코시 주요값
1. 개요
코시 주요값은 절대수렴하지 않는 이상적분을 구할 수 있는 방법이다.
2. 진술
어떤 함수가 $${x}_{0}$$ 근처에서 발산할 경우, $${x}_{0}$$을 포함하는 구간의 정적분 즉 이상적분은 다음과 같이 계산될 수 있다.
$$\displaystyle \mathcal{P}\int_{a}^{b}f\left ( x \right )\mathrm{d}x=\lim_{c\rightarrow 0+}\left \{ \int_{a}^{{x}_{0}-c}f\left ( x \right )\mathrm{d}x+\int_{{x}_{0}+c}^{b}f\left ( x \right )\mathrm{d}x\right \}$$
3. 예1
소수 분포를 추정할 때 쓰는 비초등 함수인 로그 적분 함수의 경우 피적분함수가 $$x=1$$ 근처에서 발산하므로[1] $${x}_{0}=1$$이다. 따라서 $$x>1$$일 때 코시 주요값은 다음과 같다.
$$\displaystyle \mathcal{P}\int_{0}^{x}\frac{1}{\ln x}\mathrm{d}x=\lim_{c\rightarrow 0+}\left \{ \int_{0}^{1-c}\frac{1}{\ln x}\mathrm{d}x+\int_{1+c}^{x}\frac{1}{\ln x}\mathrm{d}x\right \}\left ( x>1 \right )$$
4. 예2
$$\displaystyle \frac{{e}^{x}}{x}$$의 부정적분인 지수 적분 함수는 해당함수의 도함수인 $$\displaystyle \frac{{e}^{x}}{x}$$이 $$x=0$$ 근처에서 발산한다. 그러므로 $${x}_{0}=0$$이다.
해당 함수의 정의는 $$-\displaystyle \int_{-x}^{\infty}\frac{1}{x{e}^{x}}\mathrm{d}x$$이지만 특이점#s-2.1[2]인 $$x=0$$이 적분구간에 포함된다.($$x>0$$인 경우.)[3]
그러므로 코시 주요값을 사용해서 다음과 같이 정의하자.
$$\displaystyle \mathcal{P}\int_{-x}^{\infty}\frac{-1}{x{e}^{x}}\mathrm{d}x=-\lim_{c\rightarrow 0+}\left (\int_{-x}^{-c}\frac{1}{xe^{x}}\mathrm{d}x+\lim_{k\rightarrow\infty}\int_{c}^{k}\frac{1}{x{e}^{x}}\mathrm{d}x \right )$$