초실수체

1. 개요

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초실수체 $$\mathbb{R}^{*}$$란, 무한소를 포함하며, $$\mathbb{R}$$에 대해 성립하는 모든 1차 논리 문장으로 적을수 있는 명제를 $$\mathbb{R}^{*}$$에 대해서도 만족시키고, 거꾸로 $$\mathbb{R}^{*}$$에서 1차논리 문장으로 적힌 명제가 참이면 $$\mathbb{R}$$에서도 만족시키는 $$\mathbb{R}$$의 확대 체(extension field)이다. Edwin Hewitt라는 미국인 수학자가 1948년에 최초로 도입하였다. 실수에서 하던 얘기 대부분[1][2]을 무한소를 가지고서도 할 수 있기 때문에, 미적분학 역사 초기에 오일러, 뉴턴 등이 무한소를 도입하여 미적분을 설명했었던 논리가 아주 틀린건 아니라는 것을 밝힌데에 의의가 있다.
초실수를 이용해 전개하는 해석학을 비표준 해석학(nonstandard analysis)이라고 한다. ''표준'' 해석학이 엡실론-델타 논법 위에서 전개되는 것에 대비해서 이렇게 표현한 것이다.

2. 정의

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어떤 집합 $$I$$에 대해서, $$I$$ 위의 '''필터'''(filter on $$I$$) $$U\subset \mathcal{P}(I)$$란 다음의 세가지 조건을 만족하는 $$I$$의 부분집합으로 이루어진 집합을 말한다.

1. 포함집합(superset)에 닫혀있다: $$X\in U$$ 이고 $$X\subset Y \subset I$$ 이면 $$Y\in U$$
2. 유한 교집합에 닫혀있다: $$X,Y\in U$$ 이면 $$X\cap Y \in U$$
3. $$I\in U$$ 이고 $$\emptyset \notin U$$

임의의 $$X\subset I$$에 대하여 $$X$$와 $$I-X$$ 중에 어느 하나만이, 반드시, 필터 $$U$$의 원소일 때, $$U$$를 '''극대필터'''라고 한다.
극대필터 $$U$$의 모든 원소가 무한집합이면 $$U$$를 '''자유극대필터'''(free ultrafilter)라고 한다. 초른의 보조정리를 이용하면, 임의의 무한집합 $$I$$에 대하여, $$I$$위의 자유극대필터가 존재한다는 것을 증명할 수 있다.[3] 자유극대필터의 유일성은 보장되지 않는다.[4]
자연수 집합 $$\mathbb{N}$$에 대하여 $$\mathbb{N}$$ 위의 자유 극대필터(free ultrafilter on $$\mathbb{N}$$) $$U$$가 주어졌을 때, 실수열의 집합 $$\mathbb{R}^{\mathbb{N}}$$에 대하여 다음과 같은 동치관계 $$=_{U}$$를 줄 수 있다.

$$a=_{U} b$$ if and only if $$\{i\in \mathbb{N}|a_{i}=b_{i}\}\in U$$

이 관계가 동치관계인 이유는, 반사성은 전체집합 $$\mathbb{N}$$이 필터의 원소가 되기 때문이고, 대칭성은 정의에 의해 자명하고, 추이성은 필터가 교집합과 포함집합에 닫혀있기 때문이다.
$$a$$의 동치류를 $$a_{U}=\{b\in\mathbb{R}^{\mathbb{N}}|a=_{U}b\}$$로 나타내자. 그러면, 초실수체 $$\mathbb{R}^{*}$$는 $$\mathbb{R}$$ modulo $$U$$의 초거듭제곱(ultrapower)이다.

$$\mathbb{R}^{*}=\displaystyle\prod_{U} {\mathbb{R}}=\{a_{U}|a\in \mathbb{R}^{\mathbb{N}}\}$$

이렇게 구성하는 방법을 ultrapower construction이라 한다.

2.1. 자연스러운 확장(natural extension)

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2.1.1. 부분 집합의 확장

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실수집합의 부분집합 $$A\subset\mathbb{R}$$을 아래와 같이 초실수집합의 부분집합으로 확장할 수 있다.

$$A^{*}=\{a_{U}|a\in A^\mathbb{N}\}$$

특히, 자연수 집합 $$\mathbb{N}$$, 정수 집합 $$\mathbb{Z}$$, 유리수 집합 $$\mathbb{Q}$$, 무리수 집합 $$\mathbb{I}$$에 대하여, $$\mathbb{N}^{*}$$, $$\mathbb{Z}^{*}$$, $$\mathbb{Q}^{*}$$, $$\mathbb{I}^{*}$$ 등을 초자연수 집합, 초정수 집합, 초유리수 집합, 초무리수 집합이라고 한다.

2.1.2. 관계의 확장

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아래 첨자의 남용을 막기 위하여 지금부터는 $$X$$를 실수열의 n-tuple이라 하자. ($$X_{1},X_{2},X_{3}$$ 등은 $$X$$의 수열로서의 항이지, n-tuple의 성분을 나타내는 것이 아니다.) $$X_{U}$$는 $$X$$의 성분의 동치류로 구성된 $$\mathbb{R}^{*}$$의 n-tuple이다.
실수의 n항 관계 $$R$$은, $$\{X_{U}|X\in\mathbb{R}^{\mathbb{N}\times n},\{i\in\mathbb{N}|X_{i}\in R\}\in U\}$$로 확장할 수 있다. 이를 이용하면 순서관계$$<$$를 확장할 수 있다.

$$a_{U}<^{*}b_{U} \iff \{i\in\mathbb{N}|a_{i}

2.1.3. 함수와 연산의 확장

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함수 $$f:\mathbb{R}^{n}\to \mathbb{R}$$에 대하여 $$f$$의 자연스러운 확장 $$f^{*}$$를 자연스럽게 정의할 수 있다.

$$f^{*}(X_{U})=(f(X_{1}),f(X_{2}),f(X_{3}).\cdots)_U$$

이렇게 정의해도 잘 정의되는 이유는 임의의 $$Y\in X_{U}$$에 대하여, $$\{i\in\mathbb{N}|X_{i}=Y_{i}\}\in U$$ 이고, $$U$$가 포함집합에 닫혀있어서

$$\{i\in\mathbb{N}|X_{i}=Y_{i}\}\subset\{i\in\mathbb{N}|f(X_{i})=f(Y_{i})\}\in U$$

가 성립하기 때문이다. 이를 이용하면 실수의 사칙연산 등을 초실수의 사칙연산으로 확장할 수 있다.

$$a_{U}+^{*}b_{U}=(a+b)_{U}=(a_{1}+b_{1},a_{2}+b_{2},a_{3}+b_{3}.\cdots)_{U}$$
$$a_{U}\times^{*}b_{U}=(a \times b)_{U}=(a_{1}\times b_{1},a_{2}\times b_{2},a_{3}\times b_{3}.\cdots)_{U}$$

집합 $$A\subset\mathbb{R}$$에 대한 지시 함수(indicator function) $$\bold{I}_{A}:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$$는

$$\bold{I}_A(x) =\begin{cases}1&x\in A\\0&x\notin A\end{cases}$$

로 정의되는 함수이다. 이 때, 함수 $$\bold{I}_{A}$$의 자연스러운 확장 $$\bold{I}_{A}^{*}$$은, 집합 $$A$$의 자연스러운 확장 $$A^{*}$$의 지시함수와 같다. 즉,

$$\bold{I}_{A}^{*}(x)=\bold{I}_{A^{*}}(x)=\begin{cases}1&x\in A^{*}\\0&x\notin A^{*}\end{cases}$$

이 성립한다.
함수 $$f$$가 $$A\subset \mathbb{R}^{n}$$에서 정의되었을 때에는 $$f^{*}:A^{*}\to\mathbb{R}^{*}$$를

$$f(X_{U})=(f(X_{1}),f(X_{2}),f(X_{3}).\cdots)_U,\quad \forall X\in A^{\mathbb{N}} $$

로 확장하자. 예를들어 $$\div$$는 $$\mathbb{R}\times\left(\mathbb{R}-\{0\}\right)$$에서 정의되므로 위와 같은 방법으로 확장할 수 있다.

2.2. 순서체

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$$(\mathbb{R}^{*},+^{*},\times^{*},<^{*})$$는 체공리와 순서공리를 만족시키는 순서체이다.
$$\mathbb{R}^{*}$$는 아르키메데스 성질을 만족하지 않는다. 예를들어, 양의 무한대는 1을 유한번 더한 값 보다는 항상 크다.
실수 $$r\in\mathbb{R}$$에 대하여 $$\mathbb{R}^{*}$$의 실수를 모든 항이 $$r$$인 실수열의 동치류 $$(r,r,r,\cdots)_{U}$$로 자연스럽게 정의할 수 있다. 이 때, 함수 $$f:r\mapsto (r,r,r,\cdots)_{U}$$는 환동형사상이자 순서동형사상이다. 즉, $$\{(r,r,r,\cdots)_{U}|r\in \mathbb{R}\} $$은 완비순서체이며, $$\mathbb{R}^{*}$$의 부분체이다.

2.3. 전달 원리(transfer principle)

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2.4. 무한소와 무한대

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양의 무한소란, 임의의 양수보다 작고 0보다는 큰 초실수이다. 예를들면, 수열 $$a_{n}=\displaystyle\frac{1}{n}$$에 대하여 $${a}_U$$는 무한소이다. 임의의 양의 실수 $$r$$에 대하여, $$\displaystyle\frac{1}{n}\geq r$$을 만족하는 자연수 $$n$$이 많아야 유한개라서, 자유극대필터의 정의에 의해

$$\left\{n\in\mathbb{N}\left|\displaystyle\frac{1}{n}< r \right.\right\}\in U$$

가 성립하기 때문이다. 비슷하게, 수열 $$a_{n}=n$$에 대하여, $${a}_{U}$$는 양의 무한대이다.
재밌는점은, 수열 $$a_{n}=e^{(-1)^{n}n}$$에 대하여, $${a}_{U}$$는 무한소일 수 도 있고, 무한대일 수 도 있다. 자유극대필터의 선택에 의하여 달라지는데, 자유극대필터의 정의에 의해, 짝수집합과 홀수집합중 하나만 자유극대필터의 원소가 된다. 짝수 집합이 원소이면, $${a}_{U}$$는 무한대이고, 홀수집합이 원소이면, $${a}_{U}$$는 무한소이다.[5]

3. 초실수의 분류

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초실수체 $$\mathbb{R}^{*}$$의 원소를 '''초실수'''라 한다. 비슷하게, $$\mathbb{N}^{*}$$, $$\mathbb{Z}^{*}$$, $$\mathbb{Q}^{*}$$, $$\mathbb{I}^{*}$$의 원소를, 각각, '''초자연수''', '''초정수''', '''초유리수''', '''초무리수'''라고 한다.
'''무한소'''란, 절댓값이 임의의 0이 아닌 실수보다 작은 초실수를 뜻한다. 무한소는 다음의 세 가지로 분류할 수 있다.

1. 양의 무한소 : 임의의 양의 실수보다 작고 0보다는 큰 초실수
2. 음의 무한소 : 임의의 음의 실수보다 크고 0보다는 작은 초실수
3. 0

'''무한대'''란, 절댓값이 임의의 실수보다 큰 초실수를 뜻하며, 다음의 두가지 경우로 나뉘어진다.

1. 양의 무한대: 임의의 실수보다 큰 초실수
2. 음의 무한대: 임의의 실수보다 작은 초실수

'''유한 초실수'''는 무한대가 아닌 초실수를 뜻한다.
두 초실수 $$a,b$$에 대하여, $$a-b$$가 무한소이면, $$a$$와 $$b$$를 한없이 가깝다고 하고, $$a\approx b$$라고 쓴다. 이 때, 관계 $$\approx$$는 동치관계가 되는데, 이 관계의 $$a$$의 동치류

$$\text{monad}(a)=\{x\in\mathbb{R}^{*}|a\approx x\}$$

를 $$a$$의 monad라고 한다. 비슷하게, 집합

$$\text{galaxy}(a)=\{x\in\mathbb{R}^{*}|a-x\text{는 유한 초실수}\}$$

은 $$a$$의 galaxy 라고 한다.

4. 초실수의 연산

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$$\epsilon,\delta$$를 0이 아닌 무한소, $$H,K$$를 양의 무한대, $$a,b$$를 무한소가 아닌 유한 초실수라고 하자.

아래의 연산 결과는 모두 0이 아닌 무한소이다.

• $$\epsilon+\delta$$, $$\epsilon\delta$$, $$\displaystyle\frac{\epsilon}{H}$$, $$\epsilon a$$

아래의 연산 결과는 모두 무한대이다.

• $$H+K$$, $$HK$$, $$H+\epsilon$$, $$H+a$$, $$aH$$, $$\displaystyle\frac{a}{\epsilon}$$, $$\displaystyle\frac{H}{\epsilon}$$

아래의 연산 결과는 모두 유한 초실수이다.

• $$a+b$$, $$a\times b$$, $$a+\epsilon $$

5. 표준 부분 원리

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임의의 유한초실수 $$a\in \mathbb{R}^{*}$$에 대하여, $$a=a_{0}+\epsilon$$을 만족하는 실수 $$a_{0}$$와 무한소 $$\epsilon$$이 유일하게 존재한다. 이 때 함수 $$\text{st}:a\mapsto a_{0}$$을 표준 부분함수라고 한다.
즉, 임의의 양의 실수 $$r$$에 대하여

$$0\leq|\text{st}(a)-a|=|\epsilon|

이 성립하므로, $$\text{st}(a)$$를 $$a$$에 "한없이 가까운" 실수로 이해할 수 있다. 이를 이용해서, 함수의 극한, 미분, 적분 등을 무한소의 개념을 이용하여 정의할 수 있다. 극한의 정의에 대해서 알고싶으면 극한 참고.

[1] 1차논리로 적을 수 있는 명제에 한한다. 아르키메데스 성질은 1차논리의 문장으로 표현할 수 없고, 실수체에서 아르키메데스 성질이 성립하지만, 초실수체에서는 성립하지 않는다.

[2] 아르키메데스 성질을 1차논리의 문장으로 $$\forall y\forall x\exist n((n\in \mathbb{N} \land x>0)\to n\times x> y) $$라고 쓸수 있지 않느냐고 반문할수도 있을텐데, $$\mathbb{N}$$을 초실수체로 '전달'하면 $$\mathbb{N}^{*}$$가 되어서, 자연수(=1을 유한번 더해서 얻은것) n이 더이상 자연수가 아닐수도 있게 된다. 그렇기 때문에 근본적으로 자연수 집합을 1차논리로 어떻게 표현해낼지가 문제가 된다.

[3] 선택공리를 배제하면, 즉, ZFC 공리계가 아닌 ZF 공리계에서는 존재성에 대해 증명할 방법이 없다고 한다. 그래서 Errett Bishop 같은 구성주의 수학자들은 초실수에 대해서 부정적으로 보았다.

[4] 자유극대필터의 선택에 따라 다른 초실수체가 나올 수 있는데, 연속체 가설을 가정하면, 서로 다른 초실수체가 모두 동형이라고 한다.

[5] 필터라는 네이밍이 참 괜찮은게, 짝수항과 홀수항 중 하나는 필터에 의해 걸러지고, 다른 하나는 필터를 그대로 통과해서 버려진다고 생각 할 수 있다.