초실수체

 


1. 개요
2. 정의
2.1. 자연스러운 확장(natural extension)
2.1.1. 부분 집합의 확장
2.1.2. 관계의 확장
2.1.3. 함수와 연산의 확장
2.2. 순서체
2.3. 전달 원리(transfer principle)
3. 초실수의 분류
4. 초실수의 연산
5. 표준 부분 원리


1. 개요


초실수체 $$\mathbb{R}^{*}$$란, 무한소를 포함하며, $$\mathbb{R}$$에 대해 성립하는 모든 1차 논리 문장으로 적을수 있는 명제를 $$\mathbb{R}^{*}$$에 대해서도 만족시키고, 거꾸로 $$\mathbb{R}^{*}$$에서 1차논리 문장으로 적힌 명제가 참이면 $$\mathbb{R}$$에서도 만족시키는 $$\mathbb{R}$$의 확대 체(extension field)이다. Edwin Hewitt라는 미국인 수학자가 1948년에 최초로 도입하였다. 실수에서 하던 얘기 대부분[1][2]을 무한소를 가지고서도 할 수 있기 때문에, 미적분학 역사 초기에 오일러, 뉴턴 등이 무한소를 도입하여 미적분을 설명했었던 논리가 아주 틀린건 아니라는 것을 밝힌데에 의의가 있다.
초실수를 이용해 전개하는 해석학을 비표준 해석학(nonstandard analysis)이라고 한다. ''표준'' 해석학이 엡실론-델타 논법 위에서 전개되는 것에 대비해서 이렇게 표현한 것이다.

2. 정의


어떤 집합 $$I$$에 대해서, $$I$$ 위의 '''필터'''(filter on $$I$$) $$U\subset \mathcal{P}(I)$$란 다음의 세가지 조건을 만족하는 $$I$$의 부분집합으로 이루어진 집합을 말한다.
  1. 포함집합(superset)에 닫혀있다: $$X\in U$$ 이고 $$X\subset Y \subset I$$ 이면 $$Y\in U$$
  2. 유한 교집합에 닫혀있다: $$X,Y\in U$$ 이면 $$X\cap Y \in U$$
  3. $$I\in U$$ 이고 $$\emptyset \notin U$$
임의의 $$X\subset I$$에 대하여 $$X$$와 $$I-X$$ 중에 어느 하나만이, 반드시, 필터 $$U$$의 원소일 때, $$U$$를 '''극대필터'''라고 한다.
극대필터 $$U$$의 모든 원소가 무한집합이면 $$U$$를 '''자유극대필터'''(free ultrafilter)라고 한다. 초른의 보조정리를 이용하면, 임의의 무한집합 $$I$$에 대하여, $$I$$위의 자유극대필터가 존재한다는 것을 증명할 수 있다.[3] 자유극대필터의 유일성은 보장되지 않는다.[4]
자연수 집합 $$\mathbb{N}$$에 대하여 $$\mathbb{N}$$ 위의 자유 극대필터(free ultrafilter on $$\mathbb{N}$$) $$U$$가 주어졌을 때, 실수열의 집합 $$\mathbb{R}^{\mathbb{N}}$$에 대하여 다음과 같은 동치관계 $$=_{U}$$를 줄 수 있다.
$$a=_{U} b$$ if and only if $$\{i\in \mathbb{N}|a_{i}=b_{i}\}\in U$$
이 관계가 동치관계인 이유는, 반사성은 전체집합 $$\mathbb{N}$$이 필터의 원소가 되기 때문이고, 대칭성은 정의에 의해 자명하고, 추이성은 필터가 교집합과 포함집합에 닫혀있기 때문이다.
$$a$$의 동치류를 $$a_{U}=\{b\in\mathbb{R}^{\mathbb{N}}|a=_{U}b\}$$로 나타내자. 그러면, 초실수체 $$\mathbb{R}^{*}$$는 $$\mathbb{R}$$ modulo $$U$$의 초거듭제곱(ultrapower)이다.
$$\mathbb{R}^{*}=\displaystyle\prod_{U} {\mathbb{R}}=\{a_{U}|a\in \mathbb{R}^{\mathbb{N}}\}$$
이렇게 구성하는 방법을 ultrapower construction이라 한다.

2.1. 자연스러운 확장(natural extension)



2.1.1. 부분 집합의 확장


실수집합의 부분집합 $$A\subset\mathbb{R}$$을 아래와 같이 초실수집합의 부분집합으로 확장할 수 있다.
$$A^{*}=\{a_{U}|a\in A^\mathbb{N}\}$$
특히, 자연수 집합 $$\mathbb{N}$$, 정수 집합 $$\mathbb{Z}$$, 유리수 집합 $$\mathbb{Q}$$, 무리수 집합 $$\mathbb{I}$$에 대하여, $$\mathbb{N}^{*}$$, $$\mathbb{Z}^{*}$$, $$\mathbb{Q}^{*}$$, $$\mathbb{I}^{*}$$ 등을 초자연수 집합, 초정수 집합, 초유리수 집합, 초무리수 집합이라고 한다.

2.1.2. 관계의 확장


아래 첨자의 남용을 막기 위하여 지금부터는 $$X$$를 실수열의 n-tuple이라 하자. ($$X_{1},X_{2},X_{3}$$ 등은 $$X$$의 수열로서의 항이지, n-tuple의 성분을 나타내는 것이 아니다.) $$X_{U}$$는 $$X$$의 성분의 동치류로 구성된 $$\mathbb{R}^{*}$$의 n-tuple이다.
실수의 n항 관계 $$R$$은, $$\{X_{U}|X\in\mathbb{R}^{\mathbb{N}\times n},\{i\in\mathbb{N}|X_{i}\in R\}\in U\}$$로 확장할 수 있다. 이를 이용하면 순서관계$$<$$를 확장할 수 있다.
$$a_{U}<^{*}b_{U} \iff \{i\in\mathbb{N}|a_{i}

2.1.3. 함수와 연산의 확장


함수 $$f:\mathbb{R}^{n}\to \mathbb{R}$$에 대하여 $$f$$의 자연스러운 확장 $$f^{*}$$를 자연스럽게 정의할 수 있다.
$$f^{*}(X_{U})=(f(X_{1}),f(X_{2}),f(X_{3}).\cdots)_U$$
이렇게 정의해도 잘 정의되는 이유는 임의의 $$Y\in X_{U}$$에 대하여, $$\{i\in\mathbb{N}|X_{i}=Y_{i}\}\in U$$ 이고, $$U$$가 포함집합에 닫혀있어서
$$\{i\in\mathbb{N}|X_{i}=Y_{i}\}\subset\{i\in\mathbb{N}|f(X_{i})=f(Y_{i})\}\in U$$
가 성립하기 때문이다. 이를 이용하면 실수의 사칙연산 등을 초실수의 사칙연산으로 확장할 수 있다.
$$a_{U}+^{*}b_{U}=(a+b)_{U}=(a_{1}+b_{1},a_{2}+b_{2},a_{3}+b_{3}.\cdots)_{U}$$
$$a_{U}\times^{*}b_{U}=(a \times b)_{U}=(a_{1}\times b_{1},a_{2}\times b_{2},a_{3}\times b_{3}.\cdots)_{U}$$
집합 $$A\subset\mathbb{R}$$에 대한 지시 함수(indicator function) $$\bold{I}_{A}:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$$는
$$\bold{I}_A(x) =\begin{cases}1&x\in A\\0&x\notin A\end{cases}$$
로 정의되는 함수이다. 이 때, 함수 $$\bold{I}_{A}$$의 자연스러운 확장 $$\bold{I}_{A}^{*}$$은, 집합 $$A$$의 자연스러운 확장 $$A^{*}$$의 지시함수와 같다. 즉,
$$\bold{I}_{A}^{*}(x)=\bold{I}_{A^{*}}(x)=\begin{cases}1&x\in A^{*}\\0&x\notin A^{*}\end{cases}$$
이 성립한다.
함수 $$f$$가 $$A\subset \mathbb{R}^{n}$$에서 정의되었을 때에는 $$f^{*}:A^{*}\to\mathbb{R}^{*}$$를
$$f(X_{U})=(f(X_{1}),f(X_{2}),f(X_{3}).\cdots)_U,\quad \forall X\in A^{\mathbb{N}} $$
로 확장하자. 예를들어 $$\div$$는 $$\mathbb{R}\times\left(\mathbb{R}-\{0\}\right)$$에서 정의되므로 위와 같은 방법으로 확장할 수 있다.

2.2. 순서체


$$(\mathbb{R}^{*},+^{*},\times^{*},<^{*})$$는 체공리와 순서공리를 만족시키는 순서체이다.
$$\mathbb{R}^{*}$$는 아르키메데스 성질을 만족하지 않는다. 예를들어, 양의 무한대는 1을 유한번 더한 값 보다는 항상 크다.
실수 $$r\in\mathbb{R}$$에 대하여 $$\mathbb{R}^{*}$$의 실수를 모든 항이 $$r$$인 실수열의 동치류 $$(r,r,r,\cdots)_{U}$$로 자연스럽게 정의할 수 있다. 이 때, 함수 $$f:r\mapsto (r,r,r,\cdots)_{U}$$는 환동형사상이자 순서동형사상이다. 즉, $$\{(r,r,r,\cdots)_{U}|r\in \mathbb{R}\} $$은 완비순서체이며, $$\mathbb{R}^{*}$$의 부분체이다.

2.3. 전달 원리(transfer principle)



2.4. 무한소무한대


양의 무한소란, 임의의 양수보다 작고 0보다는 큰 초실수이다. 예를들면, 수열 $$a_{n}=\displaystyle\frac{1}{n}$$에 대하여 $${a}_U$$는 무한소이다. 임의의 양의 실수 $$r$$에 대하여, $$\displaystyle\frac{1}{n}\geq r$$을 만족하는 자연수 $$n$$이 많아야 유한개라서, 자유극대필터의 정의에 의해
$$\left\{n\in\mathbb{N}\left|\displaystyle\frac{1}{n}< r \right.\right\}\in U$$
가 성립하기 때문이다. 비슷하게, 수열 $$a_{n}=n$$에 대하여, $${a}_{U}$$는 양의 무한대이다.
재밌는점은, 수열 $$a_{n}=e^{(-1)^{n}n}$$에 대하여, $${a}_{U}$$는 무한소일 수 도 있고, 무한대일 수 도 있다. 자유극대필터의 선택에 의하여 달라지는데, 자유극대필터의 정의에 의해, 짝수집합과 홀수집합중 하나만 자유극대필터의 원소가 된다. 짝수 집합이 원소이면, $${a}_{U}$$는 무한대이고, 홀수집합이 원소이면, $${a}_{U}$$는 무한소이다.[5]

3. 초실수의 분류


초실수체 $$\mathbb{R}^{*}$$의 원소를 '''초실수'''라 한다. 비슷하게, $$\mathbb{N}^{*}$$, $$\mathbb{Z}^{*}$$, $$\mathbb{Q}^{*}$$, $$\mathbb{I}^{*}$$의 원소를, 각각, '''초자연수''', '''초정수''', '''초유리수''', '''초무리수'''라고 한다.
'''무한소'''란, 절댓값이 임의의 0이 아닌 실수보다 작은 초실수를 뜻한다. 무한소는 다음의 세 가지로 분류할 수 있다.
  1. 양의 무한소 : 임의의 양의 실수보다 작고 0보다는 큰 초실수
  2. 음의 무한소 : 임의의 음의 실수보다 크고 0보다는 작은 초실수
  3. 0
'''무한대'''란, 절댓값이 임의의 실수보다 큰 초실수를 뜻하며, 다음의 두가지 경우로 나뉘어진다.
  1. 양의 무한대: 임의의 실수보다 큰 초실수
  2. 음의 무한대: 임의의 실수보다 작은 초실수
'''유한 초실수'''는 무한대가 아닌 초실수를 뜻한다.
두 초실수 $$a,b$$에 대하여, $$a-b$$가 무한소이면, $$a$$와 $$b$$를 한없이 가깝다고 하고, $$a\approx b$$라고 쓴다. 이 때, 관계 $$\approx$$는 동치관계가 되는데, 이 관계의 $$a$$의 동치류
$$\text{monad}(a)=\{x\in\mathbb{R}^{*}|a\approx x\}$$
를 $$a$$의 monad라고 한다. 비슷하게, 집합
$$\text{galaxy}(a)=\{x\in\mathbb{R}^{*}|a-x\text{는 유한 초실수}\}$$
은 $$a$$의 galaxy 라고 한다.

4. 초실수의 연산


$$\epsilon,\delta$$를 0이 아닌 무한소, $$H,K$$를 양의 무한대, $$a,b$$를 무한소가 아닌 유한 초실수라고 하자.
아래의 연산 결과는 모두 0이 아닌 무한소이다.
  • $$\epsilon+\delta$$, $$\epsilon\delta$$, $$\displaystyle\frac{\epsilon}{H}$$, $$\epsilon a$$
아래의 연산 결과는 모두 무한대이다.
  • $$H+K$$, $$HK$$, $$H+\epsilon$$, $$H+a$$, $$aH$$, $$\displaystyle\frac{a}{\epsilon}$$, $$\displaystyle\frac{H}{\epsilon}$$
아래의 연산 결과는 모두 유한 초실수이다.
  • $$a+b$$, $$a\times b$$, $$a+\epsilon $$

5. 표준 부분 원리


임의의 유한초실수 $$a\in \mathbb{R}^{*}$$에 대하여, $$a=a_{0}+\epsilon$$을 만족하는 실수 $$a_{0}$$와 무한소 $$\epsilon$$이 유일하게 존재한다. 이 때 함수 $$\text{st}:a\mapsto a_{0}$$을 표준 부분함수라고 한다.
즉, 임의의 양의 실수 $$r$$에 대하여
$$0\leq|\text{st}(a)-a|=|\epsilon|
이 성립하므로, $$\text{st}(a)$$를 $$a$$에 "한없이 가까운" 실수로 이해할 수 있다. 이를 이용해서, 함수의 극한, 미분, 적분 등을 무한소의 개념을 이용하여 정의할 수 있다. 극한의 정의에 대해서 알고싶으면 극한 참고.

[1] 1차논리로 적을 수 있는 명제에 한한다. 아르키메데스 성질은 1차논리의 문장으로 표현할 수 없고, 실수체에서 아르키메데스 성질이 성립하지만, 초실수체에서는 성립하지 않는다.[2] 아르키메데스 성질을 1차논리의 문장으로 $$\forall y\forall x\exist n((n\in \mathbb{N} \land x>0)\to n\times x> y) $$라고 쓸수 있지 않느냐고 반문할수도 있을텐데, $$\mathbb{N}$$을 초실수체로 '전달'하면 $$\mathbb{N}^{*}$$가 되어서, 자연수(=1을 유한번 더해서 얻은것) n이 더이상 자연수가 아닐수도 있게 된다. 그렇기 때문에 근본적으로 자연수 집합을 1차논리로 어떻게 표현해낼지가 문제가 된다.[3] 선택공리를 배제하면, 즉, ZFC 공리계가 아닌 ZF 공리계에서는 존재성에 대해 증명할 방법이 없다고 한다. 그래서 Errett Bishop 같은 구성주의 수학자들은 초실수에 대해서 부정적으로 보았다.[4] 자유극대필터의 선택에 따라 다른 초실수체가 나올 수 있는데, 연속체 가설을 가정하면, 서로 다른 초실수체가 모두 동형이라고 한다.[5] 필터라는 네이밍이 참 괜찮은게, 짝수항과 홀수항 중 하나는 필터에 의해 걸러지고, 다른 하나는 필터를 그대로 통과해서 버려진다고 생각 할 수 있다.