 행렬은 유일하다는 것이 알려져 있으므로 이를 principal square root라 해서 이를 기준으로 삼을 수 있다.
$$\displaystyle \sqrt{\begin{bmatrix} 1 \quad 0 \\ 0 \quad 1 \end{bmatrix}} = {1 \over h} {\begin{bmatrix} b \quad a \\ a \quad -b \end{bmatrix}}, {1 \over h} {\begin{bmatrix} -b \quad -a \\ -a \quad b \end{bmatrix}}, {1 \over h} {\begin{bmatrix} -b \quad a \\ a \quad b \end{bmatrix}}, {1 \over h} {\begin{bmatrix} b \quad -a \\ -a \quad -b \end{bmatrix}}, \begin{bmatrix} 1 \quad 0 \\ 0 \quad 1 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 1 \quad 0 \\ 0 \quad -1 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} -1 \quad 0 \\ 0 \quad 1 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} -1 \quad 0 \\ 0 \quad -1 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 0 \quad 1 \\ 1 \quad 0 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 0 \quad -1 \\ -1 \quad 0 \end{bmatrix} $$
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여기서 $$a, b, h$$ 는
[math(a^{2} + b^{2} = h^{2})]를 만족하는
자연수이다.
단위행렬은 양의 준정부호 행렬이며 그 principal square root는 단위행렬이다.
2. 여담
Aluthge transform이라는 개념에서도 행렬의 유리수승을 정의한다고 한다.